リチャード・S・ハミルトン

1986年、ピーター・リーとシン・トゥン・ヤウは、熱方程式の解を制御するために最大値原理を適用する新しい方法を発見した。^{[ 21 ]}彼らの結果は、熱方程式の正の解の偏導関数の特定の組み合わせの非負性を主張する形をとる。微分ハーナック不等式またはリー・ヤウ不等式として知られるこれらの不等式は、任意の2つの時空点における解の値を比較するために経路に沿って積分できるため有用である。1993年、ハミルトンは、リーとヤウの計算を拡張できることを示し、彼らの微分ハーナック不等式は、行列値関数の非負性を主張するより強い不等式の結果であることを示した。^[H93a]彼の結果には、基礎となる閉じたリーマン多様体が非負の断面曲率と平行なリッチテンソルを持つというより強い仮定が必要だった（例えば、平坦なトーラスや複素射影空間上のフビニ・スタディ計量など）。このような行列不等式は、リー・ヤウ・ハミルトン不等式として知られていることもある。^{[ 22 ]}

ハミルトンはまた、LiとYauの計算が、2次元閉多様体上の正曲率のリッチフローに沿ったスカラー曲率のハーナック不等式を導出するために直接適用できることを発見した。 ^[H88]さらに努力して、曲率演算子が非負である限り、一般次元のリッチフローに沿ったリーマン曲率テンソルの場合に、彼の行列推定の類似物を定式化できた。^[H93b]重要な代数的系として、2つの異なる時空点におけるスカラー曲率の値を比較することができる。この事実は、ハミルトンとペレルマンによるリッチフローのさらなる研究で広く利用されている。^{[ 22 ] [ 23 ]}

ハミルトンは後に、リッチフローに対するリー・ヤウの評価を平均曲率フローの設定に適用した。平均曲率フローは、幾何学が第2基本形式によって支配され、リーマン曲率テンソルよりも単純な構造を持つため、わずかに単純である。^[H95c]厳密な凸性を必要とするハミルトンの定理は、ゲルハルト・フイスケンとカルロ・シネストラリの凸性評価により、平均曲率フローの特定の特異点に自然に適用できる。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 22 ]}

1956年、ジョン・ナッシュは、ユークリッド空間にリーマン多様体を滑らかに等長的に埋め込む問題を解決した。 ^{[ 26 ]}彼の証明の中核は、ある方法でリーマン計量が等長的に埋め込めるならば、その近傍の任意のリーマン計量も等長的に埋め込めることを示す、斬新な「小さな摂動」の結果であった。このような結果は陰関数定理に非常によく似ており、多くの著者がその証明の論理を一般的な定理の枠組みに収めようと試みてきた。このような定理は現在、ナッシュ・モーザー定理として知られている。^{[ 27 ]}

1982年、ハミルトンはナッシュの推論を定式化し、その定理を扱いやすいフレシェ空間の設定に当てはめた。ナッシュがフーリエ変換を制限して関数を正則化するという基本的な手法は、ハミルトンによってバナッハ空間の指数関数的に減少する数列の設定に抽象化された。^[H82a]彼の定式化はその後広く引用され、使用された。彼はそれを用いて、幾何発展方程式の一般的な存在と一意性の定理を証明した。微分同相群の作用による不変性によって生じる退化のため、このような設定では標準的な陰関数定理は適用できないことが多い。^[H82b]特に、リッチフローの適切性はハミルトンの一般的な結果から導かれる。デニス・デタークはリッチフローの特定の場合においてより簡単な証明を与えたが、ハミルトンの結果はデタークの方法が適用できない他の幾何フローにも使用されている。^{[ 22 ]}

1964年、James EellsとJoseph Sampsonは調和写像熱流の研究を開始し、流れの収束定理を用いて、非正曲率の閉多様体から閉多様体への任意の滑らかな写像が調和写像に変形できることを示した。1975年、Hamiltonはこの流れに対応する境界値問題を考察し、 Dirichlet条件とNeumann条件についてEellsとSampsonの結果と同様の結果を証明した。^[H75]この設定では問題の解析的性質はより繊細である。なぜなら、境界での勾配の大きさが境界条件によって自動的に制御されないため、EellsとSampsonによる放物型Bochner公式への最大原理の重要な適用は自明には実行できないからである。^{[ 28 ]}

