ヤコビ行列と行列式

ベクトル解析では、複数の変数のベクトル値関数のヤコビ行列( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ )は、その関数のすべての 1 階偏導関数の行列です。この行列が正方行列、つまり変数の数が関数値の成分の数と等しい場合、その行列式はヤコビ行列式と呼ばれます。行列と (該当する場合) 行列式は、単にヤコビ行列と呼ばれることがよくあります。^[⁴^]これらは、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(1804-1851)にちなんで名付けられました。

ヤコビ行列は、通常の関数の導関数と微分を、複数の変数を持つベクトル値関数に自然に一般化したものです。この一般化には、逆関数定理と陰関数定理の一般化が含まれます。ここで、導関数の非零性はヤコビ行列式の非零性に置き換えられ、導関数の乗法逆元はヤコビ行列の逆元に置き換えられます。

ヤコビ行列式は、多重積分における変数変換に基本的に使用されます。

意味

させて ${\textstyle \mathbf {f}$ その各 1 階偏導関数がに存在するような関数とする。 $\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ この関数はベクトルを受け取ります $\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ 入力として、ベクトルを生成します。 $\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} ))\in \mathbb {R} ^{m}}$ 出力として。すると、 $f$ のヤコビ行列 $J f$ は、 $m\times n$ $(i, j)$ の要素が ${\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}};}$ 明示的に $\mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$ どこ $\displaystyle \nabla ^{\mathsf {T}}f_{i}}$ は、勾配の転置（行ベクトル）です。 $i$ 第 1 番目のコンポーネント。

ヤコビ行列は、その要素が $x$ の関数であり、さまざまな方法で表記されます。その他の一般的な表記には、 $D f など$ があります。 $\nabla \mathbf {f}$ 、そして ${\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$ [ ⁵^]^[⁶^{]一部の著者は}^、ヤコビアンを上記の形式の転置として定義しています。

ヤコビ行列は、 $f$ が微分可能なすべての点における $f$ の全微分を表します。詳細には、 $h が$ 列行列で表される変位ベクトルである場合、行列積 $J$ $f$ $($ $x$ $) \cdot$ $hは別の変位ベクトルであり、$ $f$ $($ $x$ $)が$ $x$ で微分可能であれば、 $x$ の近傍における $h$ に沿った $f$ の変化の最良の線形近似となります。^[^a^] $これは、 yを$ $f$ $($ $x$ $) +$ $J$ $f$ $($ $x$ $) \cdot ($ $y$ $-$ $x$ $)$ に写像する関数が、 $x$ に近いすべての点 $yに対して$ $f$ $($ $y$ $)$ の最良の線形近似であることを意味します。線形写像 $h$ $\to$ $J$ $f$ $($ $x$ $) \cdot$ $hは、$ $x$ における $f$ の微分または導関数として知られています。

いつ ${\textstyle m=n}$ ヤコビ行列は正方行列であるため、その行列式は $x$ の明確に定義された関数であり、 $f$ のヤコビ行列式として知られています。これは、 $f$ の局所的な挙動に関する重要な情報を含んでいます。特に、関数 $fは、点$ $x$ の近傍で微分可能な逆関数を持ちます。ただし、 $x$ におけるヤコビ行列式がゼロでない場合に限ります(これについては逆関数定理を、大域的可逆性に関する関連問題についてはヤコビアン予想を参照してください)。ヤコビ行列式は、多重積分で変数を変更する際にも現れます(多重変数の置換規則を参照してください)。

いつ ${\textstyle m=1}$ その時 ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ はスカラー値関数であり、ヤコビ行列は行ベクトルに縮小される。 $\nabla ^{\mathsf {T}}f$ ; これは、のすべての1階偏導関数の行ベクトルです。 $f$ はの勾配の転置です $f$ つまり $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{\mathsf {T}}f$ さらに専門化すると、 ${\textstyle m=n=1}$ その時 ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ は単一変数のスカラー値関数であり、ヤコビ行列には単一のエントリがあり、このエントリは関数の導関数である。 $f$ ⁠ .

