移動フレーム

数学において、移動フレームはベクトル空間の順序基底の概念を柔軟に一般化したものであり、均質空間に埋め込まれた滑らかな多様体の外部微分幾何学を研究するためによく使用されます。

平たく言えば、基準フレームとは、座標を提供することで周囲の空間を測定するために観測者が使用する測定棒のシステムです。移動フレームは、軌道（曲線）に沿って観測者とともに移動する基準フレームです。この単純な例における移動フレーム法は、観測者の運動学的特性から「好ましい」移動フレームを生成しようとします。幾何学的な設定では、この問題は19世紀半ばにジャン・フレデリック・フレネとジョセフ・アルフレッド・セレによって解決されました。^[1] フレネ・セレフレームは、曲線の速度と加速度のみから構築できる曲線上に定義される移動フレームです。 ^[2]

フレネ・セレフレームは曲線の微分幾何学で重要な役割を果たし、最終的にはユークリッド空間内の滑らかな曲線の合同までの多かれ少なかれ完全な分類につながります。^[3]フレネ・セレ公式は、曲線上に定義された一対の関数、ねじれと曲率があり、これらはフレームを微分することで得られ、曲線に沿って時間の経過とともにフレームがどのように進化するかを完全に記述することを示しています。一般的な方法の重要な特徴は、優先移動フレームが見つかる限り、曲線の完全な運動学的記述を与えることです。

19世紀後半、ガストン・ダルブーは、曲線の代わりにユークリッド空間の面上に優先移動フレームを構築する問題、ダルブーフレーム（当時はトリエドルモビールと呼ばれていました）を研究しました。そのようなフレームを構築することは一般に不可能であり、最初に満たす必要のある積分可能条件があることが判明しました。 ^[1]

その後、エリー・カルタンらは、より一般的な同次空間（射影空間など）の部分多様体の研究において、移動フレームを広範囲に展開した。この設定では、フレームはベクトル空間の基底という幾何学的概念を他の種類の幾何学的空間（クライン幾何学）に持ち込む。フレームの例としては、次のものがある：^[3]

• 線形フレームはベクトル空間の順序付き基底です。
• ベクトル空間の正規直交フレームは、直交 単位ベクトル(正規直交基底) で構成される順序基底です。
• アフィン空間のアフィンフレームは、原点の選択と、それに関連する差分空間内のベクトルの順序付き基底から構成される。^[4]
• アフィン空間のユークリッドフレームは、差分空間の正規直交基底とともに原点を選択するものです。
• n次元射影空間上の射影フレームは、 n +1 点の任意の部分集合が線型独立であるようなn +2 点の順序付けられた集合です。
• 一般相対性理論におけるフレーム フィールドは4 次元フレーム、またはドイツ語でvierbeinsと呼ばれます。

これらの各例において、すべてのフレームの集合は、ある意味で同質です。たとえば、線型フレームの場合、任意の 2 つのフレームは、一般線型群の要素によって関連付けられます。射影フレームは、射影線型群によって関連付けられます。フレームのクラスのこの同質性、つまり対称性は、線型、アフィン、ユークリッド、または射影ランドスケープの幾何学的特徴を捉えています。これらの状況では、移動フレームは、まさにその通りです。つまり、点ごとに変化するフレームです。

形式的には、等質空間 G / H上のフレームは、トートロジーバンドルG → G / H内の点から構成される。移動フレームはこのバンドルのセクションである。ベースの点が変化すると、ファイバー内のフレームが対称群Gの要素によって変化するという意味で、移動している。 G / Hの部分多様体M上の移動フレームは、トートロジーバンドルのMへの引き戻しのセクションである。本質的に^{[5]移動フレームは、多様体上の}主バンドルP上で定義できる。この場合、移動フレームはG同変マッピング φ : P → Gによって与えられ、したがって、多様体はリー群Gの要素によってフレーム化される。

フレームの概念をより一般的なケースに拡張することができます。ファイバー束を滑らかな多様体に「はんだ付け」して、ファイバーが接線であるかのように動作するようにすることができます。ファイバー束が同次空間である場合、これは上記のフレーム場になります。同次空間が特殊直交群の商である場合、これは標準的な四辺形の概念になります。

外在的移動フレームと内在的移動フレームの間には形式上大きな違いがあるが、移動フレームは常にGへの写像によって与えられるという点で両者は似ている。カルタンの移動フレーム法における戦略は、カルタンの同値法で簡単に概説されているように、多様体上の自然な移動フレームを見つけ、そのダルブー導関数を取る、つまりGのモーラー・カルタン形式をM (またはP )に引き戻すことで、多様体に対する構造不変量の完全なセットを得ることである。^[3]

カルタン（1937）は、ワイル（1938）によって詳述された、移動フレームの一般的な定義と移動フレームの方法を定式化した。理論の要素は以下のとおりである。

• リー群 G。
• 幾何的自己同型群がGであるクライン空間 X。
• Xの（一般化された）座標空間として機能する滑らかな多様体Σ 。
• それぞれがXから Σ への座標関数を決定するフレームƒの集合(フレームの正確な性質は、一般的な公理化では曖昧なままです)。

これらの要素間には次の公理が成り立つと仮定されます。

• Gのフレームの集合に対する自由かつ推移的な群作用が存在する。これはGの主要な同次空間である。特に、フレーム ƒ と ƒ′ の任意のペアに対して、要件 (ƒ→ƒ′)ƒ = ƒ′ によって決定される、Gにおけるフレームの一意の遷移 (ƒ→ƒ′) が存在する。
• フレーム ƒ と点A  ∈  Xが与えられると、Σ に属する点x  = ( A ,ƒ) が関連付けられます。フレーム ƒ によって決定されるこのマッピングは、Xの点から Σ の点への全単射です。この全単射は、異なるフレーム ƒ′ における点Aの座標x ′ が、変換 (ƒ→ƒ′) の適用によって ( A ,ƒ)から生じるという意味で、フレームの合成法則と互換性があります。つまり、$${\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}$$

