ボルツァ表面

数学において、ボルザ面、あるいは複素代数ボルザ曲線（オスカー・ボルザ （1887）によって導入された）は、この種数の共形自己同型群の最高位、すなわち位数48（有限体上の行列の一般線型群）を持つ、種数のコンパクトなリーマン面である。完全自己同型群（反射を含む）は位数96の半直積である。ボルザ面のアフィンモデルは、次の式の軌跡として得られる。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)}$${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

で、ボルザ面はアフィン曲線の滑らかな完成です。すべての種数双曲面の中で、ボルザ面はシストールの長さを最大化します(Schmutz 1993)。超楕円リーマン面として、それはリーマン球面の分岐二重被覆として現れ、上記の式から容易にわかるように、球面に内接する 正八面体の 6 つの頂点に分岐軌跡があります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 2}$

ボルツァ面は量子カオスの比較的単純なモデルを提供するため、物理学者の注目を集めています。この文脈では、通常、アダマール・グッツヴィラーモデルと呼ばれます。^{[1]ボルツァ面上の関数に作用する}ラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトル理論は、数学者と物理学者の両方の関心を集めています。なぜなら、この面は、一定の負の曲率を持つ種数のコンパクトな閉じたリーマン面すべての中で、ラプラシアンの最初の正の固有値を最大化すると推測されるからです。 ${\displaystyle 2}$

ボルツァ面は三角形の曲面と等角同値です。シュワルツの三角形を参照してください。より具体的には、ボルツァ面を定義するフックス群は、角度 の双曲三角形の辺での反射によって生成される群のサブグループです。方向保存等長変換群は、偶数回の反射の積からなる反射群の指数-2 の部分群のサブグループであり、生成元と関係、および によって抽象的に表現されます。ボルツァ面を定義するフックス群は、三角形群の指数 2 の部分群である(3,3,4) 三角形群 のサブグループでもあります。群は四元数代数で実現されませんが、群は実現されます。 ${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}、{\tfrac {\pi }{3}}、{\tfrac {\pi }{8}}}$${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle (3,3,4)}$

ポアンカレ円板上のの作用の下で、ボルツァ面の基本領域は、角と頂点が ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

ここで、八角形の反対側の辺はフックス群の作用によって同一視される。その生成元は行列である。 ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4} }\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

ここで、および、それらの逆元である。生成元は、次の関係を満たす。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

これらの生成器は長さスペクトルに接続されており、測地線ループの可能な長さをすべて与えます。そのような最短の長さは表面の 収縮長と呼ばれます。ボルツァ面の収縮長は

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

ボルツァ面の長さスペクトルの要素は次のように与え られる。${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle \ell_{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

ここで、は正の整数（ただし、4、24、48、72、140、およびそれ以上の値は除く）を通る（Aurich、Bogomolny、Steiner 1991）。そして、は、を最小化する唯一の奇数である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert mn{\sqrt {2}}\vert .}$

三角形群から直接、収縮曲線の同等の閉じた形を得ることができます。 (2,3,8)三角形の辺の長さを明示的に計算する公式があります。収縮曲線は、(2,3,8)三角形の中心長の辺の長さの4倍に等しく、つまり、

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

測地線の長さは、表面のフェンチェル・ニールセン座標にも現れます。種数 2 の表面のフェンチェル・ニールセン座標のセットは、長さとねじれの 3 つのペアで構成されます。おそらく、ボルツァ面の最も単純な座標セットは で、ここで です。 ${\displaystyle \ell_{n}}$${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

また、「対称的な」座標系もあり、3つの長さはすべて収縮期であり、3つのねじれはすべて^{[2]で与えられる。}${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$${\displaystyle \ell_{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

ボルザ面の基本領域はポアンカレ円板の正八角形です。(完全な)対称群を生成する 4 つの対称作用は次のとおりです。

• R – 八角形の中心の周りの 8 次回転。
• S – 実数直線上の反射。
• T – 八角形をモザイク状に分割する 16 個の (4,4,4) 三角形のうちの 1 つの側面の反射。
• U – (4,4,4)三角形の中心の周りの3次の回転。

これらは隣の図の太線で示されています。これらは次の関係を満たしています。

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=STU,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\rangle ,}$

ここで、は自明な（恒等）作用である。GAPにおけるこの関係セットを使用して、群の表現論に関する情報を取得できる。特に、1次元の既約表現が4つ、2次元の既約表現が2つ、3次元の既約表現が4つ、4次元の既約表現が3つあり、 ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

予想通り。

ここで、スペクトル理論はラプラシアンのスペクトルを指します。ボルツァ面の最初の固有空間（つまり、最初の正の固有値に対応する固有空間）は3次元で、2番目は4次元です（Cook 2018）、（Jenni 1981）。タイヒミュラー空間の最初の固有空間にある関数の節線の摂動を調べると、序論で推測された結果が得られると考えられています。この推測は、表面と種数2の他の表面の固有値の広範な数値計算に基づいています。特に、ボルツァ面のスペクトルは非常に高い精度で知られています（Strohmaier & Uski 2013）。次の表は、ボルツァ面の最初の10個の正の固有値を示しています。 ${\displaystyle \Delta }$

ボルツァ面の スペクトル行列式とカシミールエネルギーは ${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

そして

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

それぞれ、すべての小数点が正しいと考えられます。ボルツァ面のスペクトル行列式は種数 2 で最大化されると推測されます。

マクラクランとリードに従えば、四元数代数は、生成元i,jと関係 によって結合代数として生成される代数としてとらえることができる。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

適切な順序を選択して。

• 超楕円曲線
• クライン四次方程式
• ブリングの曲線
• マクビース表面
• 最初のハーウィッツ三重奏

• ボルツァ、オスカー (1887)、「線形変換によるバイナリ六次数について」、アメリカ数学誌、10 (1): 47– 70、doi :10.2307/2369402、JSTOR  2369402
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). 「種数 2 の CAT(0) メトリックの最適なシストリック不等式」. Pacific J. Math. 227 (1): 95– 107. arXiv : math.DG/0501017 . doi :10.2140/pjm.2006.227.95. S2CID  16510851.
• Schmutz, P. (1993). 「最大長の最短測地線を持つリーマン面」. GAFA . 3 (6): 564– 631. doi :10.1007/BF01896258. S2CID  120508826.
• Aurich, R.; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). 「正双曲八角形上の周期軌道」. Physica D: 非線形現象. 48 (1): 91– 101. Bibcode :1991PhyD...48...91A. doi :10.1016/0167-2789(91)90053-C.
• Cook, J. (2018). 大きな対称群を持つリーマン面上の固有値の特性 (博士論文、未発表). ラフバラー大学.
• ジェニ、F. (1981)。ラプラスのスペクトル - シャー・コンパクター・リーマンシャー・フレーヒェンの演算子(博士論文)。バーゼル大学。OCLC  45934169。
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). 「双曲面上の固有値、スペクトルゼータ関数、ゼータ行列式の計算アルゴリズム」. Communications in Mathematical Physics . 317 (3): 827– 869. arXiv : 1110.2150 . Bibcode :2013CMaPh.317..827S. doi :10.1007/s00220-012-1557-1. S2CID  14305255.
• Maclachlan, C.; Reid, A. (2003).双曲型 3 次元多様体の算術. 大学院数学テキスト. 第 219 巻. ニューヨーク: Springer. ISBN 0-387-98386-4。

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