調和マップ

数学の分野である微分幾何学では、リーマン多様体間の滑らかな写像は、その座標表現が特定の非線形偏微分方程式を満たす場合、調和写像と呼ばれます。この写像の偏微分方程式は、ディリクレエネルギーと呼ばれる関数のオイラー-ラグランジュ方程式としても現れます。そのため、調和写像の理論には、リーマン幾何学の単位速度測地線の理論と調和関数の理論の両方が含まれています。

非公式には、リーマン多様体Mからリーマン多様体Nへの写像fのディリクレ エネルギーは、f がM の各要素をNの点に割り当てる際にM を伸ばす総量と考えることができます。たとえば、伸ばされていない輪ゴムと滑らかな石は、どちらも自然にリーマン多様体として考えることができます。石の上で輪ゴムを伸ばすすべての方法は、これらの多様体間の写像と見なすことができ、関連する総張力はディリクレ エネルギーによって表されます。このような写像の調和性とは、与えられた伸びを物理的に変形する任意の仮想的な方法が与えられた場合、変形が始まったときの張力 (時間の関数として考えた場合) の 1 次導関数がゼロになることを意味します。

調和写像の理論は1964年にジェームズ・イールズとジョセフ・サンプソンによって始められ、彼らは特定の幾何学的コンテキストでは任意の写像を調和写像に変形できることを示した。^{[1]彼らの研究は}リチャード・ハミルトンのリッチ流に関する初期の研究のインスピレーションとなった。調和写像とそれに関連する調和写像熱流は、それ自体が幾何学的解析の分野で最も広く研究されているトピックの1つである。

ジョナサン・サックスとカレン・ウーレンベックによる調和写像の列の「泡立ち」の発見^[2]は特に影響力があり、彼らの分析は他の多くの幾何学的文脈に応用されている。特に、ウーレンベックによるヤン・ミルズ場の泡立ちの同時発見は、サイモン・ドナルドソンの4次元多様体に関する研究において重要であり、ミカエル・グロモフによる擬正則曲線の泡立ちのその後の発見は、シンプレクティック幾何学と量子コホモロジーへの応用において重要である。リチャード・シェーンとウーレンベックが調和写像の正則性理論を研究するために使用した手法も同様に、幾何学的解析における多くの解析的手法の開発のインスピレーションとなっている^{[3] 。}

ここで、リーマン多様体間の滑らかな写像の幾何学は、局所座標を介して、また、それと同等に、線型代数を介して考察される。このような写像は、第 1 基本形式と第 2 基本形式の両方を定義する。ラプラシアン(張力場とも呼ばれる)は第 2 基本形式を介して定義され、それが消失することが写像が調和的であるための条件である。定義は、擬似リーマン多様体の設定に変更なく拡張される。

U をℝ ⁿの開集合とし、V をℝ ^mの開集合とする。1 からnまでの各iとjについて、g _{ij を}U上の滑らかな実数値関数とし、 Uの各pについて、 n × n行列[ g _ij ( p )]が対称かつ正定値となるものとする。 1 からmまでの各αとβについて、h _{αβ を}V上の滑らかな実数値関数とし、 Vの各qについて、m × m行列[ h _αβ ( q )]が対称かつ正定値となるものとする。逆行列を[ g ^ij ( p )]および[ h ^αβ ( q )]と表記する。

1からnまでの各i、j、kと1からmまでの各α、β、γに対して、クリストッフェル記号Γ ( g ) ^kij  : U →ℝとΓ( h ) ^γαβ  : V →ℝを^[4]で_{定義する。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}}$

UからVへの滑らかな写像fが与えられたとき、その第2基本形式は、1からnまでの各iとj 、および1からmまでの各αに対して、 U上の実数値関数∇( df ) ^α _{ij を}次のように定義する^[5]

${\displaystyle \nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.}$

そのラプラシアンは、1からnまでの各αに対して、 U上の実数値関数(∆f ) α^を次のように定義する^[6]

${\displaystyle (\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.}$

( M , g )と( N , h )をリーマン多様体とする。MからNへの滑らかな写像fが与えられたとき、その微分df をM上のベクトル束T ^* M ⊗ f ^* TNの切断として考えることができる。つまり、 Mの各pに対して、接空間T _p M → T _f(p) N間の線型写像df _{p が}存在するということである。^[7]ベクトル束T ^* M ⊗ f ^* TNには、 MとN上のレヴィ・チヴィタ接続から誘導される接続がある。^{[8]そのため、}共変微分∇( df )を取ることができ、これはM上のベクトル束T ^* M ⊗ T ^* M ⊗ f ^* TNの切断である。これは、 Mの各pに対して、接空間TpM×TpM→Tf(p)Nの双線型写像( ∇ ₍ df ) ) _pが存在_することを意味する。^{[9]この断面は}_fのヘッセ行列として知られている。

g を用いてfのヘッセ行列をトレースするとfのラプラシアンが得られる。これはf ^* TNのM上の切断である。これはfのラプラシアンがMの各pに接空間T _{f ( p )} Nの要素を割り当てることを意味する。^[10]トレース演算子の定義により、ラプラシアンは次のように書ける。