ヤコビ行列

多変数ベクトル値関数のヤコビ行列は、多変数スカラー値関数の勾配を一般化したものであり、さらにそれは一変数スカラー値関数の導関数を一般化したものである。言い換えれば、多変数スカラー値関数のヤコビ行列はその勾配（の転置）であり、一変数スカラー値関数の勾配はその導関数である。

関数が微分可能な各点において、そのヤコビ行列は、その点の近傍で関数が局所的に及ぼす「伸縮」、「回転」、「変換」の量を記述するものと考えることもできます。例えば、 $(x', y') = f (x, y)$ を使用して画像を滑らかに変換する場合、ヤコビ行列 $J f (x, y)は、$ $(x, y)$ の近傍の画像がどのように変換されるかを表します。

関数がある点で微分可能であれば、その微分値はヤコビ行列によって座標系で表されます。ただし、ヤコビ行列を定義するために関数が微分可能である必要はなく、1階偏導関数が存在するだけで十分です。

$f が$ R n 内の点 p で微分 $可能であれば$ $、$ その微分 $は$ J f ( p $)$ $で$ $表さ$ $れ$ $ます$ 。この場合、 $J$ $f$ $($ $p$ $)$ で表される線形変換は、次の意味で点 $pの近傍における$ $f$ の最良の線形近似です。

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

ここで $、o (‖ x - p ‖)は、$ $xが$ $p$ に近づくにつれて $x$ と $p$ の間の距離よりもはるかに速くゼロに近づく量です。この近似は、1 次テイラー多項式による単一変数のスカラー関数の近似に特化しています。

$f(x)-f(p)=f'(p)(xp)+o(xp)\quad ({\text{x\to p の場合) }$

この意味で、ヤコビアンは、多変数ベクトル値関数の「 1階微分」の一種とみなすことができる。具体的には、多変数スカラー値関数の勾配もまた、その「1階微分」とみなすことができる。

合成可能な微分可能関数 $f : R n \to R m$ および $g : R m \to R k$ は連鎖律を満たします。 $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ $xは$ $R n$ に属する。

複数の変数を持つスカラー関数の勾配のヤコビ行列は、特別な名前で呼ばれています。それはヘッセ行列であり、ある意味では、問題の関数の「 2階微分」と言えます。

ヤコビ行列式

非線形マップ $\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ 小さな正方形（左、赤色）を歪んだ平行四辺形（右、赤色）に変換します。ある点におけるヤコビ行列は、その点付近の歪んだ平行四辺形の最良の線形近似値（右、半透明の白色）を示し、ヤコビ行列式は近似平行四辺形の面積と元の正方形の面積の比を示します。

$m = n$ の場合、 $fは$ $R n$ から自身への関数であり、ヤコビ行列は正方行列になります。このとき、ヤコビ行列式と呼ばれる行列式を求めることができます。ヤコビ行列式は、単に「ヤコビアン」と呼ばれることもあります。

$与えられた点におけるヤコビ行列式は、その点の近傍における関数f$ の挙動に関する重要な情報を提供します。例えば、連続微分可能な関数 $f$ は、点 $p$ $\in$ $R$ $n$ の近傍において、 $点 p$ におけるヤコビ行列式がゼロでない場合、逆関数となります。これが逆関数定理です。さらに、点 $p$ におけるヤコビ行列式が正の場合、 $f は点$ $p の$ 近傍で向きを保持し、負の場合、向きを反転します。 $点 p$ $における$ ヤコビ行列式の絶対値は、関数 $f が点$ $p の$ 近傍で体積を拡大または縮小する係数を示します。これが、ヤコビ行列式の絶対値が一般的な置換規則に現れる理由です。

ヤコビ行列式は、定義域内の領域における関数の多重積分を評価する際に変数変換を行う際に使用されます。座標変換に対応するため、ヤコビ行列式の大きさが積分式内の乗法因子として現れます。これは、 $n$ 次元 $dV$ 要素が一般に新しい座標系において平行六面体となり、平行六面体の $n$ 次元体積がその辺ベクトルの行列式となるためです。

ヤコビ行列は、平衡点近傍での挙動を近似することにより、微分方程式系の平衡点の安定性を判定するためにも使用できる。

逆

逆関数定理によれば、可逆関数 $f$ $:$ $R$ $n$ $\to$ $R$ $n$ のヤコビ行列の逆行列は、逆関数のヤコビ行列である。つまり、点 $p$ における逆関数のヤコビ行列は、

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},$

ヤコビ行列式は

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}$

$ヤコビ行列がR$ $n$ の点 $p$ において連続かつ非特異である場合、関数 $fは$ $p$ の近傍に制限されたときに可逆である。言い換えれば、ある点におけるヤコビ行列式がゼロでない場合、その関数はその点の近傍で局所的に可逆である。

ヤコビアン予想は、 n個の変数に関するn個の多項式で定義される関数である多項式関数の場合のグローバルな可逆性に関連しています。ヤコビアン予想は、ヤコビアン行列式がゼロでない定数である場合（または同等に、複素数ゼロを持たない場合）、関数は可逆であり、その逆関数は多項式関数であると主張します。ヤコビアン予想は、以下の式で偽であることが証明されています。 $n>2$ そしてまだ営業中です $n=2$ 。

