リーマン幾何学と計量幾何学の用語集

これはリーマン幾何学と計量幾何学で使用される用語の用語集です。微分位相幾何学の用語は扱っていません。

以下の記事も役に立つかもしれません。これらの記事には専門用語が含まれていたり、下記の定義のより詳しい説明が記載されています。

• 繋がり
• 曲率
• メートル法空間
• リーマン多様体

参照:

• 一般位相幾何学用語集
• 微分幾何学と位相幾何学の用語集
• 微分幾何学のトピックのリスト

特に明記しない限り、以下の文字X、Y、Z は計量空間を表し、M、N はリーマン多様体を表し、 | xy | またははX内の点xと点yの間の距離を表します。斜体の単語は、この用語集への自己参照を示します。 ${\displaystyle |xy|_{X}}$

注意:凸関数、凸集合など、リーマン幾何学や計量幾何学における多くの用語は、一般的な数学的用法とまったく同じ意味を持つわけではありません。

アレクサンドロフ空間は、上界、下界、または積分曲率境界を持つリーマン多様体の一般化です（最後のものは次元 2 でのみ機能します）。

ほぼ平坦な多様体

円弧方向の等長変換はパス等長変換と同じです。

自動平行は完全測地線と同じである。^[1]

重心については、質量の中心を参照してください。

双リプシッツ写像。Xの任意のxとyに対して、正の定数cとCが存在するとき、その写像は${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}}$

ブゼマン関数は、光線γ:[0,∞)→ Xが与えられたとき、次のように定義される。

${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)}$

カルタン-アダマールの定理は、非正の断面曲率を持つ連結かつ単連結な完全リーマン多様体が指数写像を介してR ⁿに微分同相であるという主張である。距離空間については、アレクサンドロフの意味で非正の曲率を持つ連結かつ単連結な完全測地距離空間が（大域的に） CAT(0)空間であるという主張である。

カルタンは、リーマン幾何学の代わりにリーマン-カルタン幾何学を用いて、アインシュタインの一般相対性理論をアインシュタイン-カルタン理論に拡張した。この拡張によりアフィンねじれが得られ、非対称曲率テンソルとスピン軌道結合の組み込みが可能になった。

質量の中心。関数の最小値をとる 点を質量の中心^{[2]と呼ぶ。}${\textstyle q\in M}$${\textstyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.}$

すべての距離が凸半径より小さい場合、そのような点は一意です。 ${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$

クリストッフェルのシンボル

崩壊する多様体

完全なマニホールド

完全な距離空間

完了

等角写像は角度を保存する写像です。

多様体Mが共形平坦であるとは、それが局所的にユークリッド空間と共形的に同値である場合を指します。たとえば、標準球面は共形平坦です。

共役点測地線上の2 つの点pとq は、pとqにゼロを持つヤコビ体が存在する場合に共役であると呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

凸関数。リーマン多様体上の関数f が凸関数であるとは、任意の測地線に対して関数が凸関数である。関数fは、自然パラメータ を持つ任意の測地線に対して関数が凸関数である場合に、と呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$

凸 リーマン多様体Mの部分集合Kは、 K内の任意の 2 点に対して、それらを結ぶ唯一の最短経路が存在し、その経路が完全にK内にある場合、凸と呼ばれます。全凸も参照してください。

リーマン多様体のある点における凸半径は、（完全に）凸である を中心とする球の半径の上限です。多様体の凸半径は、その点における凸半径の下限です。コンパクト多様体の場合、これは正の数です。^[3]これらの球におけるへの距離関数が凸であるという追加の要件が課されることもあります。^[4]${\textstyle p}$${\textstyle p}$${\textstyle p}$

余接束

共変微分

カット軌跡

距離空間の 直径は、点のペア間の距離の最大値です。

可展面は平面に対して 等角な面です

膨張はリプシッツ定数と同じ

指数写像:指数写像 (リー理論)、指数写像 (リーマン幾何学)

フィンスラーメトリック

埋め込みまたは浸漬の最初の基本形式は、計量テンソルの引き戻しです。

フラットマニホールド

測地線は距離を局所的に最小化する曲線です。

測地線フローは、多様体Mの接線バンドルTM上の流れであり、軌跡が（測地線 ）の形式であるベクトル場によって生成されます。 ${\displaystyle (\ガンマ (t),\ガンマ '(t))}$${\displaystyle \gamma}$

グロモフ-ハウスドルフ収束

測地線距離空間は、任意の 2 点が最小化測地線の端点となる距離空間です。

アダマール空間は非正の曲率を持つ完全な単連結空間です。

Horosphere はBusemann 関数のレベル セットです。

リーマン多様体の点pにおける単射半径は、 pにおける指数写像が微分同相写像となる半径の上限である。リーマン多様体の単射半径は、すべての点における単射半径の下限である。^[5]カットローカスも参照。

完全多様体では、 pにおける単射半径が有限数rであれば、 pで始まり p で終わる長さ 2 rの測地線が存在するか、 pと共役で（上記の共役点を参照）、 pから距離rの点qが存在する。^[6]閉じたリーマン多様体では、単射半径は閉じた測地線の最小の長さの半分か、測地線上の共役点間の最小距離のいずれかである。

