3次元の点群

幾何学において、3次元の点群は、原点を固定した3次元の等長変換群、またはそれに対応する球面の等長変換群である。これは、原点を固定したすべての等長変換の群、またはそれに対応する直交行列の群である直交群O(3)のサブグループである。O(3)自体は、すべての等長変換の ユークリッド群E(3)のサブグループである。

幾何学的オブジェクトの対称群は等長群です。したがって、等長群の分析は可能な対称性の分析です。境界のある（有限の）3D オブジェクトのすべての等長変換には、1 つ以上の共通の固定点があります。通常の慣例に従い、そのうちの 1 つとして 原点を選択します。

オブジェクトの対称群は、その完全な対称群とも呼ばれることがあります。これは、その完全な対称群とE ⁺ (3)との交点であり、すべての直接的な等長変換、つまり方向を保存する等長変換で構成されます。境界付きオブジェクトの場合、適切な対称群は回転群と呼ばれます。これは、その完全な対称群と 3D 空間の完全な回転群であるSO(3)との交点です。境界付きオブジェクトの回転群は、オブジェクトがキラルである場合に限り、完全な対称群と等しくなります。

同じ点を通過する反射鏡面の有限集合によってのみ生成される点群は有限コクセター群であり、コクセター表記法によって表される。

3 次元の点群は化学において、特に分子や共有結合を形成する分子軌道の対称性を記述するために頻繁に使用され、この文脈では分子点群とも呼ばれます。

対称群演算（対称演算）は、原点を固定した3次元空間 R ³の等長変換であり、群O(3)を形成する。これらの演算は次のように分類できる。

• 直接的な（向きを保存する）対称性操作はSO(3)群を形成する：
  • 恒等演算は、Eまたは恒等行列Iで表されます。
  • 原点を通る軸の周りの角度 θ だけの回転。任意の正の整数nに対する θ = 360°/ nだけの回転はC _nで表されます(生成されるグループ C n の Schoenflies 表記法から) 。恒等演算₍ C 1 とも表記)_は回転演算子の特殊なケースです。
• 間接的な（方向反転）操作:
  • 反転は i またはC _iで表され、座標軸を中心に 180° 回転し、その後直交座標平面で反転します。行列表記は−Iです。
  • 原点を通る平面での反射。σ で表されます。
  • 不適正な回転は、回転反射とも呼ばれ、軸の周りの角度 θ による回転と、軸に垂直な原点を通る平面での反射を組み合わせたものです。任意の正の整数nに対する θ = 360°/ nによる回転反射は、 S _nで表されます( nが偶数の場合に生成されるグループS _nのシェーンフライス表記法から)。

反転は回転反射 (i = S ₂ ) の特殊なケースであり 、反射 (σ = S ₁ ) も同様であるため、これらの操作は不適切な回転であると見なされることが多いです。

Ĉ _nやŜ _nのように、演算子を示すために記号にサーカムフレックスが追加されることがあります。

2つのオブジェクトの対称性のタイプを比較する場合、原点はそれぞれ別々に選択されます。つまり、同じ中心を持つ必要はありません。さらに、2つのオブジェクトの対称群がO(3)の共役部分群である場合、2つのオブジェクトは同じ対称性のタイプであると見なされます（グループGの2つの部分群H ₁、H _2は、 H ₁ = g ⁻¹ H ₂ gとなるg ∈ Gが存在する場合、共役です）。

たとえば、2 つの 3D オブジェクトは同じ対称タイプを持ちます。

• 両方とも鏡面対称性を持つが、異なる鏡面に関して
• 両方とも 3 回回転対称性を持ちますが、軸が異なります。

複数の鏡面および/または回転軸がある場合、最初の対称群の構造全体を 2 番目の対称群の構造にマッピングする回転がある場合に限り、2 つの対称群は同じ対称タイプになります。(実際には、このような回転は複数ありますが、鏡または軸が 1 つしかない場合のように無限の数にはなりません。) 共役定義では構造の鏡像も許可されますが、これは必要ではなく、構造自体は非キラルです。たとえば、対称群に 3 倍の回転軸が含まれている場合、2 つの反対方向の回転が含まれます。(構造は、スクリュー軸を持つ 11 組の空間群に対してキラルです。)