この方法にとって興味深いのは、 Xのパラメータ化された部分多様体です。考慮する点は主に局所的であるため、パラメータ領域はR ^λの開集合とみなされます。パラメータ化を伴う部分多様体に興味があるのか​​、それとも再パラメータ化までの部分多様体に興味があるのか​​によって、若干異なる手法が適用されます。

移動フレームの最も一般的なケースは、多様体の接フレームのバンドル（フレームバンドルとも呼ばれる）の場合です。この場合、多様体M上の移動接フレームは、開集合U ⊂ Mの各点における接空間の基底を形成するベクトル場e ₁、e ₂、…、e _nの集合で構成されます。

がU上の座標系である場合、各ベクトル場e _{j は}、座標ベクトル場 の線形結合として表現できます。ここで、各 はU上の関数です。これらは、行列 の要素として考えることができます。この行列は、次のセクションで説明するように、双対コフレームの座標表現を見つけるのに役立ちます。 ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$$${\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$$${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle A}$

移動フレームは、U上の余接バンドルの双対フレームまたはコフレームを決定します。これは、移動フレームとも呼ばれます。これは、滑らかな1形式 のn組です。

θ ¹、θ ²、…、θ ⁿ

これらはUの各点qで線型独立です。逆に、そのようなコフレームが与えられた場合、それと双対である、つまり、双対関係θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _jを満たす唯一の移動フレームe ₁、e ₂、…、e _{n が}存在します。ここで、δ ⁱ _jはU上のクロネッカーのデルタ関数です。

がU上の座標系である場合、各共ベクトル場θ ^{i は、}座標共ベクトル場 の線形結合として表すことができます。ここで、各 はU上の関数です。 であるため、上記の 2 つの座標式を組み合わせると が生成されます。行列の観点で言えば、これは単に とが互いの 逆であることを意味します。${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle dx^{i}}$$${\displaystyle \theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},}$$${\displaystyle B_{j}^{i}}$${\textstyle dx^{i}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

古典力学の設定では、正準座標を扱う場合、正準コフレームはトートロジー 1 形式によって与えられます。直感的には、これは機械システムの速度 (座標の接線バンドル上のベクトル場によって与えられる) とシステムの対応する運動量 (余接バンドル内のベクトル場によって与えられる、つまり、形式によって与えられる) を関連付けます。トートロジー 1 形式は、より一般的なソルダー形式の特殊なケースであり、一般的なファイバーバンドル上に (コ) フレーム場を提供します。

移動フレームは一般相対性理論において重要です。一般相対性理論では、事象p (時空 内の点、次元 4 の多様体)におけるフレームの選択を近くの点に拡張する特権的な方法はないため、選択を行う必要があります。対照的に、特殊相対性理論では、Mはベクトル空間V (次元 4)と見なされます。その場合、点pにおけるフレームは、明確に定義された方法でpから他の任意の点qに変換できます。大まかに言えば、移動フレームは観測者に対応し、特殊相対性理論の区別されたフレームは慣性観測者を表します。

相対性理論とリーマン幾何学において、最も有用な種類の移動フレームは、直交フレームと正規直交フレーム、つまり各点で直交（単位）ベクトルで構成されるフレームです。特定の点pでは、一般的なフレームは正規直交化によって正規直交にすることができます。実際、これはスムーズに実行できるため、移動フレームの存在は移動正規直交フレームの存在を意味します。

移動フレームは常に局所的に、つまりM内の任意の点pの近傍Uに存在します。しかし、 M上でグローバルに移動フレームが存在するには位相条件が必要です。たとえば、Mが円、またはより一般的にはトーラスの場合、そのようなフレームは存在しますが、Mが 2 次元球面の場合には存在しません。グローバルな移動フレームを持つ多様体は、平行化可能と呼ばれます。たとえば、地球表面の 緯度と経度の単位方向が、北極と南極で移動フレームとして分解されることに注意してください。

エリー・カルタンの移動フレーム法は、研究されている特定の問題に適応した移動フレームを取ることに基づいています。たとえば、空間内の曲線が与えられた場合、曲線の最初の 3 つの導関数ベクトルは一般に、曲線の点におけるフレームを定義できます (定量的な説明については、ねじれテンソルを参照してください。ここでは、ねじれがゼロでないと仮定しています)。実際、移動フレーム法では、フレームよりもコフレームを扱うことが多いです。より一般的には、移動フレームは、開集合U上の主バンドルのセクションとして見ることができます。一般的なカルタン法は、カルタン接続の概念を使用してこの抽象化を活用します。

多くの場合、グローバルに有効な単一の参照フレームを定義することは不可能です。これを克服するために、フレームをまとめてアトラスを形成し、ローカルフレームの概念に到達します。さらに、これらのアトラスに滑らかな構造を与えて、結果として得られるフレームフィールドが微分可能であることが望ましい場合がよくあります。

この記事では、フレーム フィールドを多様体の接束上の座標系として構築しますが、一般的な考え方は、ベクトル束の概念に簡単に移行できます。ベクトル束は、各点でベクトル空間を備えた多様体であり、そのベクトル空間は任意であり、一般に接束とは関係ありません。

航空機の操縦は、パイロットによって説明されるときに、 移動フレーム（航空機の主軸）の観点から表現できます。

• ダルブーフレーム
• フレネ・セレ式
• ヨー、ピッチ、ロール

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