極O と極軸L を持つ極座標系における点。緑色は、動径座標が3、角度座標が60度の点（3, 数学 では、極座標系は、 距離と角度を2つの座標として使用して、 平面上 の特定の点 を指定します。これらは
点から極と 極から引いた光線である 極軸 の方向に対する、極からの点の方向。 極からの距離は半径座標 、半径距離 、または単に半径 と呼ばれ、角度は角度座標 、極角 、または方位角 [ 1 ] 極はデカルト座標系 の原点に相当します。
極座標は、螺旋 のように、検討対象の現象が平面上の中心点からの方向と長さに本質的に結びついているあらゆる状況において最も適しています。中心点の周りを物体が運動する平面物理システムや、中心点から発生する現象は、極座標を用いることでより単純かつ直感的にモデル化できる場合が多いのです。
極座標系は、2つの方法で3次元に拡張されます。円筒座標系では 2つ目の距離座標が追加され、球座標系では 2つ目の角度座標が追加されます。
グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン とボナヴェントゥーラ・カヴァリエリは 、17世紀半ばにそれぞれ独立してこのシステムの概念を導入したが、極座標という実際の用語は18世紀の グレゴリオ・フォンタナ に帰せられている。極座標系を導入する当初の動機は、円運動 と軌道運動 の研究であった。
慣例 反時計回りに角度が増加する複数の角度を持つ極座標グリッドで、角度は度数でラベル付けされている。 動径座標はしばしば次のように表される。r {\displaystyle r} ρ {\displaystyle \rho } ρ ）。角度座標は次のように表される。φ {\displaystyle \varphi } phi ）、ISO 規格31-11 （現在は80000-2:2019 ）[ 10 ] θ {\displaystyle \theta } シータ ）は数学文献でしばしば用いられる。[ 11 ]
極座標表記における角度は、一般的に度 またはラジアン （2πラジアン 航海 、測量、および多くの応用分野で使用され、ラジアンは数学および数理 物理学 でより一般的です。[ 12 ]
角度φ {\displaystyle \varphi } は、基準方向 から 0° を起点として定義され、時計回り (↻) または反時計回り (↺) の回転で増加します。たとえば、数学では、基準方向は通常、極から水平に右方向に引かれた光線として描かれ、反時計回りの回転で極角は正の角度に増加しますが、航法 ( 方位 、方位 ) では、0° の方位は垂直上向きに描かれ、時計回りの回転で角度が増加します。極角は、それぞれの反対方向の回転で負の値に減少します。
極座標の一意性 角度座標に任意の数の完全な回転 （360°）を加えても、対応する方向は変わりません。同様に、任意の極座標は、負の半径成分を持ち、反対方向（極角に180°を加える）の座標と同一です。したがって、同じ点（ r 、 φ ） {\displaystyle (r,\varphi )} （ r 、 φ + n × 360 ∘ ） {\displaystyle (r,\varphi +n\times 360^{\circ })} （ − r 、 φ + 180 ∘ + n × 360 ∘ ） = （ − r 、 φ + （ 2 n + 1 ） × 180 ∘ ） {\displaystyle (-r,\varphi +180^{\circ }+n\times 360^{\circ })=(-r,\varphi +(2n+1)\times 180^{\circ })} n {\displaystyle n} 整数 である。[ 13 ] （ 0 、 φ ） {\displaystyle (0,\varphi )} φ {\displaystyle \varphi } 14 ]
極以外の点に対して一意の表現が必要な場合、通常は制限しますr {\displaystyle r} r > 0 {\displaystyle r>0} φ {\displaystyle \varphi } 間隔の いずれかに[ 0 、 360 ∘ ） {\displaystyle [0,360^{\circ })} （ − 180 ∘ 、 180 ∘ ] {\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]} [ 0 、 2 π ） {\displaystyle [0,2\pi )} （ − π 、 π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} 15 ] もう一つの慣例として、 arctan 関数 の通常の終域 に関して、動径成分の任意の非ゼロ実数値を許容し、極角を に制限する。 （ − 90 ∘ 、 90 ∘ ] {\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]} r = 0 {\displaystyle r=0} φ = 0 {\displaystyle \varphi =0}
曲線の極方程式 デカルト座標平面上の曲線は極座標にマッピングできます。このアニメーションでは、y = 罪 （ 6 ⋅ x ） + 2 {\displaystyle y=\sin(6\!\cdot \!x)+2} r = 罪 （ 6 ⋅ θ ） + 2 {\displaystyle r=\sin(6\!\cdot \!\theta )+2} 極座標で表された平面曲線 を定義する方程式は、極方程式 として知られています。多くの場合、このような方程式は、r を φ の関数 として定義するだけで簡単に指定できます。結果として得られる曲線は、( r ( φ ), φ ) の形の点から構成され、極関数rの グラフ とみなすことができます。デカルト座標とは対照的に、独立変数φは 順序対の 2 番目 の要素であることに注意してください。
