最大コンパクト部分群

数学において、位相群Gの最大コンパクト部分群 Kとは、部分空間位相においてコンパクト空間であり、そのような部分群の中で最大の部分群Kのことです。

最大コンパクト部分群は、リー群、特に半単純リー群の分類において重要な役割を果たします。リー群の最大コンパクト部分群は一般に一意ではありませんが、共役を除いて一意です。つまり、本質的に一意です。

一例として、一般線型群GL(2, R )内の部分群 O(2)、直交群が挙げられます。関連する例として、SL(2, R )内の円群SO(2)があります。明らかに、 GL(2, R ) 内の SO(2) はコンパクトであり、最大ではありません。これらの例の非一意性は、任意の内積が関連する直交群を持ち、本質的な一意性が内積の本質的な一意性に対応していること からわかります。

最大コンパクト部分群は、コンパクト部分群の中の最大部分群、つまり最大（コンパクト部分群）であり、（別の可能な読み方では）たまたまコンパクトである最大部分群ではありません。これはおそらくコンパクト（最大部分群）と呼ばれるでしょうが、いずれにしても意図された意味ではありません（実際、最大真部分群は一般にコンパクトではありません）。

カルタン-イワサワ-マルチェフの定理は、連結されたすべてのリー群（および連結されたすべての局所コンパクト群）は最大コンパクト部分群を許容し、それらはすべて互いに共役であると主張します。半単純リー群の場合、一意性はカルタンの不動点定理の結果であり、コンパクト群が完全単連結の負に曲がった リーマン多様体に等長変換によって作用する場合、不動点を持つと主張します。

連結リー群の最大コンパクト部分群は通常一意ではないが、共役を除いて一意である。つまり、2つの最大コンパクト部分群KとL が与えられたとき、 ^[1] gKg ⁻¹ = Lとなる元g ∈ Gが存在する。したがって、最大コンパクト部分群は本質的に一意であり、人々はしばしば「その」最大コンパクト部分群について話す。

一般線型群 GL( n , R )の例では、これはR ⁿ上の任意の内積が(コンパクトな) 直交群 (その等長変換群) を定義し、それが正規直交基底を許容するという事実に対応します。つまり、基底変換によって、等長変換群を古典的な直交群 O( n , R )に共役させる共役元が定義されます。

実半単純リー群の場合、最大コンパクト部分群の存在と一意性に関するカルタンの証明は、ボレル (1950) とヘルガソン (1978) に見ることができます。カルティエ (1955) とホックシルト (1965) は、連結リー群と連結局所コンパクト群への拡張について議論しています。

半単純群の場合、存在は、非コンパクト半単純リー群のコンパクトな実形式と、対応するカルタン分解が存在することの帰結である。一意性の証明は、対応するリーマン対称空間 G / K が負の曲率 を持つという事実と、カルタンの不動点定理に依存する。モストウ (1955) は、G / Kの任意の点における指数写像の導関数が|d exp X | ≥ |X| を満たすことを示した。これは、G / Kがアダマール空間、つまりユークリッド空間における平行四辺形則の弱められた形式を満たす完全な計量空間であることを意味する。一意性は、ブリュア・ティッツの不動点定理から演繹できる。実際、アダマール空間内の任意の有界閉集合は、一意の最小の閉球に含まれ、その中心はその外心と呼ばれる。特に、等長変換によって作用するコンパクト群は、それぞれの軌道の外心を固定する必要があります。

Mostow (1955) は、半単純群の一般的な問題を GL( n , R )の場合にも関連付けました。対応する対称空間は正対称行列の空間です。この空間の基本的性質に依存する一意性の直接的な証明は、Hilgert & Neeb (2012) で与えられています。

をカルタン反転σを持つ実半単純リー代数とする。したがって、 σの不動点部分群は最大コンパクト部分群Kであり、固有空間分解が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

ここで、 Kのリー代数は+1固有空間である。カルタン分解は次のように表される。 ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K.}}$

BがB ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y)で与えられるキリングフォームである場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}}$

は 上の実内積です。随伴表現では、K はこの内積を保存する Gの部分群です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

H がGの別のコンパクト部分群である場合、 H上の内積をハール測度に関して平均すると、 H の下での内積不変量が得られる。 P内のpに対する演算子 Ad pは正対称演算子である。この新しい内積は次のように書ける。