無限等長群は多数存在します。たとえば、「巡回群」（1 つの要素によって生成される群を意味します。ねじれ群と混同しないでください）は、軸の周りの無理数の回転によって生成されます。同じ軸の周りの回転をさらに追加することで、非巡回アーベル群を作成できます。円の周りの有理数の度数にある円上の点の集合は、無限の数の生成元を必要とする点群を示しています。異なる軸の周りの回転によって生成される非アーベル群もあります。これらは通常（一般的に）自由群です。回転が特別に選択されない限り、無限になります。

これまで述べたすべての無限群は、O(3) の 位相的部分群としては閉じていません。ここでは、O(3) の位相的に閉じた部分群について説明します。

O(3) 全体は球対称性の対称群であり、SO(3)は対応する回転群である。その他の無限等長群は、原点を通る軸の周りのすべての回転と、軸を通る平面での反射、および/または軸に垂直な原点を通る平面での反射がさらに含まれる回転から構成される。軸を通る平面での反射（軸に垂直な原点を通る平面での反射の有無にかかわらず）が含まれるものは、2 種類の円筒対称性の対称群である。無限回転対称性を持つ 3D 形状（R ³のサブセット）は、軸を通るすべての平面に対して鏡面対称性も持たなければならない。無限回転対称性を持つ物理的オブジェクトは、軸を通る鏡面の対称性も持つが、ベクトル場は持たない可能性がある。たとえば、軸の周りを回転する円錐の速度ベクトルや、ワイヤを取り囲む磁場などである。^[1]

7つの連続群があり、それらはすべて有限等長群のある意味での極限です。これらのいわゆる極限点群またはキュリー極限群は、最初にそれらを研究したピエール・キュリーにちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]} 7つの軸群の無限級数から5つの極限群（そのうち2つは重複）が得られ、残りの7つの点群からさらに2つの連続群が生成されます。国際表記では、リストは∞、∞2、∞/m、∞mm、∞/mm、∞∞、∞∞mです。^[3]これらすべてが物理的オブジェクトに対して可能であるわけではなく、たとえば、∞∞対称性を持つオブジェクトは∞∞m対称性も持っています。他の名称と詳細については以下を参照してください。

原点を固定した 3D の対称性は、原点を中心とする球面上の対称性によって完全に特徴付けられます。有限 3D 点群については、球面対称群も参照してください。

共役性を除き、有限 3D 点群の集合は次のものから構成されます。

• § 7 つの無限級数の軸群。2 倍以上の回転軸を最大 1 つ持ちます。これらは無限円筒上の有限対称群、または有限円筒上の有限対称群です。これらは軸群または柱状点群と呼ばれることもあります。
• § 残りの 7 つの点群は、3 倍以上の回転軸を複数持っています。これらのグループは、3 倍以上の回転軸を複数持っている点群としても特徴付けられます。可能な組み合わせは次のとおりです。
  • 4つの3回軸（3つの四面体対称性 T、T _h、およびT _d）
  • 4つの3回軸と3つの4回軸（八面体対称性 OとO _h）
  • 10 個の 3 面体軸と 6 個の 5 面体軸 (二十面体対称性 IとI _h )

結晶学的制限定理によれば、離散並進対称性と互換性のある点群は、7 つの無限級数のうち 27 個と、その他の 7 個のうち 5 個という限られた数だけです。これらを合わせると、32 個のいわゆる結晶学的点群が構成されます。

軸群または柱状群の無限級数は指数nを持ち、これは任意の整数である。各級数において、n番目の対称群には軸の周りのn回の回転対称性、すなわち角度 360°/ nによる回転に関する対称性が含まれる。n =1 は回転対称性が全くない場合をカバーします。回転対称の他の軸を持たない級数が 4 つあり (周期対称性を参照)、2 回対称の追加の軸を持つ級数が 3 つあります (二面体対称性を参照)。これらは、軸座標とその座標内の反射で拡張された2 次元の点群として理解できます。これらはフリーズ群と関連があり、^[4]円筒の周りに n回繰り返されるフリーズ群パターンとして解釈できます。