インフラニル多様体左乗法によって自身に作用する単連結冪零リー群NとNの自己同型有限群F が与えられると、 Nへの半直積の作用を定義できる。 Nに自由に作用する離散部分群によるNの軌道空間は、インフラニル多様体と呼ばれる。インフラニル多様体はニル多様体によって有限被覆される。^[7] ${\displaystyle N\rtimes F}$${\textstyle N\rtimes F}$

等長写像は距離を保存する地図です。

本質的メトリック

ヤコビ場ヤコビ場は測地線γ上のベクトル場であり、次のようにして得られる。 の滑らかな1パラメータ測地線族をとると、ヤコビ場は次のように記述される。 ${\displaystyle \gamma _{\タウ }}$${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

ジョーダン曲線

ケーラー・アインシュタイン計量

ケーラーメトリック

キリングベクトルフィールド

長さメトリックは固有メトリックと同じです。

レヴィ-チヴィタ接続は、リーマン多様体上のベクトル場を微分する自然な方法です。

マップのLipschitz 定数は、与えられたマップがL - Lipschitzとなるような数Lの最小値です。

リプシッツ収束は、リプシッツ距離によって定義される距離空間の収束です。

距離空間間のリプシッツ距離は、これらの空間間に定数exp(-r )、exp( r )を持つ全単射双リプシッツ写像が存在するような数rの最小値である。^[8]

リプシッツ地図

対数写像、または対数は指数写像の右逆である。^{[9] [10]}

平均曲率

メトリックボール

計量テンソル

極小曲面は、平均曲率（のベクトル）がゼロの部分多様体です。

自然なパラメータ化は長さによるパラメータ化である。^[11]

ネット。距離空間Xの部分集合Sが-ネットと呼ばれるのは、 Xの任意の点に対して距離上にSの点が存在するときである。^{[12]これは、極限を一般化する}位相ネット とは異なる。 ${\textstyle \epsilon }$${\textstyle \leq \epsilon }$

ニル多様体: 点を含む多様体の最小集合の要素であり、次の特性を持ちます: ニル多様体上の任意の有向-バンドルはニル多様体です。また、連結された冪零リー群の格子による因子として定義することもできます。 ${\displaystyle S^{1}}$

法線バンドル: 多様体Mを周囲のユークリッド空間に埋め込むことに関連して、法線バンドルは、各点pにおけるファイバーが接空間の直交補集合 ( 内) であるベクトルバンドルです。 ${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\textstyle T_{p}M}$

非拡張マップはショートマップと同じです。

平行輸送

パスアイソメトリ

多面体空間は、誘導された計量を持つ各単体がユークリッド空間の単体と等長であるような計量を持つ単体複合体です。

主曲率は、表面上の点における最大法曲率と最小法曲率です。

主方向は主曲率の方向です。

適切な距離空間とは、すべての閉じた球がコンパクトである距離空間のことである。同様に、すべての閉じた有界部分集合がコンパクトである。すべての適切な距離空間は完備である。^[13]

擬リーマン多様体

準測地線には2つの意味がある。ここでは最も一般的な意味を述べる。写像（ここでは部分区間）は、定数とが存在し、任意の${\displaystyle f:I\to Y}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

準測地線は必ずしも連続した曲線ではないことに注意してください。

準等長写像。定数とが存在し 、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

Yのどの点も、f ( X )の何らかの点から最大C の距離を持ちます。準等長写像は連続しているとは想定されていないことに注意してください。たとえば、コンパクトな距離空間間の写像はどれも準等長写像です。X から Y への準等長写像が存在する場合、X と Y は準等長写像であると言われます。

計量空間の半径は、その空間を完全に包含する計量球の半径の最小値である。^[14]

光線は各区間で最小となる片側無限測地線である。^[15]

リッチ曲率

リーマン

リーマン曲率テンソル

リーマン多様体

リーマン沈み込みは、リーマン多様体間の写像であり、同時に 沈み込みとサブメトリックでもあります。

スカラー曲率

第二基本形式は超曲面の接空間上の二次形式であり、通常IIと表記され、超曲面の 形状演算子を記述するのと同等の方法である。

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle }$

これは任意の余次元に一般化することもでき、その場合には正規空間に値を持つ二次形式になります。

超曲面Mの形状作用素は接空間上の線型作用素、 S _p :  T _p M → T _p Mである。nがMの単位法線体でvが接ベクトルならば、

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(定義において + を使用するか - を使用するかについての標準的な合意はありません)。

ショートマップは距離が増加しないマップです。

滑らかなマニホールド

ソル多様体は、格子によって連結された可解なリー群の因子です。

部分距離距離空間間の短い写像fは、 R > 0が存在し、任意の点xと半径r < Rに対して、距離r球体の像がr球体^、すなわち部分リーマン多様体であるとき、部分距離と呼ばれる[16] 。$${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).}$$

収縮期。Mのk収縮期は、ゼロに相同でないk周期の最小体積です。 ${\textstyle syst_{k}(M)}$

接線束

完全に凸リーマン多様体Mの部分集合Kは、 K内の任意の2点に対して、それらを結ぶ測地線が完全にK内にあるとき、完全に凸と呼ばれる。凸も参照。 ^[17]

完全測地線部分多様体とは、その部分多様体内のすべての測地線が周囲の多様体の測地線でもあるような部分多様体である。 ^[18]

一意に測地線である距離空間は、任意の 2 点が一意に最小化する測地線の端点となる距離空間です。

グループ上の単語メトリックは、一連のジェネレータを使用して構築された ケイリー グラフのメトリックです。