二次曲面

数学において、二次曲面または二次曲面（高次元の二次超曲面）は、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）の一般化である。これは、 （D + 1）次元空間における（次元Dの）超曲面であり、D + 1個の変数を持つ2次の既約多項式の零点集合として定義される。たとえば、円錐曲線の場合はD = 1である。定義する多項式が絶対既約でない場合は、零点集合は一般に二次曲面とは見なされないが、退化した二次曲面または既約な二次曲面と呼ばれることが多い。

座標x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1}において、一般の二次曲面は代数方程式^{[1]によって定義される。}

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

これはベクトル表記と行列表記で簡潔に次のように記述できます。

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

ここで、x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} )は行ベクトル、x ^Tはxの転置(列ベクトル)、Qは( D + 1) × ( D + 1) 行列、Pは( D + 1)次元の行ベクトル、R はスカラー定数です。 値Q、P、R は実数または複素数上であるとされることが多いですが、任意の体上で二次関数を定義できます。

二次曲面はアフィン代数多様体であり、それが可約な場合はアフィン代数集合である。二次曲面は射影空間でも定義されることがある。以下の§ 射影二次曲面の正規形を参照。

ユークリッド平面の次元は2 なので、ユークリッド平面上の 2 次曲線は次元が 1 であり、したがって平面曲線です。これらは円錐曲線または円錐曲線と呼ばれます。

3次元ユークリッド空間では、2次曲面は2次元を持ち、2次曲面として知られています。その2次方程式は次の形式を持ちます。

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

ここで、は実数であり、 A、B、Cのうち少なくとも 1 つはゼロ以外です。 ${\displaystyle A,B,\ldots,J}$

二次曲面は、アフィン変換における軌道に対応する形状によって分類され、名前が付けられます。つまり、アフィン変換によって二次曲面が別の二次曲面上にマッピングされる場合、それらは同じクラスに属し、同じ名前と多くの特性を共有します。

主軸定理は、任意の（おそらくは簡約可能な）二次曲面に対して、直交座標を適切に変更するか、または同等のユークリッド変換を行うことで、二次曲面の方程式を、二次曲面のクラスがすぐにわかる一意の単純な形式にすることができることを示しています。この形式は方程式の正規形と呼ばれます。これは、2 つの二次曲面が同じ正規形を持つのは、一方の二次曲面をもう一方の二次曲面へマッピングするユークリッド変換がある場合のみであるためです。正規形は次のとおりです。

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

ここで、 は1、-1、または 0 のいずれかですが、 は 0 または 1 の値のみを取ります。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon_{3}}$

これら17の正規形^[2]はそれぞれ、アフィン変換による単一の軌道に対応します。 3つのケースでは実点が存在しません: (虚楕円体)、(虚楕円柱)、 (複素共役平行平面のペア、簡約な二次曲線 )。 1つのケース、すなわち虚円錐では、点が1つあります ( )。1つが直線 (実際には2つの複素共役交差平面) である場合。1つは交差平面が2つあります (簡約な二次曲線)。1つは二重平面です。 1つは平行平面が2つあります (簡約な二次曲線)。 ${\displaystyle \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=1}$${\displaystyle \varepsilon_{1}=0,\varepsilon_{2}=1}$${\displaystyle \varepsilon_{4}=1}$${\displaystyle \varepsilon_{1}=1,\varepsilon_{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,}$${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$${\displaystyle \varepsilon_{4}=-1,}$

したがって、17 の正規形の中には、次の表で詳述する円錐 1 つ、円筒 3 つ (退化二次曲面と呼ばれることが多い)、および 5 つの非退化二次曲面 (楕円体、放物面、双曲面) の 9 つの真の二次曲面があります。残りの 8 つの二次曲面は、虚数楕円体 (実数点なし)、虚数円筒 (実数点なし)、虚数円錐 (実数点が 1 つ)、および 2 つの平面に分解される簡約二次曲面です。平面が別個かどうか、平行かどうか、実共役か複素共役かによって、このような分解された二次曲面は 5 つあります。

