最初の基本形

微分幾何学において、第一基本形式は、 3次元ユークリッド空間における曲面の接空間上の内積であり、 R ³のドット積から標準的に誘導される。これにより、曲率や長さ、面積などの曲面の計量特性を、周囲の空間と整合した方法で計算することができる。第一基本形式はローマ数字Iで表される。 $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}$$

X ( u , v )をパラメトリック曲面とする。このとき、2つの接ベクトルの内積は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$$ ここで、 E、F、Gは第一基本形式の係数である。

最初の基本形式は対称行列として表すことができる。 $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}$$

第一基本形式が引数1つだけで記述されている場合、それはそのベクトルとそれ自身との内積を表します。 $${\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}$$

最初の基本形式は、多くの場合、計量テンソルの現代的な記法で記述されます。係数は次のように記述できます。 g _ij : $${\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$$

このテンソルの成分は、接線ベクトルX ₁とX ₂のスカラー積として計算されます。 $${\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle }$$i、j = 1、2 の場合。以下の例を参照してください。

第一基本形式は曲面の計量特性を完全に記述します。したがって、曲面上の曲線の長さや曲面上の領域の面積を計算することができます。線要素ds は、第一基本形式の係数を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}$$

dA = | X _u × X _v | du dvで与えられる古典的な面積要素は、ラグランジュの恒等式を用いて第一基本形式で表現することができる。 $${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

曲面のガウス曲率は次のように表さ れる。$${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$ ここで、 L、M、Nは第2基本形式の係数である。

ガウスの驚異の定理によれば、曲面のガウス曲率は第一基本形式とその導関数のみで表すことができ、したがってKは実際には曲面の固有の不変量である。第一基本形式によるガウス曲率の明示的な表現は、ブリオスキの公式によって与えられる。

• メトリックテンソル
• 第二基本形式
• 第三の基本形態
• 同義反復的な一形式
• グラムマトリックス

• 第一基本形式 — Wolfram MathWorldより