${\displaystyle (\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})}$

ここで、e ₁、...、e _{m は}T _p Mの任意のg _p正規直交基底です。

局所座標の観点からは、上記のように、写像fのエネルギー密度はU上の実数値関数であり、^[11]で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).}$

あるいは、バンドル形式では、MとN上のリーマン計量はT ^* M ⊗ f ^* TN上のバンドル計量を誘導し、エネルギー密度を滑らかな関数として定義することができます⁠1/2⁠ | df | ^{2 は}M上の関数である。 ^[12]エネルギー密度は、第一基本形のgトレースの半分で与えられると考えることもできる^{。 [13]}どのような観点に立っても、エネルギー密度e ( f )はM上の関数でありが有向でMがコンパクトな場合、 fのディリクレエネルギーは次のように定義される。

${\displaystyle E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}}$

ここでdμg_はgによって誘導されるM上の体積形式である。^[14]任意の非負測定可能関数は明確に定義されたルベーグ積分を持つので、 Mがコンパクトであるという制限を課す必要はないが、その場合ディリクレエネルギーは無限大になる可能性がある。

ディリクレエネルギーの変分公式は、写像f が変形されるときのディリクレエネルギーE ( f )の導関数を計算します。このために、 f ₀ = fとなる1 パラメータの写像族f _s  : M → Nを考えます。この写像に対して、すべてのsに対してf _s | _{M − K} = f | _{M − K}となるMのプレコンパクト開集合K が存在し、パラメータ化された族は、 ( s , p ) ↦ f _s ( p )で与えられる関連する写像(−ε, ε) × M → Nが滑らかであるという意味で滑らかであると仮定します。

• 第一の変化式は^[15]

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}}$

境界を持つ多様体のバージョンもある。^[16]

• 第二の変化式もある。^[17]

第一変分公式により、fのラプラシアンはディリクレエネルギーの勾配として考えることができ、それに応じて調和写像はディリクレエネルギーの臨界点である。 ^{[18]これは、}大域解析とバナッハ多様体の言語で正式に行うことができます。

( M , g )と( N , h )を滑らかなリーマン多様体とする。g _stanという表記は、ユークリッド空間上の標準リーマン計量を表すのに用いられる。

• すべての完全な測地線写像( M , g ) → ( N , h )は調和写像である。これは上記の定義から直接導かれる。特別な場合として:
  • Nの任意のqに対して、 qにおける定数写像( M , g ) → ( N , h )は調和写像である。
  • 恒等写像( M , g )→( M , g )は調和写像である。
• f  : M → Nが浸漬である場合、f  : ( M , f ^* h ) → ( N , h )が調和となるのは、f がhに対して最小である場合に限ります。特別な場合として、
  • f  : ℝ → ( N , h )が等速浸漬である場合、 f  : (ℝ, g _stan ) → ( N , h )は、 f が測地線微分方程式を解く場合のみ調和的です。

Mが 1 次元の場合、 fの最小性はf が測地線であることと同等ですが、これは一定速度のパラメータ化であることを意味するものではなく、したがってf が測地線微分方程式を解くことを意味するものでもありません。

• 滑らかな写像f  : ( M , g ) → (ℝ ⁿ , g _stan )が調和写像となるのは、そのn個の成分関数のそれぞれが写像( M , g ) → (ℝ, g _stan )として調和写像となる場合のみです。これは、ラプラス-ベルトラミ演算子によって提供される調和性の概念と一致します。
• ケーラー多様体間のすべての正則写像は調和写像である。
• リーマン多様体間のすべての調和射は調和的である。

( M , g )と( N , h )を滑らかなリーマン多様体とする。区間( a , b )上の調和写像熱流は、 ( a , b )の各tに2 回微分可能な写像f _t  : M → Nを割り当て、Mの各pに対して、 t ↦ f _t ( p )で与えられる写像( a , b ) → N は微分可能であり、与えられたtの値でのその導関数は、 T _{f t ( p )} Nのベクトルとして、(∆ f _t ) _pに等しくなります。これは通常、次のように省略されます。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.}$