次の表は、点群の表記法をいくつか示しています。ヘルマン・モーガン表記法（結晶学で使用）、シェーンフリース表記法（分子の対称性を記述するために使用）、オービフォールド表記法、コクセター表記法です。最後の 3 つは、グループのプロパティだけでなく、グループの順序にも都合よく関連しています。オービフォールド表記法は統一表記法で、壁紙グループやフリーズグループにも適用できます。結晶学グループでは、 n は1、2、3、4、6 に制限されていますが、結晶学の制限を削除すると、任意の正の整数が許可されます。シリーズは次のとおりです。

nが奇数の場合、 Z _{2 n} = Z _n × Z ₂かつ Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂となります。

グループC _n（自明なC ₁を含む）とD _{n は}キラルであり、その他はアキラルです。

水平 (h) と垂直 (v) という用語、および対応する下付き文字は、回転軸に平行 (垂直) または回転軸に垂直 (水平) になる追加のミラー平面を指します。

最も単純な非自明な軸群は抽象群 Z ₂と同値である。

• C _{i （} S ₂に相当） –反転対称性
• C ₂ – 2回回転対称性
• C _{s (} C _1hおよびC _1vに相当) –反射対称性、左右対称性とも呼ばれます。

2 番目は、n次(2D でも適用可能)の単軸群 (巡回群) C _nの最初のもので、角度 360°/ nの単一回転で生成されます。これに加えて、軸に垂直な鏡面を追加して、 2 n次群C _{n h を生成したり、軸を含む}n 個の鏡面のセットを追加して、 2 n次群C _{n v を生成したりすることもできます。後者は、正}n面体ピラミッドの対称群です。対称群C _nまたはD _{n を}持つ典型的なオブジェクトは、プロペラです 。

水平反射面と垂直反射面の両方を追加すると、それらの交差によって 180° の回転軸がn個得られるため、グループは単軸ではなくなります。この 4 n次数の新しいグループはD _{n h}と呼ばれます。その回転のサブグループは2 n次数の二面体グループ D _nで、主回転軸に垂直な 2 倍の回転軸は保持されますが、鏡面はありません。

注: 2D では、D _nには反射が含まれており、これは表裏を区別せずに平らなオブジェクトを裏返すことと見なすこともできます。ただし、3D では、2 つの操作が区別されます。D n_には、反射ではなく「裏返す」ことが含まれます。

このファミリーには、もう 1 つのグループがあり、D _{n d} (またはD _{n v} ) と呼ばれ、主回転軸を含む垂直鏡面を持ちますが、水平鏡面の代わりに、水平面での反射と角度 180°/ nによる回転を組み合わせた等長変換を持ちます。D n _hは、「正規の」n角柱と、「正規の」n角形両錐の対称群です。D _{n dは}、 「正規の」 n角形反角柱_と、「正規の」n角形台形に対する対称群です。D n_は、部分的に回転した (「ねじれた」) 角柱の対称群です。

D ₂およびD _2h群は、特別な回転軸がない点で注目に値する。むしろ、3 つの垂直な 2 倍軸がある。D 2_はすべての多面体対称性のサブグループ (以下を参照) であり、D _{2h は}多面体グループT _hおよびO _hのサブグループである。D _{2 は}ツイスタンなどの分子やコンカナバリン Aなどのホモ四量体で発生する。D 2の要素は、_単位リプシッツ四元数によって与えられる回転と 1 対 2 で対応している。

群S _{n は}、水平面での反射と角度 360°/n の回転の組み合わせによって生成されます。n が奇数の場合、これは 2 つを別々に生成した群、つまり2 n の位数のC _{n h}に等しいため、表記S _{n は}必要ありません。ただし、nが偶数の場合、これは別個であり、位数はnです。D _{n d}と同様に、対応する回転を含まない 不適切な回転が多数含まれています。

7 つの無限級数の対称群はすべて異なりますが、次の 4 つの相互に等しい対称群のペアは除きます。

• C _1hとC _1v : 単一反射を持つ 2 次群 ( C _s )
• D ₁とC ₂ : 180°回転を1回行った2次のグループ
• D _1hとC _2v : 平面内での鏡映とその平面内の直線を通した 180° 回転を伴う 4 次群
• D _1dとC _2h : 平面内での反射と、その平面に垂直な線を通る 180° 回転を伴う 4 次群。