正準方程式の 2 つ以上のパラメータが等しい場合、回転の2 次関数が得られます。回転の 2 次関数は、軸 (球の場合は無限個の軸) を中心に回転しても不変のままです。

アフィン二次曲面は、2次の多項式の零点の集合です。特に指定がない限り、多項式は実係数を持ち、零点はユークリッド空間内の点であると想定されます。ただし、係数が任意の体に属し、点がアフィン空間に属する場合でも、ほとんどの特性は当てはまります。代数幾何学では通常、係数が実数の場合、多項式係数（一般には複素数 ）を含む代数的に閉じた体上の点を考慮すると便利なことがよくあります。

多くの性質は、無限遠点の追加からなる射影完備化によって二次関数を射影空間に拡張することで、述べること（および証明すること）が容易になります。技術的には、

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

がアフィン二次関数を定義する2次の多項式である場合、その射影完備化はpを次のよう に同次化することによって定義される。

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

( pの次数が 2 なので、これは多項式です)。射影完備化の点とは、射影座標がPの零点である射影空間の点です。

したがって、射影二次関数は、次数 2 の同次多項式の射影空間内の零点の集合です。

上記の均質化プロセスは、X ₀ = 1に設定することで元に戻すことができます。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

アフィン二次関数をその射影完備化と区別せず、アフィン方程式または二次関数の射影方程式について話すことが有用な場合がよくあります。ただし、これは完全な同値ではありません。一般に、には の点が含まれますが、これは の解でもありません。これは、射影空間内のこれらの点がアフィン空間内の「無限遠」の点に対応するためです。 ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$${\displaystyle X_{0}=0}$${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

n次元のアフィン空間における2次曲面は、2次多項式の零点の集合である。つまり、それは座標が方程式を満たす点の集合である。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

ここで多項式pは次の形をとる。

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

0 から までの、および の行列に対して。 係数体の標数が 2 でない場合、一般にが仮定されます。これは と同値です。係数体の標数が 2 の場合、一般に のとき が仮定されます。これは と同値です。 ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle a_{i,j}=0}$${\displaystyle j<i}$${\displaystyle A}$

この式は、行列式のように短縮される。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

と

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

射影完成の方程式はほぼ同じです。

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

と

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

これらの方程式は、二次曲面を、n 次元の空間におけるn – 1次元、 2 次数の代数超曲面として定義します。

行列が逆行列である場合、二次関数は非退化であると言われます。 ${\displaystyle A}$

非退化二次曲面は、その射影完備化に特異点がないという意味で非特異です(円柱はアフィン空間では非特異ですが、無限遠に特異点を持つ退化二次曲面です)。

退化した二次関数の特異点とは、その射影座標が行列Aの零空間に属する点である。

二次曲面は、 Aの階数 が 1 (二重超平面の場合) または 2 (2 つの超平面の場合) の 場合にのみ、簡約可能です。

実射影空間では、シルベスターの慣性法則により、特異でない二次形式 P ( X )は、正規形に置き換えることができる。

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

適切な射影変換によって（特異な二次関数の正規形は係数としてゼロと±1を持つことができる）。三次元空間の二次元表面（次元D  = 2）の場合、正確に3つの非退化ケースがあります。

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

最初のケースは空集合です。

2 番目のケースでは、無限遠で選択された平面がそれぞれ空集合、点、または非退化円錐のいずれで二次曲面を切断するかに応じて、楕円体、楕円放物面、または 2 枚の双曲面が生成されます。これらはすべて正のガウス曲率を持ちます。

3 番目のケースでは、無限遠平面が 2 本の線で切断するか、非退化円錐で切断するかに応じて、それぞれ双曲放物面または 1 枚の双曲面が生成されます。これらは、負のガウス曲率の 二重線条面です。

退化した形態

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

無限遠平面がそれぞれ点、直線、2 本の直線、または非退化円錐のいずれで切断するかに応じて、楕円柱、放物柱、双曲柱、または円錐を生成します。これらは、ガウス曲率がゼロの単線模様の曲面です。

