座標超曲面がすべて直角に交わる座標の集合
数学 において 、 直交座標は 、座標 超曲面が すべて 直角に交わる d 座標 の集合として定義されます (上付き文字は 指数 ではなく インデックスであることに注意してください)。特定の座標 q k の座標面は、 q k が定数である 曲線 、 面 、または 超曲面 です 。たとえば、3 次元の 直交座標 ( x 、 y 、 z ) は、その座標面 x = 定数、 y = 定数、および z =定数が互いに直角に交わる、つまり垂直な平面であるため、直交座標系です。直交座標は、 曲線座標 の特殊ですが、非常に一般的なケースです 。
q
= （
q
1
、
q
2
、 … 、
q
d
）
{\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}
モチベーション 長方形グリッドに作用する等角マップ 。 曲線グリッドの直交性が保持されることに注意してください。 ベクトル演算や物理法則は通常、 直交座標で導くのが最も簡単ですが、量子力学、 流体の流れ 、 電気 力学、 プラズマ 物理学、化学種や熱の拡散など の 場 の 理論 で 生じる 問題など、特に 境界値問題 などのさまざまな問題の解決には、非直交座標系がよく使用され ます 。
非直交座標系の主な利点は、問題の対称性に合わせて選択できることです。たとえば、地面（または他の障壁）から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、直交座標系では 3D 空間に依存しますが、圧力は主に中心から遠ざかる方向に移動するため、 球面座標系 では問題はほぼ 1 次元になります（圧力波は主に時間と中心からの距離のみに依存するため）。もう 1 つの例は、まっすぐな円形パイプ内の（遅い）流体です。直交座標系では、偏微分方程式を伴う（難しい） 2 次元境界値問題を解く必要がありますが、 円筒座標系では、 偏微分方程式 ではなく 常微分方程式 を使用する 1 次元の問題になります 。
一般曲線座標 ではなく直交座標が好まれる理由は単純さである。座標が直交していないと多くの複雑な問題が生じる。例えば、直交座標では多くの問題が 変数の分離 によって解ける 。変数の分離とは、複雑な d 次元の問題を、既知の関数で解ける d 次元の問題に変換する数学的手法である。多くの方程式は ラプラス方程式 または ヘルムホルツ方程式 に簡約できる。 ラプラス方程式は 13 の直交座標系（下の表に挙げた 14 は トーラス座標 系を除く ）で分離可能であり、 ヘルムホルツ方程式 は 11 の直交座標系で分離可能である。 [1] [2]
直交座標は、計量テンソル に非対角項を持つことはありません 。言い換えれば、無限小二乗距離 ds 2 は常に、無限小座標変位の二乗のスケール和として表すことができます
。
d
s
2
=
∑
け = 1
d
（
h
け
d
q
け
）
2
{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}
ここで dは 次元であり、スケーリング関数（またはスケール係数）は
h
け
（
q
）
=
d e ふ
グ
け け
（
q
）
=
|
e
け
|
{\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|}
計量テンソルの対角成分の平方根、または 以下に説明する局所基底ベクトルの長さに等しくなります。これらのスケーリング関数 h i は 、新しい座標の微分演算子、たとえば勾配 、 ラプラシアン 、 発散 、 回転 を計算するために使用されます 。
e
け
{\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
2 次元で直交座標系を生成する簡単な方法は、 標準的な 2 次元グリッドの 直交座標 ( x , y )の 等角写像 を使用することです。実座標 x と yから 複素数 z = x + iy を形成できます 。ここで、 i は 虚数単位 を表します 。非ゼロの複素導関数を持つ任意の 正則関数 w = f ( z ) は 等角写像を 生成します 。結果の複素数が w = u + iv と書かれる場合、定数u と v の曲線は、定数 x と y の元の線が直角に交差したのと同じように直角に交差します 。
3 次元以上の直交座標は、直交 2 次元座標系を新しい次元 ( 円筒座標) に投影するか、2 次元システムをその対称軸の 1 つを中心に回転させることによって生成できます。ただし、楕円 体 座標など、2 次元システムを投影または回転しても取得できない 3 次元の直交座標系もあります。より一般的な直交座標は、いくつかの必要な座標面から始めて、それらの 直交軌道を 考慮することによって取得できます 。
基底ベクトル
共変基底 直交座標 では 、 基底ベクトルは固定（定数）です。より一般的な 曲線座標 の設定では 、空間内の点が座標によって指定され、そのような点ごとに基底ベクトルのセットが制限されますが、これらの基底ベクトルは一般に一定ではありません。これが一般的な曲線座標の本質であり、非常に重要な概念です。直交座標の特徴は、基底ベクトルは変化しますが、常に 互いに
直交していることです。言い換えると、
e
私
⋅
e
じ
= 0
もし
私 ≠ じ
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}
これらの基底ベクトルは、定義により、 他の座標を固定したまま 1 つの座標を変化させることによって得られる曲線の
接線ベクトルです。
2D 直交座標の視覚化。1 つを除くすべての座標を一定に保持することによって得られる曲線が、基底ベクトルとともに表示されます。基底ベクトルの長さは等しくないことに注意してください。必ずしも等しくする必要はなく、直交していればよいのです。
e
私
=
∂
r
∂
q
私