${\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma },}$

ここでSは H の正対称演算子で、Hのhに対してAd( h ) ^t S Ad h = Sが成り立つ（転置は内積に関して計算される）。さらにGのxに対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t}.}}$

したがって、 Hのhについては、

${\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S.}}$

定義 のXについて${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S.}}$

e _{i が}Se _i = λ _i e _iのSの固有ベクトルの正規直交基底である場合、

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}}$

したがって、f は厳密に正であり、| X | が∞に近づくにつれて∞に近づきます。実際、このノルムは対称演算子 ad X上の演算子ノルムに等しく、i ad Xはコンパクトな実数形式上の歪随伴演算子であるため、ゼロ以外の各固有値はその負で発生します。 ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$

つまり、fはYでグローバル最小値を持つ。この最小値は唯一である。なぜなら、Zが別のものである 場合、

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2},}}$

ここで、Xはカルタン分解によって定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}}$

f _{i が}、対応する実固有値 μ _iを持つ ad Xの固有ベクトルの正規直交基底である場合、

${\displaystyle \displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Ad(e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2}.}}$

右辺は指数の正の組み合わせなので、実数値関数g はX ≠ 0の場合に厳密に凸であり、一意の最小値を持ちます。一方、t = 0 およびt = 1 で極小値を持つため、X = 0 であり、p = exp Yが一意の大域的最小値です。構築により、 hがHに含まれる場合、 f ( x ) = f (σ( h ) xh ⁻¹ ) となり、 hがHに含まれる場合、p = σ( h ) ph ⁻¹となります。したがって、 σ( h )= php ⁻¹です。したがって、g = exp Y /2 の場合、gHg ^{−1は σ によって固定され、} Kに含まれます。

Gがコンパクトでない場合、最大コンパクト部分群は表現論において基本的な役割を果たします。その場合、最大コンパクト部分群Kはコンパクト リー群(リー群の閉じた部分群はリー群であるため) であり、理論はより簡単になります。

GとKの表現論に関連する操作は、GからKへの表現の制限と、KからGへの表現の誘導であり、これらは非常によく理解されています。それらの理論には球面関数の理論が含まれます。

リー群の代数的位相は、最大コンパクト部分群Kによっても大きく左右されます。正確に言うと、連結リー群は、最大コンパクトKとユークリッド空間G = K × R ^dの位相積（群論的積ではない）であるため、特にK はGの変形縮小であり、ホモトピー同値であり、したがって同じホモトピー群を持ちます。実際、包含と変形縮小はホモトピー同値です。 ${\displaystyle K\hookrightarrow G}$${\displaystyle G\twoheadrightarrow K}$

一般線型群の場合、この分解はQR分解であり、変形収縮はグラム・シュミット過程である。一般半単純リー群の場合、分解はGの岩沢分解であり、 G = KANであり、Kは収縮可能な部分群ANとの積に現れる。

• 超特殊サブグループ
• 複素リー群

• ボレル、アルマンド (1950)、Sous-groupes Compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33)、Séminaire Bourbaki、vol. 1
• Cartier, P. (1955)、Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé No. 22)、Séminaire "Sophus Lie"、vol. 1
• Dieudonné, J. (1977)、「コンパクト・リー群と半単純リー群」、第 XXI 章、解析学論文集、第 5 巻、Academic Press、ISBN 012215505X
• ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群と対称空間、アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-338460-7
• ヒルゲルト、ヨアヒム。 Neeb、Karl-Hermann (2012)、リー群の構造と幾何学、数学におけるシュプリンガーのモノグラフ、シュプリンガー、ISBN 0387847944
• ホックシルト、G. (1965)、リー群の構造、ホールデン・デイ
• モストウ、GD (1955)、半単純群に対するいくつかの新しい分解定理、Mem. Amer. Math. Soc.、vol. 14、pp. 31–54
• Onishchik, AL; Vinberg, EB (1994)、リー群とリー代数 III: リー群とリー代数の構造、数学百科事典、第 41 巻、Springer、ISBN 9783540546832
• マルチェフ、A.（1945）「大規模空間におけるリー群の理論について」、マト・スボルニク、16：163-189
• 岩沢 憲一 (1949)、「位相群のいくつかの型について」、Ann. of Math.、50 : 507–558、doi :10.2307/1969548