射影変換では異なる符号のガウス曲率が混在しないことがわかります。これは一般的な曲面にも当てはまります。^[3]

複素射影空間では、すべての非退化二次曲面は互いに区別できなくなります。

二次曲線の非特異点Aが与えられた場合、 Aを通る直線は二次曲線に接しているか、または他の 1 点で二次曲線と交差します (通常、二次曲線に含まれる直線は接線と見なされます。これは、それが接線超平面に含まれるためです)。つまり、 Aを通り二次曲線に接していない直線は、Aにおける接線超平面に属さない二次曲線の点と1 対 1 で対応しています。二次曲線の点を対応する直線の方向で表すと、次の形式の 媒介変数方程式が得られます。

円錐曲線（2次曲線）の場合、このパラメータ化により、射影円錐曲線と射影直線の間の全単射が確立されます。この全単射は、代数曲線の同型です。より高次元では、パラメータ化によって双有理写像が定義されます。これは、 2次曲線の稠密な開部分集合と同じ次元の射影空間の間の全単射です（考慮される位相は、実数または複素2次曲線の場合は通常の位相、すべての場合でザリスキ位相です）。この全単射の像にない2次曲線の点は、2次曲線とAにおけるその接超平面の交点です。

アフィンの場合、パラメータ化は、次の形式の 有理パラメータ化である。

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{f_{0}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n,}$

ここで、は二次曲面の点の座標、はパラメータ、は最大 2 次までの多項式です。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}}$

射影的な場合、パラメータ化は次の形式をとる。

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

ここで、は二次曲面の点の射影座標、はパラメータ、は2 次同次多項式です。 ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$${\displaystyle F_{0},\ldots ,F_{n}}$

一つのパラメータ化から別のパラメータ化へは、次のようにして移ります。${\displaystyle x_{i}=X_{i}/X_{0},}$${\displaystyle t_{i}=T_{i}/T_{n}\,:}$

${\displaystyle F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})=T_{n}^{2}\,f_{i}\!{\left({\frac {T_{1}}{T_{n}}},\ldots ,{\frac {T_{n-1}}{T_{n}}}\right)}.}$

パラメータ化を計算し、次数が主張どおりであることを証明するには、アフィンの場合、次のように進めることができます。射影の場合も同様に進めることができます。

q を二次曲面を定義する二次多項式とし、を二次曲面の与えられた点の座標ベクトルとします（つまり、をパラメータ化される二次曲面の点の座標ベクトルとし、をパラメータ化に使用する方向を定義するベクトルとします（最後の座標がゼロである方向はここでは考慮されません。つまり、アフィン二次曲面のいくつかの点はパラメータ化されていません。それらはパラメータ空間内の無限遠点によってパラメータ化されているとよく言われます）。二次曲面とを通る方向の線との交点は、次の点です。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots a_{n})}$${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0).}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots x_{n})}$${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n-1},1)}$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

スカラーのある値に対して、これは の 2 次方程式ですが、 の値は例外で、直線は二次曲線に接します (この場合、直線が二次曲線に含まれていない場合、または方程式がそれ以外の場合、次数は 1 です)。 および の係数は、それぞれ で高々 1 次と 2 次です。定数係数が であるため、方程式は で割ることで線形になり、その唯一の解は高々 1 次多項式を高々 2 次多項式で割った商です。この解を の式に代入すると、高々2 次多項式の分数として目的のパラメータ化が得られます。 ${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle 0=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {t} .}$${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0,}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle \mathbf {x} ,}$

の二次方程式を考えてみましょう

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

これは単位円です。これは単位球です。高次元では、これは単位超球です。 ${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle n=3}$

この点が2次曲面に属する（この点を他の類似点の中から選ぶのは単に便宜上の問題である）。したがって、前のセクションの式は次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

平方根を展開し、定数項を簡略化し、で割って解くと、 ${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

これを最後の座標の式に代入して簡略化すると、パラメトリック方程式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