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}
ここで、 r は ある点であり、 q i は 基底ベクトルが抽出される座標です。言い換えると、曲線は 1 つの座標を除くすべての座標を固定することによって得られます。固定されていない座標は パラメトリック曲線 のように変化し、曲線のパラメータ (変化する座標) に対する導関数がその座標の基底ベクトルになります。
ベクトルの長さは必ずしも等しくないことに注意してください。座標のスケール係数と呼ばれる便利な関数は、単に 基底ベクトルの長さです (下の表を参照)。スケール係数は、 ラメ係数 と呼ばれることもありますが、 ラメパラメータ (固体力学) と混同しないでください 。
h
私
{\displaystyle h_{i}}
e
私
{\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}
正規化された 基底ベクトル はハットで表記され、長さで割ることで得られます。
e
^
私
=
e
私
h
私
=
e
私
|
e
私
|
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}
ベクトル 場は、 基底ベクトルまたは正規化基底ベクトルに対する成分によって指定できますが、どちらの場合を意図しているかを確認する必要があります。正規化基底の成分は、量を明確化するためのアプリケーションで最も一般的です (たとえば、接線速度とスケール係数の積ではなく、接線速度を扱いたい場合があります)。導出では、正規化基底はより複雑であるため、あまり一般的ではありません。
反変基底 上記の基底ベクトルは 共変 基底ベクトルです (ベクトルと「共変」するため)。直交座標の場合、反変基底ベクトルは共変ベクトルと同じ方向ですが 長さが逆で あるため簡単に見つけることができます(このため、2 セットの基底ベクトルは互いに逆数であると言われています)。
e
私
=
e
^
私
h
私
=
e
私
h
私
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}
これは、定義により、クロネッカーのデルタ を 使用すると、 と なることから導かれます 。次の点に注意してください。
e
私
⋅
e
じ
=
δ
私
じ
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}
e
^
私
=
e
私
h
私
=
h
私
e
私
≡
e
^
私
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}
ここで、直交座標でベクトルを記述するために一般的に使用される 3 つの異なる基底セット、すなわち共変基底 e i 、反変基底 e i 、および正規化基底 ê i について説明します。ベクトルは 客観的な量 であり、そのアイデンティティはどの座標系からも独立していますが、ベクトルの成分はベクトルがどの基底で表現されるかによって異なります。
混乱を避けるために、 e i 基底に関する ベクトル xの成分は x i と表され、 e i 基底に関する成分は x i と表されます 。
x
=
∑
私
x
私
e
私
=
∑
私
x
私
e
私
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}
インデックスの位置は、コンポーネントの計算方法を表します (上位のインデックスを指数 と混同しないでください)。 合計 記号 Σ (大文字の シグマ ) と合計範囲 (すべての基底ベクトル ( i = 1, 2, ..., d ) を示す) は 省略される ことが多いことに注意してください 。コンポーネントは次のように簡単に関連付けられます。
h
私
2
x
私
=
x
私
{\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}
正規化された基底に関して、ベクトル成分を区別する広く使用されている表記法はありません。この記事では、ベクトル成分に下付き文字を使用し、成分が正規化された基底で計算されることに注意してください。
ベクトル代数 ベクトルの加算と否定は、直交座標の場合と同様に、複雑なことなく成分ごとに実行されます。その他のベクトル演算については、追加の考慮が必要になる場合があります。
ただし、これらの操作はすべて、 ベクトル場 の 2 つのベクトルが同じ点にバインドされている (つまり、ベクトルの末尾が一致している) ことを前提としていることに注意してください。基底ベクトルは一般に直交座標で変化するため、空間内の異なる点で計算される成分を持つ 2 つのベクトルを追加する場合は、異なる基底ベクトルを考慮する必要があります。
ドット積 デカルト座標 ( 正規 直交基底を持つ ユークリッド空間 )における ドット 積は 、単に成分の積の合計です。直交座標では、ベクトルの成分が正規化された基底で計算されると、2 つのベクトル x と y のドット積は次のよく知られた形式になります。
x
⋅
ええ
=
∑
私
x
私
e
^
私
⋅
∑
じ
ええ
じ
e
^
じ
=
∑
私
x
私
ええ
私
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}
これは、正規化された基底が、ある時点で直交座標系を形成できるという事実から直接導かれる結果です。つまり、基底セットは 正規直交 です。
共変基底または反変基底の成分については、
x
⋅
y
=
∑
i
h
i
2
x
i
y
i
=
∑
i
x
i
y
i
h
i
2
=
∑
i
x
i
y
i
=
∑
i
x
i
y
i
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}