リチャード・シューンとシン・トゥン・ヤウは、ハミルトンの定理を用いて、完全リーマン多様体から非正曲率の閉リーマン多様体への任意の有限エネルギー写像を有限エネルギー調和写像に変形できることを証明した。^{[ 29 ]}このような写像を用いることで、彼らは、非負リッチ曲率の完全リーマン多様体内の単連結境界を持つプレコンパクト開部分集合のトポロジーに関する制約など、純粋に幾何学的な系を多数導出することができた。^{[ 28 ]}

1986年、ハミルトンとマイケル・ゲージは、ハミルトンのナッシュ・モーザー定理と放物型方程式の適切性定理を適用して、平均曲率フローの適切性を証明しました。彼らは、閉じた多様体の滑らかなリーマン多様体への埋め込みの1パラメータ族の一般の場合を考察しました。^[GH86]次に、曲線短縮フローの最も単純なコンテキストである、円のユークリッド平面への埋め込みの場合に特化しました。曲線上の2点間の距離に適用される最大原理を使用して、最初の埋め込みが埋め込みである場合、平均曲率フローの将来のすべての埋め込みも埋め込みであることを証明しました。さらに、曲線の凸性は将来にわたって保持されます。^{[ 30 ]}

ゲージとハミルトンの主な結果は、凸面上の滑らかに埋め込まれた任意の円に対して、対応する平均曲率流が有限時間存在し、時間が最大値に近づくにつれて曲線が漸近的に小さく円形になっていくというものである。^[GH86]彼らは、ゲージの以前の結果と、ボンネセンの不等式などの曲線に関するいくつかの特別な結果を利用した。^{[ 30 ]}

1987年、マシュー・グレイソンは、平面に滑らかに埋め込まれた任意の円に対して、対応する平均曲率フローが最終的に凸になることを示した補完的な結果を証明した。^{[ 31 ]}ゲージとハミルトンの結果と組み合わせると、平面に埋め込まれた円の平均曲率フローの漸近挙動のほぼ完全な記述が得られる。この結果は、ゲージ・ハミルトン・グレイソン定理として知られることもあり、曲線短縮フローは、ユークリッド平面に埋め込まれた任意の円を真円に変形するための体系的かつ幾何学的に定義された手段を与えると述べている。^{[ 30 ]}

ゲージ・ハミルトンとグレイソンの結果に関する現代の理解では、通常、任意の曲線が凸になることを示したり、凸曲線の挙動を個別に研究したりする必要なく、両方の設定を同時に扱います。これらの結果は、平均曲率流以外の設定にも拡張できます。^{[ 32 ]}

ハミルトンは、放物型偏微分方程式に対する最大値原理を、放物型偏微分方程式を満たす対称2テンソルの設定に拡張した。^[H82b]彼はまた、これを、熱方程式を満たす閉多様体上のベクトル束のパラメータ依存セクションの一般的な設定に置き、強い形式と弱い形式の両方を与えた。^{[H86] [ 22 ]}

これらの基礎的な技術開発のおかげで、ハミルトンは、正のリッチ曲率を持つ 3 次元の閉じたリーマン多様体^[H82b]または非負のリッチ曲率を持つ閉じたリーマン多様体^[H86]、正または非負の曲率演算子を持つ 4 次元の閉じたリーマン多様体^[H86]、および非正のオイラー標数または正の曲率を持つ 2 次元の閉じたリーマン多様体^{[H88] を}リッチフローがどのように変形するかについて、ほぼ完全な理解を与えることができた。いずれの場合も、適切な正規化の後、リッチフローは与えられたリーマン計量を一定曲率のものに変形する。これは、微分幾何学において非常に重要な直接的な帰結を持ち、例えば、正の曲率を持つリーマン計量を持つ任意の滑らかな 3 次元閉じた多様体は、一定の正の断面曲率を持つリーマン計量も持つという事実などである。このような結果は、そのような多様体のトポロジーを非常に制限する点で注目に値する。正曲率の空間形式は大部分が理解されている。閉じた滑らかな 3 次元多様体上の正のリッチ曲率のリーマン計量の位相空間が経路連結であるという事実など、他の系もある。後の発展の中で、ハミルトンのこれらの収束定理は、2009 年にSimon BrendleとRichard Schoenによって拡張され、1960 年代からリーマン幾何学における主要な予想であった微分可能球面定理の証明を与えた。^{[ 33 ] [ 22 ]}