極関数r の式から、さまざまな対称性 を推測することができる。
r (− φ ) = r ( φ )r ( π − φ ) = r ( φ )r ( φ − α) = r ( φ )回転対称 になります。極座標系は円形であるため、多くの曲線は比較的単純な極座標方程式で記述できますが、デカルト座標系での表現ははるかに複雑です。これらの曲線の中で最もよく知られているものには、極座標バラ 、アルキメデス螺旋 、レムニスケート 、リマソン 、カージオイド などがあります。
以下の円、直線、および極座標バラ図については、曲線の定義域と値域に制限がないものとします。
丸 方程式r ( φ ) = 1 で表される円中心が（ r 0 、 γ ） {\displaystyle (r_{0},\gamma )} a は r 2 − 2 r r 0 コス （ φ − γ ） + r 0 2 = 1 2 。 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}
これは、方程式などのより具体的なケースに合わせて、さまざまな方法で簡略化できます。 r （ φ ） = 1 {\displaystyle r(\varphi )=a} a の 円の場合。[ 19 ]
r 0 = a r = 2 1 コス （ φ − γ ） 。 {\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}
一般的には、この方程式をr r = r 0 コス （ φ − γ ） + 1 2 − r 0 2 罪 2 （ φ − γ ） {\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}
ポーラーローズ 方程式r ( φ ) = 2 sin 4 φ 極座標ローズ は花びらのような形をした数学的な曲線であり、2つの異なる極座標方程式のいずれかで表すことができます。[ 20 ] r （ φ ） = 1 罪 （ k φ ） 、 r （ φ ） = 1 コス （ k φ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}r(\varphi )&=a\sin \left(k\varphi \right),\\r(\varphi )&=a\cos \left(k\varphi \right).\end{aligned}}} r ( φ ) = a cos( kφ + γ )γ は位相 と等価回転を決定します。kが k枚の花びらを持つバラを k 奇数の 場合に生成し、k k [ 21 ] k が a は k は それらの空間周波数 に関係します。
アルキメデス螺旋 方程式r ( φ ) = φ / 2 π ( 0 < φ < 6 π アルキメデス螺旋は アルキメデス によって発見された螺旋であり、単純な極方程式で表すこともできます。それは次の式で表されます。 r （ φ ） = 1 + b φ 。 {\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .} a を変更すると螺旋の向きが変わり、b は 腕間の距離を制御します。この距離は、特定の螺旋では常に一定です。アルキメデス螺旋には 2 つの腕があり、1 つはφ > 0用、もう 1 つはφ < 0、 一方円錐曲線 に次いで数学の論文で記述された最初の曲線の 1 つは、極方程式によって最もよく定義される曲線の代表的な例として注目に値します。
微積分 微積分は 極座標で表された方程式に適用できます。[ 23 ] [ 24 ]
このセクション全体を通して、角度座標φ はラジアンで表されます。これは、微積分を行う際の慣例的な選択です。
微分積分 x = r cos φ y = r sin φ u ( x , y ) に対して、(その 全導関数を 計算することにより) または r d u d r = r ∂ u ∂ x コス φ + r ∂ u ∂ y 罪 φ = x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y 、 d u d φ = − ∂ u ∂ x r 罪 φ + ∂ u ∂ y r コス φ = − y ∂ u ∂ x + x ∂ u ∂ y 。 {\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}
したがって、次の式が得られます。 r d d r = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y d d φ = − y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y 。 {\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}
逆座標変換を用いると、導関数間に類似の逆数関係を導き出すことができる。関数u ( r , φ ) が与えられた場合、次のことが成り立つ。 d u d x = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ u ∂ φ ∂ φ ∂ x 、 d u d y = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ u ∂ φ ∂ φ ∂ y 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}} d u d x = ∂ u ∂ r x x 2 + y 2 − ∂ u ∂ φ y x 2 + y 2 = コス φ ∂ u ∂ r − 1 r 罪 φ ∂ u ∂ φ 、 d u d y = ∂ u ∂ r y x 2 + y 2 + ∂ u ∂ φ x x 2 + y 2 = 罪 φ ∂ u ∂ r + 1 r コス φ ∂ u ∂ φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}