これは、ベクトルを成分形式で書き出し、基底ベクトルを正規化し、ドット積を取ることで簡単に導き出すことができます。たとえば、2D では次のようになります。
x
⋅
y
=
(
x
1
e
1
+
x
2
e
2
)
⋅
(
y
1
e
1
+
y
2
e
2
)
=
(
x
1
h
1
e
^
1
+
x
2
h
2
e
^
2
)
⋅
(
y
1
e
^
1
h
1
+
y
2
e
^
2
h
2
)
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}
ここでは、正規化された共変基底と反変基底が等しいという事実が使用されています。
クロス積 3D デカルト座標における
外積 は次のようになります。
x
×
y
=
(
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
e
^
1
+
(
x
3
y
1
−
x
1
y
3
)
e
^
2
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
e
^
3
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
上記の式は、成分が正規化された基底で計算される場合、直交座標でも有効です。
共変または反変基底を持つ直交座標で外積を構築するには、基底ベクトルを単純に正規化する必要があります。例:
x
×
y
=
∑
i
x
i
e
i
×
∑
j
y
j
e
j
=
∑
i
x
i
h
i
e
^
i
×
∑
j
y
j
h
j
e
^
j
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}
これを拡張して書くと、
x
×
y
=
(
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
h
2
h
3
h
1
e
1
+
(
x
3
y
1
−
x
1
y
3
)
h
1
h
3
h
2
e
2
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
h
1
h
2
h
3
e
3
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}
直交しない座標や高次元への一般化を簡素化する外積の簡潔な表記は、 スケール係数がすべて 1 でない場合、0 と 1 以外の成分を持つ
レヴィ・チヴィタ テンソルで可能です。
ベクトル計算
差別化 ある地点からの微小な変位を見ると、
d
r
=
∑
i
∂
r
∂
q
i
d
q
i
=
∑
i
e
i
d
q
i
{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
定義 により 、関数の勾配は次式を満たす必要がある（この定義は、 ƒ が 任意の テンソル である場合にも成り立つ）
d
f
=
∇
f
⋅
d
r
⇒
d
f
=
∇
f
⋅
∑
i
e
i
d
q
i
{\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}
したがって、 del 演算子は 次のようになります。
∇
=
∑
i
e
i
∂
∂
q
i
{\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}
そして、これは一般の曲線座標でも当てはまります。 勾配 や ラプラシアン などの量は、この演算子を適切に適用することで得られます。
d r と正規化された基底ベクトル ê i から、以下を構築できる。 [3] [4]
どこ
J
=
|
∂
r
∂
q
1
⋅
(
∂
r
∂
q
2
×
∂
r
∂
q
3
)
|
=
|
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
|
=
h
1
h
2
h
3
{\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}
はヤコビ行列式 であり、直交座標における微小立方体d x d y d z から微小曲面体積へ
の体積変形の幾何学的解釈を持ちます。
統合 上記の線要素を使用すると、 ベクトル F のパスに沿った 線積分は 次のようになります。
P
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}
∫
P
F
⋅
d
r
=
∫
P
∑
i
F
i
e
i
⋅
∑
j
e
j
d
q
j
=
∑
i
∫
P
F
i
d
q
i
{\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}
1 つの座標q k を 一定に保つことによって記述される表面の面積の無限小要素は 次のようになります。
d
A
k
=
∏
i
≠
k
d
s
i
=
∏
i
≠
k
h
i
d
q
i
{\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}
同様に、ボリューム要素は次のようになります。
d
V
=
∏
i
d
s
i
=
∏
i
h
i
d
q
i
{\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}
ここで、大きな記号 Π (大文字の Pi )は、大きな記号 Σ が合計を表すのと同じように 積を 表します。すべてのスケール係数の積が ヤコビ行列式 であることに注意してください。
例として、 3D の
q 1 = 定数 面 上の ベクトル関数 Fの 面積分は次のようになります。
S
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}
∫
S
F
⋅
d
A
=
∫
S
F
⋅
n
^
d
A
=
∫
S
F
⋅
e
^
1
d
A
=
∫
S
F
1
h
2
h
3
h
1
d
q
2
d
q
3