同次化により射影パラメータ化が得られる。

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

簡単な検証により、これは となる二次曲面の点と となるパラメータの射影空間の点との間の一対一関係を誘導することがわかる。一方、となる およびとなる のすべての値は、点${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$${\displaystyle T_{n}\neq 0}$${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$${\displaystyle T_{n}=0}$${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$${\displaystyle A.}$

円錐曲線 ( ) の場合、 となる点は 1 つだけ存在し、円と射影直線の間には一対一の関係があります。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle T_{n}=0.}$

にはを持つ点が多数あり、したがって点 には多くのパラメータ値があります。一方、 を持つ二次曲線の他の点(したがって) は、パラメータのどの値でも取得できません。これらの点は、二次曲線とその接平面の交点です。この特定のケースでは、これらの点は非実複素座標を持ちますが、結果として得られるパラメータ化では得られない実数点を生成するには、二次曲線の方程式の符号を 1 つ変更するだけで十分です。 ${\displaystyle n>2,}$${\displaystyle T_{n}=0,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$${\displaystyle x_{n}=-1}$${\displaystyle A.}$

二次曲面は、その方程式の係数が に属する場合、体上で定義されます。 が有理数体である場合、分母を消去することで係数が整数であると想定できます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

体上で定義された二次曲面の点は、その座標が体上に属する場合、有理数体上であると言われます。実数体上の有理数点は、実数点と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

上の有理点は、単に有理点と呼ばれます。分母を消去することで、上の定義された二次関数内の有理点の射影座標が整数であると仮定できます。また、係数の分母を消去することで、二次関数の方程式とパラメータ化に現れる多項式のすべての係数が整数であると一般に仮定できます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

射影二次関数の有理点を見つけることは、ディオファントス方程式を解くことと同じです。

体F上の二次曲面上の有理点Aが与えられた場合、前のセクションで説明したパラメータ化により、パラメータがF内にあるときに有理点が得られ、逆に、点がAの接超平面内にない場合は、二次曲面のすべての有理点はF内のパラメータから取得できます。

したがって、二次曲面に有理点がある場合、その二次曲面に他の有理点が多数存在し（Fが無限大の場合は無限に存在）、そのうちの 1 つがわかれば、これらの点はアルゴリズムによって生成できます。

上で述べたように、射影的二次関数が定義されている場合、パラメータ化は次の形を取る。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

ここで、 は整数係数を持つ 2 次同次多項式です。同次性のため、互いに素な集合整数であるパラメータのみを考慮することができます。 が二次関数の方程式である場合、この方程式の解は、その成分が互いに素な集合整数である場合に原始的であると言われます。原始解は、二次関数の有理点と 1 対 1 で対応しています (解のすべての成分の符号が変わるまで)。非原始整数解は、原始解に任意の整数を乗じることで得られるため、特に研究する必要はありません。ただし、互いに素な集合パラメータは非原始解を生成する可能性があり、関連する原始解に到達するには 最大公約数で割る必要がある場合があります。${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle Q(X_{0},\ldots ,X_{n})=0}$

これはピタゴラス数列によってよく説明されます。ピタゴラス数列は、が互いに素である場合、または同等に、 と の 3 つのペアのいずれかが互いに素である場合に、が原始的である 、という正の整数の組です。 ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (b,c)}$${\displaystyle (a,c)}$

上記の方法を選択すると、パラメータ化が提供されます ${\displaystyle A=(-1,0,1),}$

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

の二次方程式について(変数とパラメータの名前は、上記のものから、ピタゴラス数列を考えるときに一般的なものに変更されています)。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

mとn が互いに素な整数で、 結果として得られる三つ組はピタゴラス三つ組になります。m と n の一方が偶数でもう一方が奇数の場合、結果として得られる三つ組は原始三つ組です。それ以外の場合、m とnは両方とも奇数であり、2 で割ることで原始三つ組が得られます 。${\displaystyle m>n>0,}$

まとめると、偶数を含む原始ピタゴラス数列は次のように得られる。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