S _{2 は、単一の反転 (} C _i )を持つ位数 2 の群です。

ここで「等しい」とは、空間の共役性を除いて同じという意味です。これは「代数同型を除いて」よりも強い意味です。たとえば、最初の意味では位数 2 の異なるグループが 3 つありますが、2 番目の意味では 1 つしかありません。同様に、たとえばS _{2 n はZ 2 n}と代数的に同型です。

グループは次のように構成されます。

• C _n 。 C _nとも呼ばれる要素によって生成され、軸の周りの角度 2π/ nによる回転に対応します。その要素は E (恒等元)、 C _n、C _n ²、...、C _n ^{n −1}であり、回転角度 0、2π/ n、4π/ n、...、2( n  − 1)π/ nに対応します。
• S _{2 n}。要素C _{2 n} σ _hによって生成されます。ここで、 σ _{h は}軸方向の反射です。その要素は、C _nの要素にC _{2 n} σ _h、C _{2 n} ³ σ _h、 ...、C _{2 n} ^{2 n −1} σ _hが追加されたものです。
• C _{n h}。要素C _nと反射 σ _hによって生成されます。その要素は、グループC _nの要素に、要素 σ _h、C _n σ _h、C _n ² σ _h、...、C _n ^{n −1} σ _hが追加されたものです。
• C _{n v}。要素C _nと軸に垂直な平面内の方向の反射 σ _{vによって生成されます。その要素は、グループ}C _nの要素に要素 σ _v、C _n σ _v、C _n ² σ _v、...、C _n ^{n −1} σ _vが追加されたものです。
• D _n。要素C _nと、軸に垂直な平面内の方向の周りの180° 回転 U = σ _h σ _{vによって生成されます。その要素は、グループ}C _nの要素に、要素 U、C _n U、C _n ² U、...、C _n ^{n  − 1} U が追加されたものです。
• D _{n d}。要素C _{2 n} σ _hと σ _{vによって生成されます。その要素は、グループ}C _nの要素と、 S _{2 n}とC _{n v}の追加要素で、要素C _{2 n} σ _h σ _v、C _{2 n} ³ σ _h σ _v、...、C _{2 n} ^{2 n  − 1} σ _h σ _vが追加されています。
• D _{n h}。要素C _n、 σ _h、および σ _{vによって生成されます。その要素は、グループ}C _nの要素と、 C _{n h}、C _{n v}、およびD _nの追加要素です。

連続軸回転を持つ群は、 nの代わりに ∞ を置くことによって指定されます。ただし、ここでのC _{∞ は、整数と同型である}無限巡回群( C _∞とも指定される)と同じではないことに注意してください。次の表は、5 つの連続軸回転群を示しています。これらは、主な回転が任意の角度による回転に置き換えられたときに発生するという意味でのみ有限群の極限であり、有限群のように必ずしも有理数の度数であるとは限りません。物理的なオブジェクトはC _∞vまたはD _∞h対称性のみを持つことができますが、ベクトル場は他の対称性を持つことができます。

残りの点群は、2 より大きい次数の回転軸を複数持つため、非常に高い対称性または多面体対称性を持つと言われています。ここで、 C _{n は}360°/n を通る回転軸を表し、S _{n は}同じ軸を通る不適当な回転軸を表します。連続する行には、オービフォールド記法、コクセター記法とコクセター図、ヘルマン・モーガン記法(完全な表記、異なる場合は省略形)、および対称群の次数 (要素の数) が示されています。グループは次のとおりです。

これらのグループに関連する連続グループは次のとおりです。

• ∞∞、K、またはSO(3)、すべての可能な回転。
• ∞∞m、K _h、またはO(3)、すべての可能な回転と反射。

無限等長群について上で述べたように、K 対称性を持つ物理的なオブジェクトは、K _h対称性も持ちます。

3 次元の反射点群はCoxeter 群とも呼ばれ、 Coxeter-Dynkin 図で表され、1 つの中心点で交差する鏡のセットを表します。Coxeter表記法では、回転点群やその他の部分対称点群のマークアップ記号を使用して、 Coxeter図と同等の括弧表記法が提供されます。Schoenflies 表記法では、3D の反射点群はC _{n v}、D _{n h}、および完全な多面体群T、O、およびIです。