したがって、以下の式が得られます。 d d x = コス φ ∂ ∂ r − 1 r 罪 φ ∂ ∂ φ d d y = 罪 φ ∂ ∂ r + 1 r コス φ ∂ ∂ φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}
任意の点における極座標曲線r ( φ )の接線のデカルト座標での傾きを求めるには、まず曲線をパラメータ方程式 のシステムとして表現します。 x = r （ φ ） コス φ y = r （ φ ） 罪 φ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}
両方の式をφ に関して微分すると 、 d x d φ = r ′ （ φ ） コス φ − r （ φ ） 罪 φ d y d φ = r ′ （ φ ） 罪 φ + r （ φ ） コス φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}
2番目の式を1番目の式で割ると、その点における曲線への接線のデカルト座標での傾きが得られます。（ r （ φ ） 、 φ ） {\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )} [ 25 ] d y d x = r ′ （ φ ） 罪 φ + r （ φ ） コス φ r ′ （ φ ） コス φ − r （ φ ） 罪 φ 。 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}
極座標における発散、勾配、ラプラシアンなどのその他の有用な公式については、曲線座標を 参照してください。
積分法
弧の長さ 極座標関数で定義される弧長 （線分の長さ）は、曲線r ( φ ) 上の積分によって求められます。点Aから点 B までの曲線に沿ったこの長さをL とします。ここで、これらの点はφ = a およびφ = bに対応し、 0 < b − a < 2 π 。 L = ∫ 1 b [ r （ φ ） ] 2 + [ d r （ φ ） d φ ] 2 d φ {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }
エリア 積分領域R は曲線r ( φ ) と光線φ = a およびφ = b によって囲まれています。 曲線r ( φ ) と半直線φ = a およびφ = b で囲まれた領域をR とします。ただし、0 < b − a ≤ 2 π です。このとき、 R の面積は次のようになります 。1 2 ∫ 1 b [ r （ φ ） ] 2 d φ 。 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}
領域Rは n個の セクター（ここではn =5）で近似される。 この結果は次のようにして得られます。まず、区間[ a , b ]を n 個の 小区間に分割します。ここでn はある正の整数です。したがって、各小区間の角度Δ φ は、 b − a nで割った値に等しくなります。各小区間 i = 1, 2, ..., n について、φ i を r ( φ i 中心角 Δ φ 、弧長r ( φ i φの 扇形 を構成します。したがって、構成された各扇形の面積は次のようになります。 π [ r （ φ 私 ） ] 2 ⋅ Δ φ 2 π = 1 2 [ r （ φ 私 ） ] 2 Δ φ 。 {\displaystyle \pi \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .} ∑ 私 = 1 n 1 2 r （ φ 私 ） 2 Δ φ 。 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}
部分区間の数n を増やすと、面積の近似精度が向上します。n → ∞ と リーマン和になります。
極積分を機械的に計算する プラニメーター 面積積分を計算する機械装置として、平面図形をトレースして面積を測定するプラニメーターがあります。これは、関節を追加することで極座標での積分を再現し、2要素 リンク機構が グリーンの定理 を適用して、2次極積分を線形積分に変換します。
領域の一般化 デカルト座標 を用いると、微小面積要素はdA = dx dy と計算できます。多重積分の置換規則に よれば、他の座標を用いる場合は、座標変換式の ヤコビ行列式を考慮する必要があります。 J = 検出 ∂ （ x 、 y ） ∂ （ r 、 φ ） = | ∂ x ∂ r ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ φ | = | コス φ − r 罪 φ 罪 φ r コス φ | = r コス 2 φ + r 罪 2 φ = r 。 {\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}
したがって、極座標における面積要素は次のように表すことができます。 d A = d x d y = J d r d φ = r d r d φ 。 {\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}