1995年、ハミルトンはジェフ・チーガーのリーマン多様体に対するコンパクト性理論を拡張し、リッチフローの列に対するコンパクト性定理を与えた。^[H95a]有限時間特異点を持つ閉じた多様体上のリッチフローが与えられたとき、ハミルトンは特異点の周りでリスケールしてリッチフローの列を生成する方法を開発した。コンパクト性理論は、特異点の周りのリッチフローの小規模な幾何学をモデル化する極限リッチフローの存在を保証する。^[H95b]ハミルトンは自身の最大原理を用いて、閉じた3次元多様体上の任意のリッチフローについて、断面曲率の最小値はその最大値に比べて小さいことを証明した。これはハミルトン-アイビー推定として知られており、3次元以外の条件付き仮定なしで成り立つ曲率不等式として非常に重要である。重要な結果として、3 次元では、コンパクト性理論によって生成される極限リッチフローは自動的に非負の曲率を持つことになります。^[H95b]そのため、ハミルトンのハーナック不等式は極限リッチフローに適用できます。これらの方法は、グリゴリ・ペレルマンによって拡張され、彼の非崩壊定理により、ハミルトンのコンパクト性理論の前提条件を多くの新しい文脈で検証することができました。^{[ 23 ] [ 22 ]}

1997年、ハミルトンは、正の等方性曲率を持つ4次元リーマン多様体に対する手術と、リッチフローを定義するために開発した方法を組み合わせることができた。 ^[H97]このクラスの初期データを持つリッチフローに対して、彼は大きな曲率を持つ点の周りの小規模な幾何学の可能性を分類することができ、それによって曲率が無限に蓄積される時間を超えてリッチフローを継続するように幾何学を体系的に修正することができた。その結果、彼は正の等方性曲率を持つリーマン計量をサポートする滑らかな4次元多様体を分類する結果を得た。Shing -Tung Yauはこの論文を1993年以降の幾何学解析における「最も重要な出来事」と評し、リッチフローの方法によってサーストンの幾何学化予想を証明できることが明らかになった時点として位置づけている。 ^{[ 34 ]}本質的な未解決問題は、曲率制限なしに、3 次元多様体上のリッチ フロー上の高曲率点の周りの小規模な幾何学に対して同様の分類を実行することでした。ハミルトン-アイビー曲率推定は、正の等方性曲率の条件の類似物です。これは、グリゴリ ペレルマンが有名な正準近傍定理で解決しました。^{[ 23 ]}この結果に基づいて、ペレルマンはハミルトンの手術手順の形式を修正し、閉じた 3 次元多様体上の任意の滑らかなリーマン計量が与えられた場合の手術付きリッチ フローを定義しました。これをコア分析ツールとして使用して、ペレルマンは、よく知られているポアンカレ予想を特殊なケースとして含む幾何化予想を解決しました。 ^{[ 35 ] [ 22 ]}

ハミルトンは初期の著作の一つで、クリフォード・アールと共同でアール・ハミルトンの不動点定理を証明した。^[EH70] 1980年代の未発表の講義ノートで、ハミルトンは山辺フローを紹介し、その長期的存在を証明した。^{[ 22 ]}シー・シェン・チャーンと共同で、ハミルトンは接触幾何学におけるリーマン計量の変分問題を研究した。^{[ 36 ]}また、規定されたリッチ曲率問題にも貢献した。^{[ 37 ]}