ここで、mとnは互いに素な整数で、1は偶数であり、（これはユークリッドの公式である）。奇数を含む原始ピタゴラス数列は次のように得られる。 ${\displaystyle m>n>0}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

mとnは互いに素な奇数であり、${\displaystyle m>n>0.}$

aとb を交換すると、ピタゴラス数列が別のピタゴラス数列に変換されるため、すべての基本ピタゴラス数列を生成するには、2 つのケースのうちの 1 つだけで十分です。

実射影空間における射影二次関数の定義（上記参照）は、体上のn次元射影空間における射影二次関数を定義することによって形式的に適応することができる。座標を扱う手間を省くために、射影二次関数は通常、ベクトル空間上の二次形式から始めて定義される。^[4]

を体とし、上のベクトル空間とする。から への写像で、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$

(Q1) 任意の および に対して。${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2)は 双線型形式である。${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$

は二次形式と呼ばれます。双一次形式は対称的です。${\displaystyle f}$

の場合、双線形形式は であり、つまり、 と は一意に相互に決定されます。 の場合(つまり、)、双線形形式は という特性を持ち、つまり、 はシンプレクティックです 。 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\displaystyle 1+1=0}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$${\displaystyle f}$

および （は の基数である）は、よく知られている形式である 。${\displaystyle V=K^{n}\ }$${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$そして

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$。

例えば：

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

を体とする。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle V_{n+1}}$体上の( n + 1)次元ベクトル 空間 ${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$によって生成される${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$1次元部分空間、

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$点の集合、

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$線の集合。

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$は上のn次元射影空間です。${\displaystyle K}$

の -次元部分空間に含まれる点の集合は、の -次元部分空間です。2 次元部分空間は平面です。${\displaystyle (k+1)}$${\displaystyle V_{n+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P_{n}(K)}$

次元の部分空間の場合、その空間は超平面と呼ばれます。${\displaystyle \;n>3\;}$${\displaystyle (n-1)}$

ベクトル空間上の二次形式は、関連する射影空間における二次曲面を、となる点の集合として定義します。つまり、 ${\displaystyle q}$${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}},}$${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

の例: ${\displaystyle P_{2}(K)}$
(E1):から円錐曲線 が得られます。(E2):から、方程式とをそれぞれ満たす直線のペアが得られます。これらは点 で交差します。 ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$${\displaystyle x_{1}=0}$${\displaystyle x_{2}=0}$${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

以下の考察では、 であると仮定します。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

ポイントセット ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

は の極空間と呼ばれます( に関して)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$

すべて について であれば、 が得られます。 ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

少なくとも1つの に対して、方程式は超平面を定義する非自明な線形方程式である。したがって、 ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$は超平面または のいずれかです。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

任意の直線と二次曲線の交差については、次のようなケースが考えられます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

a)外線と呼ばれる${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$${\displaystyle g}$

b)は二次曲面上の直線と呼ばれる${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$${\displaystyle g}$

c)接線と呼ばれる${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$${\displaystyle g}$

d) は割線と呼ばれます。${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$${\displaystyle g}$

証明:を点 で交わる直線とし 、は上の 2 番目の点となります。から次が得られます 。I) の場合、方程式は成り立ち、任意の に対してとなります 。したがって、任意の に対してあるいはに対してとなり、b) および b') が証明されます。II ) の場合 、次が得られます。この方程式 には1 つの解 が存在します。したがって、 となり、c) が証明されます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

さらに、証明は次のことを示しています。

点を通る直線が接線となるのは、次の場合のみです。${\displaystyle g}$${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