鏡面は球面上の球面三角形領域の集合を囲む。階数n のCoxeter 群にはn 個の鏡面がある。生成元が 3 個未満の Coxeter 群は、三角錐や半球などの退化した球面三角形領域を持つ。Coxeter表記法では、これらの群は四面体対称[3,3]、八面体対称[4,3]、二十面体対称[5,3]、および二面体対称[p,2] である。既約群の鏡面の数はnh/2であり、hは Coxeter 群のCoxeter 数、nは次元 (3) である。^[5]

回転群、すなわちSO(3)の有限部分群は、巡回群C _n （標準ピラミッドの回転群）、二面体群D _n （一様柱状体、または標準両錐の回転群）、および正四面体、正八面体/立方体、正二十面体/正十二面体の回転群T、O、Iである。

特に、二面体群D ₃、D ₄などは、3次元空間に埋め込まれた平面正多角形の回転群であり、そのような図形は退化した正角柱と見なすことができます。そのため、二面体（ギリシャ語で2つの面を持つ立体）とも呼ばれ、二面体群という名前が付けられています。

• 対称群C _n、C _{n h}、C _{n v 、}または S _{2 n}を持つオブジェクトには、回転群C _{n が}あります。
• 対称群D _n、D _{n h}、またはD _{n d を}持つオブジェクトには、回転群D _{n が}あります。
• 多面体対称性 ( T、T _d、T _h、O、O _h、IまたはI _h ) を持つオブジェクトには、下付き文字なしの対応する回転群 ( T、OまたはI )があります。

オブジェクトの回転群は、オブジェクトがキラルである場合にのみ、その完全な対称群と等しくなります。言い換えると、キラル オブジェクトとは、回転群のリストに対称群が含まれるオブジェクトです。

シェーンフライス記法、コクセター記法、(オービフォールド記法)で与えられる回転部分群は次のようになります。

回転群SO(3)は、3次元ユークリッド空間の完全な点回転群O(3)の部分群である。同様に、O(3)はSO(3)と反転群C _{i （反転はその}行列− Iで表される）の直積である。

O(3) = SO(3) × { I , −I }

したがって、反転を通して、すべての直接等長写像とすべての間接等長写像の間には 1 対 1 の対応があります。また、SO(3) の直接等長写像のすべてのグループHと、反転を含む O(3) の等長写像のすべてのグループKの間にも 1 対 1 の対応があります。

K = H × { I , −I }

H = K ∩ SO(3)

ここで等長変換 ( A , I ) はAと同一視される。

有限群の場合、対応は次のようになります。

直接等長写像群Hに指数2の部分群Lがある場合、間接等長写像を含むが反転を含まない対応する群が存在する。

${\displaystyle M=L\cup ((H\setminus L)\times \{-I\})}$

たとえば、H = C _{4 は}M = S ₄に対応します。

したがって、M は、 の等長変換を反転することによってHから得られます。この群Mは、抽象群として考えた場合、 Hと同型です。逆に、間接等長変換を含むが反転を含まないすべての点群Mに対して、間接等長変換を反転することによって回転群Hを取得できます。 ${\displaystyle H\setminus L}$

有限群の場合、対応は次のようになります。

2D では、k回転の巡回群C _{k は}、すべての正の整数kに対して、O(2) および SO(2) の正規部分群です。したがって、3D では、すべての軸に対して、その軸の周りのk回転の巡回群は、その軸の周りのすべての回転の群の正規部分群です。インデックス 2 の任意の部分群は正規であるため、回転群 ( C _n ) は、その軸を通る反射平面を ( C _n )に追加して得られる群 ( C _{n v} ) と、その軸に垂直な反射平面を ( C _n )に追加して得られる群 ( C _{n h ) の両方で正規です。}