{\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}
F 1 / h 1 は、表面に対して垂直な
F の成分である ことに注意してください。
3次元の微分演算子 これらの演算はアプリケーションでよく使用されるため、このセクションのすべてのベクトル成分は正規化された基底に関して表されます 。
F
^
i
=
F
⋅
e
^
i
{\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
上記の式は、繰り返しインデックスの合計を前提として、
レヴィ・チヴィタ記号 とヤコビ行列式 を使用して、よりコンパクトな形式で記述できます。
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
J
=
h
1
h
2
h
3
{\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}
また、スカラー場の勾配は、標準偏微分を含む
ヤコビ行列 J で表現できることにも注意してください。
J
=
[
∂
ϕ
∂
q
1
,
∂
ϕ
∂
q
2
,
∂
ϕ
∂
q
3
]
{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}
基準の変更 により ：
∇
ϕ
=
S
R
J
T
{\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}}
ここで、回転行列とスケーリング行列は次のようになります。
R
=
[
e
1
,
e
2
,
e
3
]
{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}
S
=
d
i
a
g
(
[
h
1
−
1
,
h
2
−
1
,
h
3
−
1
]
)
.
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}
2次元直交座標表
2 次元直交座標の例 (https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d)。
3次元直交座標表 通常の直交座標のほかに、13 個の他の座標が以下に表にまとめられています。 [5]曲線座標の列では、簡潔さを保つために 区間表記 が使用され、エントリは区間シグネチャによってグループ化されています。たとえば、球面座標の場合は COxCCxCO で、各シグネチャの x は直交積を示し、理論上の制限は 27 個です。対称性から、これは完全なリストであると結論付けることができます。エントリは、区間シグネチャのアルファベット順に並べられておらず、シグネチャも含まれていません。エントリを区間シグネチャでグループ化した後、ここでの並べ替え順序は、曲線座標系の名前のアルファベット順です。
参照
注記
^ Eric W. Weisstein . 「直交座標系」. MathWorld . 2008年 7月10日 閲覧 。 ^ モースとフェシュバッハ 1953年、第1巻、pp.494–523, 655–666。 ^ 数学ハンドブック 数式と表（第3版）、S. Lipschutz、MR Spiegel、J. Liu、Schuam's Outline Series、2009年、 ISBN 978-0-07-154855-7 。 ^ Vector Analysis (第 2 版)、MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161545-7 ^ Vector Analysis (第 2 版)、MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161545-7
参考文献 Korn GA および Korn TM . (1961) 科学者およびエンジニアのための数学ハンドブック 、McGraw-Hill、pp. 164–182。 モースとフェシュバッハ (1953)。 理論物理学の方法、第 1 巻 。マグロウヒル。 Margenau H. および Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry 、第 2 版、Van Nostrand、pp. 172–192。 Leonid P. Lebedev と Michael J. Cloud (2003) Tensor Analysis 、pp. 81 – 88。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e } _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&= \left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{ 2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)= x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b967298ef8aa5d1b20f98c99698d74ed639bbcae)
![{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3d1780fdf3a08972f06460f5741be18d7bd6fe)
![{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fd2e72b24c18b1b2b140ee915554865ec5c6a5)
![{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974cf3b8344f1c1effd1f000b64a2ac21b104055)