古典的なケースでは、およびと が密接に関連しているため、 または の根号は 1 つしか存在しません。 の場合には、は(上記を参照)によって決定されないため、2 つの根号を扱う必要があります。 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle f}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle f}$

a) は射影部分空間です。は二次曲面のf基数と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

b) はの特異根号または-根号と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

c) 1 つある場合。${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

二次曲面は、次の場合、非退化であるといわれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

の例${\displaystyle P_{2}(K)}$（上記参照）:
(E1): (円錐曲線)の場合、双線形形式は です。 の場合、極空間は決して ではありません。したがって です。 の場合、双線形形式は およびに簡約されます。したがって この場合、f根号はすべての接線の共通点、いわゆる結び目です。 と のどちらの場合も、二次曲線 (円錐曲線) は非退化です。(E2): (直線のペア)の場合、双線形形式は で、交点です。 この例では、二次曲線は退化です。 ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

二次曲面はむしろ均質なオブジェクトです。

任意の点に対して、中心と を伴う求心中心共線関係が存在します。${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

証明:極空間は超平面で あるため。 ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$${\displaystyle P^{\perp }}$

線形マッピング

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}$

は、軸と中心を持つ、不変な中心共線 を誘導します。 の場合、マッピングにより、任意のに対して、およびを持つよく知られた形状が生成されます。 ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle P^{\perp }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

述べる：

a) 外線、接線、または割線は、それぞれ外線、接線、および割線上の反転によってマッピングされます。${\displaystyle \sigma _{P}}$

b) は点ごとに によって固定されます。${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \sigma _{P}}$

の部分空間は、次の場合 -部分空間と呼ばれる。${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$${\displaystyle P_{n}(K)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

たとえば、球面上の点や双曲面上の線などです(下記参照)。

任意の2つの最大部分 空間は同じ次元を持つ。^[5]${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

を の最大 -部分空間の次元とすると、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

この整数はのインデックスと呼ばれます。${\displaystyle \;i:=m+1\;}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

定理: (BUEKENHOUT) ^[6]

非退化二次関数の指数については、次の式が成り立ちます 。${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$。

を の非退化二次関数とし、その指数をとします。${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P_{n}(K),n\geq 2}$${\displaystyle i}$

二次曲面の場合は球面（または楕円円錐の場合は）と呼ばれます。${\displaystyle i=1}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle n=2}$

2次曲面の場合は双曲面（1枚）と呼ばれます。${\displaystyle i=2}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

例:

a)形式の2 次曲線は指数 1 で非退化です。${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P_{2}(K)}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

b) 多項式が上で既約な場合、二次形式は の指数 1 (球面)の非退化二次関数を生じます。たとえば、は 上で既約です(ただし では既約ではありません )。${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P_{3}(K)}$${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

c)二次形式では双曲面が生成されます。${\displaystyle P_{3}(K)}$${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

二次曲面の定義を真正な歪体（分割環）上の空間に形式的に拡張することは合理的ではない。なぜなら、通常の二次曲面とは全く異なる、二次曲面の2点以上を含む割線が得られるからである。^{[7] [8] [9]}その理由は次の通りである。

分割環 が可換であるためには、任意の方程式に最大で 2 つの解が必要です。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

二次曲面の一般化として二次集合がある。^[10]二次集合は、二次曲面と同じ幾何学的性質を持つ射影空間の点の集合である。つまり、すべての直線は最大2点で二次集合と交差するか、集合に含まれる。

• クラインの二次関数
• 軸の回転
• 超二次曲面
• 軸の翻訳

• M. オーディン:幾何学、シュプリンガー、ベルリン、2002 年、ISBN 978-3-540-43498-6、p. 200。 
• M. Berger: Problem Books in Mathematics、ISSN 0941-3502、Springer New York、pp 79–84。
• A. Beutelspacher、U. Rosenbaum: Projektive Geometrie、Vieweg + Teubner、Braunschweig ua 1992、ISBN 3-528-07241-5、p. 159. 
• P. Dembowski:有限幾何学、Springer、1968年、ISBN 978-3-540-61786-0、p. 43。 
• Iskovskikh, VA (2001) [1994]、「Quadric」、数学百科事典、EMS Press
• Weisstein、Eric W.「Quadric」。MathWorld。

• すべての二次曲面のインタラクティブな Java 3D モデル
• 講義ノート 平面円幾何学、メビウス、ラゲール、ミンコフスキー平面入門、p. 117