離散点群のいずれにも適切な部分群として含まれないという性質を持つ 2 つの離散点群があります。O _hとI _hです。これらの最大の共通部分群はT _{hです。2 つの群は、それぞれ}2回回転対称性を 4 回回転対称性に変更し、5 回対称性を追加することで得られます。

いかなる結晶点群もそれを適切な部分群として持たないという性質を持つ結晶点群が 2 つあります: O _hとD _{6h 。それらの最大共通部分群は、方向に応じて、} D _3dとD _2hです。

以下、上記で説明したグループを抽象グループタイプ別に並べます。

3D の対称群ではない最小の抽象群は、四元数群(次数 8)、Z ₃ × Z ₃ (次数 9)、二環群Dic ₃ (次数 12)、および次数 16 の 14 群のうち 10 群です。

次の表の「オーダー 2 の要素の数」の列は、タイプC ₂、C _i、C _sの等長サブグループの合計数を示しています。この合計数は、さまざまな抽象グループ タイプを区別するのに役立つ特性の 1 つであり、等長タイプは同じ抽象グループのさまざまな等長グループを区別するのに役立ちます。

3D の等長群の可能性の中には、位数 2 の要素が 0、1、3 個ある抽象群の種類が無限にあり、位数 2 の要素が 4 n + 1 個ある群が 2 つあり、位数 2 の要素が 4 n + 3 個ある群が 3 つあります(各n ≥ 8)。位数 2 の要素が正の偶数になることはありません。

n回転対称性の対称群はC _nです。その抽象群タイプは巡回群Z _nで、これもC _nで表されます。ただし、この抽象群タイプを持つ対称群の無限級数はさらに 2 つあります。

• 偶数位数 2 nの場合、軸の周りの角度 180°/n の回転と、軸に垂直な平面での反射の組み合わせによって生成される群S _{2 n (シェーンフライの表記) があります。S 2}の場合、表記C _{iが使用され、反転}によって生成されます。
• nが奇数である任意の 2 n次数に対して、 C _{n h が}存在します。これはn倍の回転軸と垂直な反射面を持ちます。これは軸の周りの角度 360°/ nの回転と反射の組み合わせによって生成されます。C _1hの場合、表記法C _sが使用され、平面での反射によって生成されます。

したがって、結晶学的制限が適用される10 個の周期的な結晶学的点群を太字で示すと次のようになります。

等

2D二面体群 D _nには反射が含まれており、これは表裏を区別せずに平らな物体を裏返すものとしても考えられます。

しかし、3D では 2 つの操作は区別されます。D n で表される対称群に_は、反射ではなく、 n 倍軸に垂直な n 2 倍軸が含まれます。D n は、正規の底を持つn面_プリズム、正規の底を持つn面両錐体、正規のn面反プリズム、正規のn面台形の回転群です。この群は、たとえばすべての面に同一のキラル マーキングを施したり、形状に何らかの変更を加えたりしてキラルにした後の、そのようなオブジェクトの完全な対称群でもあります。

抽象群のタイプは二面体群Dih _nであり、 D _nとも表記されます。ただし、この抽象群のタイプを持つ対称群の無限級数はさらに 3 つあります。

• 2 n次のC _{n v 、正}n面体ピラミッドの対称群
• 4 n次のD _{n d 、正}n面体反プリズムの対称群
• 奇数nに対して、次数 4 nのD _{n h} 。n = 1の場合には、上ですでに説明したD _{2が得られるため、} n ≥ 3 となります。

次の特性に注意してください。

ダイ_{4n +2} ダイ_{2n +1} × _{Z 2​}${\displaystyle \cong}$

したがって、12個の結晶点群を太字にし、D _1dを同等のC _2hとして記述すると次のようになります。

等

位数 4 nのC _{2 n ,h}は抽象群型 Z _{2 n} × Z _{2です。n =} 1の場合、上ですでに説明したDih _{2が得られるため、} n ≥ 2 となります。

したがって、2つの周期的な結晶点群を太字にすると次のようになります。

等

位数 4 nのD _{n h は}抽象群型 Dih _n × Z ₂です。奇数nについてはすでに上で説明しているので、ここでは位数 8 nのD _{2 n h}があり、これは抽象群型 Dih _{2 n} × Z ₂ ( n ≥1) です。