さて、極座標で与えられた関数は、次のように積分できます。 ∬ R f （ x 、 y ） d A = ∫ 1 b ∫ r 1 （ φ 1 ） r 2 （ φ 2 ） f （ r 、 φ ） r d r d φ 。 {\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{r_{1}(\varphi _{1})}^{r_{2}(\varphi _{2})}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}
ここで、Rは上記と同じ領域、すなわち曲線 r ( φ )と半直線φ = a およびφ = b で囲まれた領域である。R の面積の公式は、fを 恒等的に1とすることで得られる。
グラフf （ x ） = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} x {\displaystyle x} π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} この結果のさらに驚くべき応用例として、ガウス積分 が得られる。 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π 。 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
ベクトル解析 ベクトル解析は 極座標にも適用できます。平面運動の場合、r {\displaystyle \mathbf {r} } ( r cos( φ ), r sin( φ )) とし、r とφ t に依存する。
、半径方向、横方向、法線方向の 3つの単位ベクトルを持つ正規直交基底 を定義する。半径方向は 、正規化によって定義される。r {\displaystyle \mathbf {r} } r ^ = （ コス （ φ ） 、 罪 （ φ ） ） {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))} 運動平面 上に広がり、その法線方向 は次のように表される。k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} k ^ = v ^ × r ^ 。 {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.} 方向は 、半径方向と法線方向の両方に垂直である。 φ ^ = （ − 罪 （ φ ） 、 コス （ φ ） ） = k ^ × r ^ 、 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}
すると、位置と速度は次のように表すことができる。 r = （ x 、 y ） = r （ コス φ 、 罪 φ ） = r r ^ 、 r ˙ = （ x ˙ 、 y ˙ ） = r ˙ （ コス φ 、 罪 φ ） + r φ ˙ （ − 罪 φ 、 コス φ ） = r ˙ r ^ + r φ ˙ φ ^ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]\end{aligned}}} 角速度 とともにφ ˙ {\displaystyle {\dot {\varphi }}} ラジアン毎秒 （またはその倍数）で表され、度毎秒で表されて はならない。加速度は次のように表すことができる。 r ¨ = （ x ¨ 、 y ¨ ） = r ¨ （ コス φ 、 罪 φ ） + 2 r ˙ φ ˙ （ − 罪 φ 、 コス φ ） + r φ ¨ （ − 罪 φ 、 コス φ ） − r φ ˙ 2 （ コス φ 、 罪 φ ） = （ r ¨ − r φ ˙ 2 ） r ^ + （ r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ） φ ^ = （ r ¨ − r φ ˙ 2 ） r ^ + 1 r d d t （ r 2 φ ˙ ） φ ^ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}
2D の曲線の場合、パラメータはθ {\displaystyle \theta } r = r （ θ ） e ^ r d r d θ = d r d θ e ^ r + r e ^ θ d 2 r d θ 2 = （ d 2 r d θ 2 − r ） e ^ r + 2 d r d θ e ^ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+2{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}
遠心力とコリオリ力の項 用語r φ ˙ 2 {\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}} は求心加速度 と呼ばれることもあり、2 r ˙ φ ˙ {\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}} コリオリ加速度 として。例えば、Shankar を参照。[ 26 ] 運動の第 2 法則を設定するときにこれらの加速度が現れます。ここで、これらの追加項はしばしば 仮想力 と呼ばれます。仮想というのは、単に座標系の変更の結果だからです。それは、それらが存在しないという意味ではなく、回転座標系でのみ存在するという意味です。
位置ベクトルrは 、常に原点から放射状に伸びる方向を指す。