Eells と Sampson は調和写像熱流を導入し、次の基本的な特性を証明しました。

• 規則性。任意の調和写像熱流は、 ( t , p )↦ft ( p ₎で与えられる写像( a , b )× M → Nとして滑らかである。

ここで、M が閉多様体であり、( N、h )が測地完備であると仮定します。

• 存在。MからNへの連続的に微分可能な写像fが与えられたとき、正の数Tと区間(0, T )上の調和写像熱流ftが存在し、 tが⁰に減少するにつれてft_はC1位相でfに収束する_。 ^[19]
• 一意性。存在定理のように、 { f _t  : 0 < t < T }と{ f _t  : 0 < t < T }が 2 つの調和写像熱流である場合、0 < t < min( T , T )のときは常にf _t = f _tです。

一意性定理の結果として、初期データfを持つ最大調和写像熱流が存在し、これは存在定理の記述にあるように調和写像熱流{ f _t  : 0 < t < T }を持ち、 T が最大値（無限大になる可能性もある）を取るという追加の基準の下で一意に定義されることを意味します。

イールスとサンプソンの1964年の論文の主な結果は次のとおりです。^[1]

( M , g )と( N , h )を滑らかで閉じたリーマン多様体とし、( N , h )の断面曲率が非正であると仮定します。すると、 MからNへの任意の連続微分可能写像fに対して、初期データfを持つ最大調和写像熱流{ f _t  : 0 < t < T }はT = ∞となり、t が∞に増加すると、写像f _{t は}その後C ^∞位相で調和写像に収束します。

特に、これは、( M、g )および( N、h )に関する仮定の下で、すべての連続写像が調和写像にホモトピックであることを示しています。 ^[1]暗黙的に主張されている各ホモトピークラスにおける調和写像の存在自体が結果の一部です。これは、熱方程式を構築し、初期条件としての任意の写像に対して、常に存在する解と、その解が調和写像に均一に部分収束することを示すことによって証明されます。

イールスとサンプソンの結果はリチャード・ハミルトンによって、 Mが空でない境界を持つコンパクトなディリクレ境界値問題の設定に適応された。 ^[20]

イールスとサンプソンの研究の直後、フィリップ・ハートマンは彼らの手法を拡張してホモトピー類内の調和写像の一意性を研究し、さらにイールス−サンプソン定理の収束は部分列を選択する必要がなく、強いことを示した。^[21]つまり、2つの写像が最初は近い場合、熱方程式の対応する解の間の距離は常に非増加であり、したがって次のようになる。^[22]

• 各ホモトピー類における全測地線写像の集合はパス連結である。
• すべての調和マップはエネルギーを最小化し、完全に測地線状です。

^[23]は、積からへのすべての写像は写像に同型であり、各-ファイバーに制限すると写像は完全に測地線的になることを指摘している。 ${\displaystyle W\times M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Eells と Sampson の研究の後、長年にわたり、( N , h )の断面曲率仮定がどの程度必要であるかは不明であった。1992 年の Kung-Ching Chang、Wei-Yue Ding、および Rugang Ye の研究に続いて、調和写像熱流の最大存在時間は「通常」無限であるとは期待できないことが広く受け入れられている。^{[24]彼らの結果は、} ( M , g )と( N , h )の両方が標準計量を持つ 2 次元球として取られた場合でも、「有限時間爆発」を伴う調和写像熱流が存在することを強く示唆している。楕円型および放物型偏微分方程式は領域が 2 次元の場合に特に滑らかであるため、Chang−Ding−Ye の結果は流れの一般的な特徴を示すものと考えられている。

サックスとウーレンベックの基礎研究をモデルにして、マイケル・ストルーエは( N , h )に幾何学的仮定がない場合を考察した。Mが2 次元の場合、彼は調和写像熱流の弱解の無条件存在と一意性を確立した。 ^[25]さらに、彼は彼の弱解が、エネルギー密度が集中する有限個の時空点から離れて滑らかであることを発見した。微視的レベルでは、これらの点の近くの流れはバブル、つまり丸い 2 次元球からターゲットへの滑らかな調和写像によってモデル化される。ウェイユエ・ディンとガン・ティエンは、特異時間におけるエネルギー量子化を証明できた。つまり、ストルーエの弱解のディリクレエネルギーは、特異時間において、その時点の特異点に対応するバブルの総ディリクレエネルギーの合計だけ低下する。^[26]

シュトルウェは後に、領域多様体がユークリッド空間である場合に、彼の方法を高次元に適応させることができた。^[27]彼とユン・メイ・チェンは、高次元の閉多様体も検討した。^[28]彼らの結果は、低次元の場合よりも成果が少なく、開いた稠密な部分集合上で滑らかな弱解の存在を証明できただけであった。