重要なポイント

$関数f : R n \to R m が$ 微分可能関数である場合、 $f$ の臨界点とは、ヤコビ行列のランクが最大ではない点のことです。これは、臨界点のランクが、近傍の点のランクよりも低いことを意味します。言い換えれば、 $f$ の像に含まれる開球の最大次元を $kとすると、$ $f$ のランク $k$ のすべての小行列式がゼロである場合、その点は臨界点となります。

$m = n = k$ の場合、ヤコビ行列式がゼロであれば、その点は臨界点である。

例

例１

関数 $f : R 2 \to R 3$ を考えます。ただし $、$ $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y), f 3 (x, y))$ は次のように定義されます。

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\\f_{3}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\\4y\end{bmatrix}}.$

$f$ のヤコビ行列は

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\\0&4\end{bmatrix}}$

例２：極座標-直交座標変換

極座標 $(r, φ)から$ デカルト座標( x , y )への変換は、成分がである関数 $F : R + \times [0, 2 π) \to R 2$ で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

ヤコビ行列式は $r$ に等しい。これを用いて、2 つの座標系間の積分を変換することができる。

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

例３：球面座標から直交座標への変換

球面座標 $(ρ, φ, θ)$ ^{[ 7 ]}からデカルト座標( x , y , z )への変換は、成分が以下の関数 $F : R + \times [0, π) \times [0, 2π) \to R 3$ で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta$

この座標変換のヤコビ行列は

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

行列式は $ρ 2 sin φ$ です。dV $=$ $dx$ $dy$ $dz$ は長方形の微小体積要素の体積です (長方形のプリズムの体積は辺の積であるため) ので、dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ を球面微小体積要素の体積と解釈できます $。$ $長方形の微小体積要素の体積とは$ 異なり、この微小体積要素の体積は一定ではなく、座標 ( $ρ$ と $φ$ ) によって変化します。これは、2 つの座標系間の積分を変換するために使用できます。

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$

例4

$関数F : R 3 \to R 4$ のヤコビ行列の成分は次のようになります。

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

は

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

この例は、ヤコビ行列が必ずしも正方行列である必要はないことを示している。

例5

関数 $F : R 3 \to R 3$ のヤコビ行列式とその成分

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

は

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

$このことから、 F は$ $x 1$ と $x 2 の$ 符号が同じ点の近くで向きを反転させることがわかります。この関数は、 $x$ $1$ $= 0$ または $x$ $2$ $= 0$ の点の近くを除いて、あらゆる場所で局所的に可逆です。直感的に言えば、点 $(1, 2, 3)の周りの小さなオブジェクトから始めて、そのオブジェクトに$ $F$ を適用すると、元のオブジェクトの約 $40 \times 1 \times 2 = 80$ 倍の体積を持ち、向きが反転したオブジェクトが得られます。

その他の用途

力学系

次の形式の力学系を考える ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$ 、どこ ${\dot {\mathbf {x} }}$ は、(成分ごとの) 微分である。 $\mathbf {x}$ 進化パラメータに関して $t$ （時間）そして $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 微分可能です。 $F(\mathbf {x} _{0})=0$ 、それから $\mathbf {x} _{0}$ は定常点（定常状態とも呼ばれる）である。ハートマン・グロブマンの定理によれば、定常点近傍におけるシステムの挙動は、の固有値と関連している。 $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$ ヤコビアン $F$ 定常点において。^{[ 8 ]}具体的には、固有値のすべての実部が負であれば、システムは定常点の近くで安定している。いずれかの固有値の実部が正であれば、その点は不安定である。固有値の最大の実部がゼロであれば、ヤコビ行列では安定性の評価はできない。^{[ 9 ]}

ニュートン法

正方行列からなる連立非線形方程式系は、ニュートン法を用いて反復的に解くことができる。この方法は、方程式系のヤコビ行列を用いる。

回帰分析と最小二乗法によるフィッティング

ヤコビアンは、統計的回帰や曲線フィッティングにおける線形化された設計行列として機能します。非線形最小二乗法を参照してください。ヤコビアンは、ランダム行列、モーメント、局所感度、統計的診断にも使用されます。^[¹⁰^]^[¹¹^]

注記

↑ $x$ における微分可能性は $、 x$ におけるすべての 1 階偏導関数の存在を意味するが、それによって必然的に導かれるわけではないため、より強い条件である。