加速度ベクトルa は 、半径方向の運動と平行ではなく、角加速度とコリオリ加速度によってオフセットされ、また、経路に接線方向ではなく、向心加速度と半径方向の加速度によってオフセットされる。
平面極座標における運動学的ベクトル。この設定は2次元空間に限定されず、より高次元の平面にも適用できることに注意してください。
慣性座標系S と、瞬間的な非慣性共回転座標系S′ 。共回転座標系は、特定の時刻tにおける S′の原点周りの粒子の回転速度に等しい角速度Ωで回転する。粒子はベクトル位置 r ( t )に位置し、原点から粒子に向かう半径方向、および半径方向に垂直な角度ϕ が増加する方向に単位ベクトルが示されている。これらの単位ベクトルは、経路の接線および法線とは関係がない。また、半径距離rは、 経路の曲率半径とは関係がない。
同方向回転フレーム 平面運動する粒子の場合、これらの項に物理的な意味を与えるアプローチの 1 つは、瞬間的な共回転参照系 の概念に基づいています。[ 27 ] 参照系 を定義するには、まず、粒子までの距離r ( t ) が定義される原点を選択します。粒子の運動平面に垂直で、この原点を通る回転軸を設定します。次に、選択された時刻 t で、共回転系 Ω の角速度を、この軸を中心とした粒子の回転速度dφ / dtに 一致させます。次に、慣性系における加速度の項を共回転系における項と関連付けます。
慣性系における粒子の位置を ( r ( t ), φ ( t ))、共回転系における粒子の位置を ( r ′ (t), φ ′ (t)) とします。共回転系は粒子と同じ速度で回転するため、dφ ′/ dt = 0 です。共回転系における 仮想遠心 力はmr Ω 2 で、半径方向外向きです。共回転系における粒子の速度も、 dφ ′/ dt = 0 であるため、半径方向外向きです。したがって、仮想コリオリ力は−2 m ( dr / dt )Ωの値を持ち、 φ が増加する方向のみを向いています。したがって、これらの力をニュートンの第 2 法則に適用すると、次のようになります。 F + F cf + F コル = m r ¨ 、 {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,} Fは （仮想的な力とは対照的に）正味の実効力です。成分で表すと、このベクトル方程式は次のようになります。 F r + m r Ω 2 = m r ¨ F φ − 2 m r ˙ Ω = m r φ ¨ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}} F r = m r ¨ − m r φ ˙ 2 F φ = m r φ ¨ + 2 m r ˙ φ ˙ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}
この比較に加え、時刻t における共回転座標系の定義により回転速度 Ω = dφ / dt を持つという認識から、慣性座標系で見られる加速度（粒子の質量を乗じたもの）の項は、瞬間的な非慣性共回転座標系で見られる遠心力とコリオリ力の負の値として解釈できることがわかる。
粒子の一般的な運動（単純な円運動とは異なります）の場合、粒子の座標系における遠心力とコリオリ力は、通常、極座標の固定中心ではなく、その粒子の運動の瞬間的な接触円 を基準として表されます。詳細については、「向心力」 を参照してください。
微分幾何学 微分幾何学 の現代用語では、極座標は微分可能多様体 R 2 \ {(0,0)} 、すなわち原点を除いた平面の座標図を提供する。これらの座標では、ユークリッド計量テンソル は 次のように与えられる。d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 。 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.} x = r cos( θ ) 、y = r sin( θ )の 外微分 による微分形式 dx 、dy を計算し、それらをユークリッド計量テンソルds 2 = dx 2 + dy 2
この計量に関する正規直交フレームは次のように与えられる 。 e r = ∂ ∂ r 、 e θ = 1 r ∂ ∂ θ 、 {\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},} デュアルコフレーム 付きe r = d r 、 e θ = r d θ 。 {\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .} このフレームとレヴィ＝チヴィタ接続 に関する接続形式 は、 1形式の歪対称行列 によって与えられる。ω 私 j = （ 0 − d θ d θ 0 ） {\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}} 曲率形式 Ω = dω + ω ∧ ω は消滅する。したがって、予想どおり、穴の開いた平面は平坦な多様体 である。
三次元空間における拡張 極座標系は、円筒 座標系と球面座標系という 2つの異なる座標系によって3次元に拡張されます。どちらの座標系も、2次元（平面）極座標を部分集合として含んでいます。本質的に、円筒座標系は距離座標を追加することで極座標を拡張し、球面座標系は角度座標を追加することで拡張します。
アプリケーション 極座標は2次元であるため、点の位置が単一の2次元平面上にある場合にのみ使用できます。極座標は、考察対象の現象が中心点からの方向と長さに本質的に結びついているあらゆる状況で最も適しています。たとえば、上記の例は、アルキメデス螺旋のような曲線を定義するのに基本的な極方程式で十分であることを示しています。これらの曲線の方程式は、デカルト座標系でははるかに複雑になります。さらに、中心点の周りを運動する物体や中心点から発生する現象など、多くの物理システムは、極座標を使用してモデル化する方が単純で直感的です。極座標系が導入された最初の動機は、円運動 と軌道運動 の研究でした。
