接線展開可能

曲面の微分幾何学における数学的研究において、接線展開可能曲面とは、ユークリッド空間における曲線から、その曲線に接する線によって描かれる曲面の一種である。このような曲面は、曲線に接する平面の包絡線でもある。

させて$\displaystyle \gamma (t)$滑らかな空間曲線のパラメーター化である。つまり、${\displaystyle \gamma }$は、導関数がどこにもゼロにならない2回微分可能な関数であり、引数を写像する。${\displaystyle t}$（実数）を空間内の点に投影した曲線は、${\displaystyle \gamma }$すると、2次元曲面、すなわち接線展開可能な曲面が得られます。${\displaystyle \gamma }$マップによってパラメータ化される可能性があります

${\displaystyle (s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).}$^{[ 1 ]}

元の曲線は接線展開可能な領域の境界を形成し、その準線または回帰境界と呼ばれます。この曲線は、まず曲面を平面に展開し、次に曲面上の線分の生成線の平面上の像を考えることによって得られます。この線群の包絡線は平面曲線であり、展開による逆像が回帰境界となります。直感的には、これは曲面を平面に展開する過程で折り畳む必要のある曲線です。

接線展開可能面は展開可能曲面です。つまり、ガウス曲率がゼロの曲面です。これは、展開可能曲面の 3 つの基本タイプの 1 つです。他の 2 つは、一般化円錐 (固定点を通る 1 次元の線族によって描かれる曲面) と円柱 (1 次元の平行線族によって描かれる曲面) です。 (平面は、4 番目のタイプとして挙げられる場合もあれば、これら 2 つのタイプのいずれかの特殊な場合とみなされる場合もあります。) 3 次元空間のすべての展開可能曲面は、これら 3 つのタイプの断片を貼り合わせることによって形成できます。このことから、すべての展開可能曲面は線織面、つまり 1 次元の線族の和集合であることがわかります。^{[ 2 ]}ただし、すべての線織面が展開可能というわけではありません。ヘリコイドは反例です。

一般的に、曲線にねじれがゼロの点がある場合、その点における接線展開線は、ホイットニー傘のような形をしたピンチ形状の自己交差を持つ。これを示すために、曲線を使用する。${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2},t^{4})}$そしてその近傍の接線展開可能領域を研究する${\displaystyle t=0}$。

接線展開可能曲面は、1772年にレオンハルト・オイラーによって初めて研究されました。^{[ 3 ]}それまで知られていた展開可能曲面は、一般化された円錐と円柱だけでした。オイラーは、接線展開可能曲面は展開可能であり、すべての展開可能曲面はこれらのタイプのいずれかに属することを示しました。^{[ 2 ]}

• ストライク、ディルク・ヤン（1961）『古典微分幾何学講義』アディソン・ウェスリー。
• ヒルベルト、デイヴィッド；コーン＝フォッセン、シュテファン（1952）、『幾何学と想像力（第2 版）』、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994]、「展開可能な曲面」、数学百科事典、EMS Press
• ヴォイツェホフスキー、MI（2001）[1994]、「回帰の境界」、数学百科事典、EMS Press

• ワイススタイン、エリック W. 「接線展開可能」 . MathWorld .