イールスとサンプソンの定理の証明における主な計算上のポイントは、ボクナーの公式を調和写像熱流{ f _t  : 0 < t < T }の設定に適応させることである。この公式は^[29]

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

これは調和写像を解析する上でも興味深い。f  : M → Nが調和写像であると仮定すると、任意の調和写像は調和写像熱流の定数t解として見ることができるので、上記の式から^[30]が得られる。

${\displaystyle \Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

gのリッチ曲率が正でhの断面曲率が非正であれば、 ∆ e ( f ) は非負であることを意味する。M が閉じている場合、 e ( f ) による乗算と部分積分により、e ( f )は定数、つまりゼロでなければならないことが示され、したがってf自体も定数でなければならない。^[31] Richard SchoenとShing-Tung Yau は、この推論は、L ²で制限される非負のサブハーモニック関数は定数でなければならないと主張する Yau の定理を利用することで、非コンパクトなMに拡張できることを指摘した。^[32]まとめると、これらの結果によれば、次のようになる。

( M , g )と( N , h )を滑らかで完全なリーマン多様体とし、f​​ をMからNへの調和写像とする。 gのリッチ曲率が正で、 hの断面曲率が非正である とする。

• MとNが両方とも閉じている場合、 f は定数でなければなりません。
• Nが閉じていて、f が有限のディリクレ エネルギーを持つ場合、f は定数でなければなりません。

これをEells−Sampsonの定理と組み合わせると、例えば、( M , g )が正のリッチ曲率を持つ閉リーマン多様体であり、( N , h )が非正の断面曲率を持つ閉リーマン多様体である場合、MからNへのすべての連続写像は定数に同型であることが分かります。

一般写像を調和写像に変形し、そのような調和写像は自動的に高度に制限されたクラスになることを示すという一般的な考え方は、多くの応用が見出されている。例えば、Yum-Tong Siu は、ボクナー公式の重要な複素解析バージョンを見つけ、ターゲット多様体が適切に負の曲率を持つ限り、ケーラー多様体間の調和写像は必ず正則になると主張した。^[33]応用として、調和写像に対する Eells−Sampson 存在定理を利用して、( M、g )と( N、h )が滑らかで閉じたケーラー多様体であり、( N、h )の曲率が適切に負であれば、 MとNが互いに同型であれば、それらは必ず双正則または反双正則になることを示すことができた。双正則写像（または反双正則写像）は、ホモトピーによって与えられた初期データを持つ調和写像熱流の極限として生成される調和写像とまったく同じである。同じアプローチの別の定式化によって、Siu は、負の曲率という制限されたコンテキストではあるが、まだ解決されていないホッジ予想の変種を証明することができた。

ケビン・コーレットは、シウのボクナー公式の重要な拡張を発見し、それを用いて特定のリー群の格子に対する新しい剛性定理を証明した。^[34]これに続いて、ミカエル・グロモフとリチャード・シェーンは調和写像の理論の多くを拡張し、( N , h )を距離空間に置き換えることを可能にした。^[35]イールス−サンプソン定理の拡張とシウ−コーレットのボクナー公式の拡張を組み合わせることで、彼らは格子に対する新しい剛性定理を証明することができた。

• 多様体間の調和写像の存在結果は、それらの曲率に影響を与えます。
• 存在がわかったら、調和写像を明示的に構築するにはどうすればよいでしょうか? (1 つの効果的な方法は、ツイスター理論を使用することです。)
• 理論物理学では、作用がディリクレエネルギーによって与えられる量子場の理論はシグマモデルとして知られています。このような理論では、調和写像はインスタントンに対応します。
• 計算流体力学と計算物理学のグリッド生成方法におけるオリジナルのアイデアの 1 つは、等角マッピングまたは調和マッピングのいずれかを使用して規則的なグリッドを生成するというものでした。

が測地線であるときはいつでも、その合成が測地線である とき、リーマン多様体間の写像は完全測地線である。${\displaystyle u:M\rightarrow N}$${\displaystyle \gamma :(a,b)\rightarrow M}$${\displaystyle u\circ \gamma }$

エネルギー積分は、2つの計量空間間の関数u  : M → Nのより弱い設定で定式化できる。エネルギー積分関数は、代わりに次の形式の関数である。

${\displaystyle e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}}$

μ^εx
_​はMの各点に付随する測度の族である。^[36]

• 幾何学的流れ

脚注

記事

書籍と調査

• MathWorld: 調和マップ
• ハーモニックマップの参考文献
• 調和写像の書誌