したがって、3 つの二面体結晶点群を太字にすると次のようになります。

等

残りの 7 つは、5 つの結晶点群を太字で示したものです (上記も参照)。

点群の基本領域は円錐立体です。特定の方向で特定の対称性を持つオブジェクトは、基本領域によって特徴付けられます。オブジェクトが表面である場合、そのオブジェクトは、その放射状の境界面または表面に続く基本領域内の表面によって特徴付けられます。表面のコピーが適合しない場合は、放射状の面または表面を追加できます。基本領域が反射面によって境界付けられている場合は、いずれにしても適合します。

多面体の場合、基本領域内のこの表面は任意の平面の一部になることができます。たとえば、2面体三十面体では、1つの完全な面が二十面体対称性の基本領域です。平面の方向を調整することで、2つ以上の隣接する面を1つに結合するさまざまな可能性が得られ、同じ対称性を持つさまざまな多面体が得られます。表面がそのコピーに適合し、平面に垂直な放射状線が基本領域内にある場合、多面体は凸型です。

また、基本領域内の表面は複数の面で構成されている場合もあります。

Spin(3) → SO(3) の写像は、3 次元におけるスピン群による回転群の二重被覆である。(Spin(3) は単連結なので、これは SO(3) の唯一の連結被覆である。)格子定理により、Spin(3) の部分群と SO(3) の部分群 (回転点群) の間にはガロア接続が存在している。つまり、Spin(3) の部分群の像は回転点群であり、点群の逆像は Spin(3) の部分群である。(Spin(3) は特殊ユニタリ群SU(2)や単位四元数の群として記述することもできる。位相的には、このリー群は3 次元球面S ³である。)

有限点群の逆像は二元多面体群と呼ばれ、⟨l,n,m⟩ と表され、その点群と同じ名前で呼ばれ、接頭辞二元が付き、関連する多面体群(l,m,n)の 2 倍の位数を持ちます。たとえば、二十面体群(2,3,5) の逆像は二元二十面体群⟨2,3,5⟩ です。

二元多面体グループは次のとおりです。

• ${\displaystyle A_{n}}$: ( n + 1)-角形の2元巡回群 、位数2n
• ${\displaystyle D_{n}}$: n角形の二元二面体群、⟨2,2, n ⟩、位数 4 n
• ${\displaystyle E_{6}}$:二元四面体群、⟨2,3,3⟩、位数24
• ${\displaystyle E_{7}}$:二元八面体群、⟨2,3,4⟩、位数48
• ${\displaystyle E_{8}}$:二元二十面体群、⟨2,3,5⟩、位数 120

これらはADE分類によって分類され、C ²を二元多面体群の作用で割った商はデュバル特異点である。^[6]

向きが反転する点群の場合、ピン群が2 つ存在するため、状況はさらに複雑になり、特定の点群に対応するバイナリ群も 2 つ存在することになります。

これは群の被覆であり、空間の被覆ではないことに注意してください。球は単純に連結されているため、被覆空間はありません。したがって、3 次元多面体を覆う「バイナリ多面体」という概念はありません。バイナリ多面体群は、スピン群の離散的なサブグループであり、スピン群の表現の下ではベクトル空間に作用し、この表現内の多面体を安定化する場合があります。マップ Spin(3) → SO(3) の下では、基礎となる (非バイナリ) グループが作用するのと同じ多面体に作用しますが、スピン表現またはその他の表現の下では、他の多面体を安定化する場合があります。

これは射影多面体とは対照的です。球面は射影空間(およびレンズ空間) を覆うため、射影空間またはレンズ空間のモザイク化によって多面体という明確な概念が生成されます。

• 32 個の結晶点群のグラフィック概要 - 7 つの無限系列の最初の部分 ( n =5をスキップする以外) と 7 つの個別の 3D 点群のうちの 5 つを形成
• 点群の特性の概要
• 各対称タイプの最も単純な標準多面体 (Java を使用)
• 点群と結晶系、Yi-Shu Wei著、pp. 4-6
• 幾何学センター: 10.1 直交座標における対称性の公式 (3 次元)