特性クラス

数学において、特性類は、Xの各主バンドルにXのコホモロジー類を関連付ける方法です。コホモロジー類は、バンドルが「ねじれている」程度と、バンドルがセクションを持っているかどうかを測定します。特性類は、局所積構造と全体積構造の偏差を測定するグローバル不変量です。特性類は、代数位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学における統一的な幾何学概念の ​​1 つです。

特性類の概念は、1935 年にエドゥアルト・シュティーフェルとハスラー・ホイットニーによる多様体上のベクトル場に関する 研究で生まれました。

G を位相群とし、位相空間 に対して、上の主Gバンドルの同型類の集合 を と書きます。これは、 Top (位相空間と連続関数のカテゴリ)からSet (集合と関数のカテゴリ) への反変関手で、引き戻し操作に写像を送ります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{G}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{G}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$

主Gバンドルの特性クラス cは、コホモロジー関手 への自然変換であり、 Setへの関手としても見なされます。 ${\displaystyle b_{G}}$${\displaystyle H^{*}}$

言い換えれば、特性類はH *( X )の元c ( P )の各主Gバンドルに関連付けられ、 f  : Y → Xが連続写像である場合、c ( f * P ) = f * c ( P ) となります。左側はPからYへの引き戻しの類であり、右側はコホモロジーにおける誘導写像の下で のPの類のイメージです。${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle b_{G}(X)}$

特性類はコホモロジー群の元である。^{[1]特性類からは}特性数と呼ばれる整数が得られる。特性数の重要な例としては、シュティーフェル・ホイットニー数、チャーン数、ポンチャギン数、オイラー特性などがある。

基本クラスを持つn次元の有向多様体Mと、特性クラス を持つGバンドルが与えられた場合、全次数nの特性クラスの積を基本クラスと組み合わせることができます。異なる特性数の数は、特性クラス内の次数nの単項式の数、またはnを に分割することと同等です。 ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$

正式には、となるように与えられた場合、対応する特性数は次のようになります。 ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

ここで、 はコホモロジー類のカップ積を表します。これらは、 などの特性類の積として表記されるか、に対応するポンチャギン数、またはオイラー特性などの 代替表記法によって表記されます。${\displaystyle \smile}$${\displaystyle c_{1}^{2}}$${\displaystyle P_{1,1}}$${\displaystyle p_{1}^{2}}$${\displaystyle \chi}$

ド・ラーム・コホモロジーの観点からは、特性類を表す微分形式を取り、 ^[2]くさび積をとってトップ次元形式を得てから多様体上で積分することができます。これは、コホモロジーの積を取って基本類と対比することに類似しています。

これは、- 方向を持つ非有向多様体にも適用され、その場合には、スティフェル・ホイットニー数などの - 値の特性数が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

特性数は、有向ボルディズム問題と無向ボルディズム問題を解決します。つまり、2 つの多様体は、特性数が等しい場合にのみ (それぞれ有向または無向) 共形になります。

特性類は本質的にコホモロジー理論の現象である。つまり、特性類は反変構成であり、切断は空間上の一種の関数であり、切断の存在から矛盾を導くにはその変化が必要である。実際、コホモロジー理論は、空間への写像に基づく共変理論であるホモロジー理論とホモトピー理論の後に発展した。そして、1930年代の初期の（障害理論の一部としての）特性類理論は、ホモロジーに対する「双対」理論が求められた主な理由の1つであった。曲率不変量への特性類アプローチは、一般のガウス・ボネ定理を証明するために理論を作成する特別な理由であった。

1950年頃に理論が体系化されたとき（定義はホモトピー理論にまで簡約された）、当時知られていた最も基本的な特性類（シュティーフェル・ホイットニー類、チャーン類、ポンチャギン類）は古典的な線型群とその最大トーラス構造を反映したものだということが明らかになった。さらに、チャーン類自体はそれほど新しいものではなく、グラスマン多様体上のシューベルト計算やイタリア代数幾何学の研究に反映されていた。一方、ベクトル束が関係する場合はいつでも類の族を生成する枠組みが存在した。

そのときの主要なメカニズムは、次のようになると思われます。ベクトル束を持つ空間Xが与えられ、ホモトピー圏では、関連する線型群Gについて、 Xから分類空間 BGへの写像が暗示されます。ホモトピー理論では、関連する情報は、 Gの直交群やユニタリ群などのコンパクト部分群によって運ばれます。コホモロジーが一度計算されると、コホモロジーの反変性特性により、束の特性類が同じ次元で定義されることになります。たとえば、チャーン類は実際には各偶数次元に段階的成分を持つ 1 つの類です。 ${\displaystyle H^{*}(BG)}$${\displaystyle H^{*}(X)}$

これは今でも古典的な説明ですが、特定の幾何学理論では追加の構造を考慮することが有益です。1955年以降、 K 理論とコボルディズム理論の登場によりコホモロジーが「異常」になったとき、特性類が何であるかを示すために、どこでも 文字H を変更するだけで十分でした。

特性類は後に多様体の葉理構造に対して発見され、それらは（修正された意味で、いくつかの特異点が許される葉理構造に対して）ホモトピー理論における分類空間理論を持つ。

数学と物理学の接近後の後の研究で、サイモン・ドナルドソンとディーター・コツチックがインスタントン理論で新しい特性類を発見した。チャーンの研究と視点も重要であることが証明された。チャーン・サイモンズ理論を参照。

安定ホモトピー理論の言語では、チャーン類、シュティーフェル・ホイットニー類、ポントリャーギン類は安定ですが、オイラー類は不安定です。

具体的には、安定クラスとは、自明なバンドル を追加しても変化しないクラスです。より抽象的に言うと、 の分類空間のコホモロジークラスが、のコホモロジークラスから包含(包含や類似の に対応) の下で引き戻されることを意味します。同様に、すべての有限特性クラスは の安定クラスから引き戻されます。 ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$${\displaystyle BG(n)}$${\displaystyle BG(n+1)}$${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$${\displaystyle BG}$

そこで詳述されているように、これはオイラー類には当てはまりません。特に、k次元バンドルのオイラー類は に存在する(したがって から引き戻される) ため、次元が異なるため 内の類から引き戻すことはできないからです。${\displaystyle H^{k}(X)}$${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$${\displaystyle H^{k+1}}$

• セグレクラス
• オイラー特性
• チャーンクラス

• Chern, Shiing-Shen (1995)。ポテンシャル理論のない複素多様体。Springer -Verlag Press。ISBN 0-387-90422-0。 3-540-90422-0  . ​

  この本の付録「特性クラスの幾何学」は、特性クラスの概念の発展についての非常に簡潔で奥深い入門書です。

• ハッチャー、アレン、ベクトル束と K 理論
• ヒュースモラー、デール(1966)。ファイバーバンドル(第 3 版、Springer 1993 版)。マグロウヒル。ISBN 0387940871。
• ミルナー、ジョン W. ;スタシェフ、ジム(1974)。特性クラス。数学研究年報。第 76 巻。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州。東京大学出版局、東京。ISBN 0-691-08122-0。