位置情報とナビゲーション 極座標は、目的地や進行方向を対象物からの角度と距離で表すことができるため、航法でよく使用されます。たとえば、 航空機は 航法に極座標を少し修正したバージョンを使用します。このシステムでは、あらゆる種類の航法で一般的に使用されるもので、0°の線は一般的に方位360と呼ばれ、角度は数学的なシステムのように反時計回りではなく、時計回りの方向に続きます。方位360は磁北 に対応し、方位90、180、270はそれぞれ磁東、磁南、磁西に対応します。[ 29 ] 航空管制 ではゼロナインゼロと 読みます）。[ 30 ]
モデリング 放射対称性 を示すシステムは、中心点を極とする極座標系にとって自然な環境を提供する。この使用法の代表的な例は、放射対称井戸に適用された地下水流方程式である。 放射状の力 が働くシステムも、極座標系の使用に適している。これらのシステムには、逆二乗法則 に従う重力場 や、無線アンテナ などの点源 を持つシステムが含まれる。
放射状に非対称なシステムも極座標でモデル化できます。たとえば、マイクロホン のピックアップパターンは 、特定の方向から入ってくる音に対する比例応答を示しており、これらのパターンは極曲線として表すことができます。最も一般的な単一指向性マイクロホンである標準的なカーディオイドマイクロホンの曲線は、目標設計周波数でr = 0.5 + 0.5sin( ϕ )と表すことができます。 [ 31 ]
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外部リンク 「極座標」、数学百科事典 EMS Press 、2001年 [1994年] 座標変換ツール— 極座標、直交座標、球面座標間の変換を行います 極座標系の動的デモ
![{\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52564e11cb8ecd24997d7929ef3ff9a87052b335)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)
![{\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f9812826a015ccca5d98ad77828227b2c1304c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702297c60884f24c748553ecc7246eccf95a448)
![{\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3942e962cea54fd104a33ebac17dde8bffa819)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d876b55918333fa5b3792a72f5254b82b86c63)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6d6d1a9e05c093275ecaf66033a4298e41fe1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f446e4f0df07ead889d7039cec3301472fc1f9ea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcc66ee6a6250cc206f488bb56f976a9a8bd2e8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a08bfe016a4d8e15a933032d077bcdf8c49d41e)
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![{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f62c06ac2868b9ac160abe1e75a075cad9e261)
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![{\displaystyle \pi \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95a520492f4da6e9cebb30acc9ea9ae1d93053d)
![{\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a1293fcb0e90b77017c0d9176c62aa06615b9b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8b09a50773b6cb0d4cb5d7731e7c2a7a2bbb9b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38c1f4809e1ea07a7472137a8f1fc921d1f6735)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+2{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9039dbb7d1cbbeaa89ea91f72e26e8ac748d2c)