参考文献

↑ 「Jacobian - 英語における Jacobian の定義（Oxford Dictionaries）」。Oxford Dictionaries - 英語。2017年 12 月 1 日のオリジナルからアーカイブ済み。2018年5 月 2 日取得。
↑ 「ジャコビアンの定義」。Dictionary.com 。 2017年12月1日時点のオリジナルからアーカイブ。2018年5月2日取得。
↑ Forvo チーム。「Jacobian の発音: 英語での Jacobianの発音方法」。forvo.com。2018年5 月 2 日に取得。
↑ W.、Weisstein、Eric。「Jacobian」。mathworld.wolfram.com 。2017年11月3日のオリジナルからアーカイブ済み。2018年5月2日に取得。{{cite web}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
↑ホルダー、アレン；アイヒホルツ、ジョセフ（2019）。計算科学入門。オペレーションズ・リサーチ＆マネジメント・サイエンス国際シリーズ。スイス、チャム：シュプリンガー。53ページ。ISBN 978-3-030-15679-4。
↑ロベット、スティーブン（ 2019年12月16日）。多様体の微分幾何学。CRC Press。p. 16。ISBN 978-0-429-60782-0。
↑ Joel Hass、Christopher Heil、Maurice Weir。『Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e』Pearson、2018年、959ページ。
↑ Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). "線形化定理" .力学系：微分方程式、写像、およびカオス的挙動. ロンドン：Chapman & Hall. pp. 77–81 . ISBN 0-412-39080-9。
↑ハーシュ、モリス；スモール、スティーブン（1974）。微分方程式、力学系、線形代数。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-349550-4。
↑ Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (2022年3月). "多変量線形モデルとその診断への応用を伴う行列微分計算" . Journal of Multivariate Analysis . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
↑劉双哲。トレンクラー、ゲッツ。コロ、トゥヌ。フォン・ローゼン、ディートリッヒ。バクサラリー、オスカー・マリア（2023）。「ハインツ・ノイデッカー教授と行列微分積分」。統計論文。65 (4): 2605–2639。土井: 10.1007/s00362-023-01499-w。S2CID 263661094。

さらに読む

ガンドルフォ、ジャンカルロ（1996）。「比較静学と対応原理」。『経済動学』（第3版）。ベルリン：シュプリンガー。305-330頁。ISBN 3-540-60988-1。
プロッター、マレー H. ;モリー、チャールズ B. Jr. (1985). 「変換とヤコビアン」.中級微積分（第 2 版）. ニューヨーク: スプリンガー. pp. 412–420 . ISBN 0-387-96058-9。

外部リンク

「ヤコビアン」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
Mathworldによるヤコビアンに関するより技術的な説明

[7] $x$ における微分可能性は $、 x$ におけるすべての 1 階偏導関数の存在を意味するが、それによって必然的に導かれるわけではないため、より強い条件である。

[1] 「Jacobian - 英語における Jacobian の定義（Oxford Dictionaries）」。Oxford Dictionaries - 英語。2017年 12 月 1 日のオリジナルからアーカイブ済み。2018年5 月 2 日取得。

[2] 「ジャコビアンの定義」。Dictionary.com 。 2017年12月1日時点のオリジナルからアーカイブ。2018年5月2日取得。

[3] Forvo チーム。「Jacobian の発音: 英語での Jacobianの発音方法」。forvo.com。2018年5 月 2 日に取得。

[4] W.、Weisstein、Eric。「Jacobian」。mathworld.wolfram.com 。2017年11月3日のオリジナルからアーカイブ済み。2018年5月2日に取得。{{cite web}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

[5] ホルダー、アレン；アイヒホルツ、ジョセフ（2019）。計算科学入門。オペレーションズ・リサーチ＆マネジメント・サイエンス国際シリーズ。スイス、チャム：シュプリンガー。53ページ。ISBN 978-3-030-15679-4。

[6] ロベット、スティーブン（ 2019年12月16日）。多様体の微分幾何学。CRC Press。p. 16。ISBN 978-0-429-60782-0。

[8] Joel Hass、Christopher Heil、Maurice Weir。『Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e』Pearson、2018年、959ページ。

[9] Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). "線形化定理" .力学系：微分方程式、写像、およびカオス的挙動. ロンドン：Chapman & Hall. pp. 77–81 . ISBN 0-412-39080-9。

[10] ハーシュ、モリス；スモール、スティーブン（1974）。微分方程式、力学系、線形代数。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-349550-4。

[11] Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (2022年3月). "多変量線形モデルとその診断への応用を伴う行列微分計算" . Journal of Multivariate Analysis . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .

[12] 劉双哲。トレンクラー、ゲッツ。コロ、トゥヌ。フォン・ローゼン、ディートリッヒ。バクサラリー、オスカー・マリア（2023）。「ハインツ・ノイデッカー教授と行列微分積分」。統計論文。65 (4): 2605–2639。土井: 10.1007/s00362-023-01499-w。S2CID 263661094。

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

5

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[