平行輸送

微分幾何学において、平行移動（または平行移動^{[a] ）は、}多様体内の滑らかな曲線に沿って幾何学的データを転送する方法です。多様体にアフィン接続（接束上の共変微分または接続）が備わっている場合、この接続により、多様体のベクトルを曲線に沿って転送することができ、接続に関して ベクトルが平行のままになります。

したがって、接続の平行移動は、ある意味では、多様体の局所的な形状を曲線に沿って移動する方法、つまり、近くの点の形状を接続する方法を提供します。平行移動の概念は多数ありますが、曲線上の点の形状を接続する 1 つの方法を指定することは、接続を提供することに相当します。実際、接続の通常の概念は、平行移動の無限小類似物です。またはその逆で、平行移動は接続の局所的な実現です。

平行移動は接続の局所的実現を提供するため、ホロノミーとして知られる曲率の局所的実現も提供します。アンブローズ-シンガーの定理は、曲率とホロノミーの関係を明確に示しています。

他の接続の概念にも、独自の平行移動システムが備わっています。たとえば、ベクトル束のKoszul 接続では、共変微分の場合とほぼ同じ方法でベクトルの平行移動が可能です。Ehresmann 接続またはCartan接続では、曲線を多様体から主バンドルの全体空間に持ち上げます。このような曲線の持ち上げは、参照フレームの平行移動と考えられる場合もあります。

を滑らかな多様体とします。各点 に対して、におけるの接空間と呼ばれるベクトル空間が関連付けられます。 のベクトルは、におけるに接するベクトルと考えられます。上のリーマン計量は、各 に滑らかな方法で正定値内積を割り当てます。リーマン計量を備えた滑らかな多様体は、 と表記されるリーマン多様体です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (M,g)}$

上の標準座標を とすると、ユークリッド計量は次のように与えられる。 ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$${\displaystyle g^{\text{euc}}}$

${\displaystyle g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$^[2 ]

ユークリッド空間はリーマン多様体です。 ${\displaystyle (\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})}$

ユークリッド空間では、すべての接空間は平行移動によって互いに正準的に同一視されるため、ある接空間から別の接空間にベクトルを移動するのは簡単です。接ベクトルの平行移動は、一般的なリーマン多様体の設定で、曲線に沿ってある接空間から別の接空間にベクトルを移動する方法の 1 つです。ベクトルは多様体の接空間にありますが、移動先の曲線の接空間にはない可能性があることに注意してください。

リーマン多様体上のアフィン接続は、ベクトル場を他のベクトル場に関して微分する方法です。リーマン多様体には、レヴィ-チヴィタ接続と呼ばれるアフィン接続の自然な選択があります。リーマン多様体上の固定されたアフィン接続が与えられれば、接ベクトルの平行移動を行うための唯一の方法があります。^[3]アフィン接続の異なる選択は、異なる平行移動システムにつながります。

M をアフィン接続∇ を持つ多様体とします。任意のベクトル場Yに対して∇ _Y X = 0が成り立つとき、ベクトル場X は平行であるといいます。直感的に言えば、平行ベクトル場はすべての導関数がゼロに等しく、したがってある意味では定数です。2 つの点xとyで平行ベクトル場を評価すると、 xにおける接ベクトルとyにおける接ベクトルの同一性がわかります。このような接ベクトルは、互いに 平行移動しているといいます。

より正確には、γ  : I → Mが区間[ a , b ]でパラメータ化された滑らかな曲線であり、ξ ∈ T _x M （ x = γ ( a ) ）である場合、γに沿ったベクトル場X（特に、このベクトル場のy = γ ( b )における値）は、 γに沿ったξの平行移動と呼ばれる。

1. ∇ _{γ′ ( t )} X = 0、すべてのt ∈ [ a , b ]に対して
2. _ξ = _γです。_​​​

正式には、最初の条件は、Xがプルバックバンドルγ ^∗ T M上のプルバック接続に対して平行であることを意味します。しかし、局所的な単純化では、これは線形常微分方程式の1次系であり、2番目の条件によって与えられた任意の初期条件に対して一意の解を持ちます（たとえば、ピカール-リンデレーフの定理によって）。

曲線に沿った接空間へのの平行移動は で表されます。写像 ${\displaystyle X\in T_{\gamma (s)}M}$${\displaystyle T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M}$

は線形です。実際、これは同型です。 を逆曲線 とします。すると はの逆になります。 ${\displaystyle {\overline {\gamma }}:[0,1]\to M}$${\displaystyle {\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t)}$${\displaystyle \Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}}$${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}}$

要約すると、平行移動は、アフィン接続を使用して曲線に沿って接ベクトルを移動し、直感的に「同じ方向を向いている」状態を維持する方法を提供し、これにより、曲線の両端の接空間間の線形同型性が実現されます。この方法で得られる同型性は、一般に曲線の選択に依存します。そうでない場合は、すべての曲線に沿った平行移動を使用して、M上の平行ベクトル場を定義できます。これは、 ∇の曲率がゼロの場合にのみ発生します。

線型同型は、順序付けられた基底またはフレームに対するその作用によって決定される。したがって、平行移動は、（接）フレームバンドル GL( M )の要素を曲線に沿って移動する方法としても特徴付けられる。言い換えれば、アフィン接続は、Mの任意の曲線γをGL( M )の曲線γ̃に持ち上げる。

以下の画像は、穴が開いた平面 上の 2 つの異なるリーマン計量に関連付けられたレヴィ-チヴィタ接続によって誘発される平行移動を示しています。平行移動が行われる曲線は単位円です。極座標では、左側の計量は標準ユークリッド計量 で、右側の計量は です。この 2 番目の計量は原点に特異点があるため、穴を越えて拡張されませんが、最初の計量は平面全体に拡張されます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$

警告: これは単位円上の平行移動ではなく、単位円に沿った穴の開いた平面上の平行移動です。実際、最初の画像では、ベクトルは単位円の接線空間の外側にあります。

計量接続とは、平行移動写像がリーマン計量を保存する接続であり、任意の曲線と任意の2つのベクトルに対して、 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle X,Y\in T_{\gamma (s)}M}$

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

t = 0で微分すると、演算子∇は計量に関して積の規則を満たす。つまり、

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

アフィン接続は、（アフィン）測地線と呼ばれる曲線のクラスを区別します。^[4]滑らかな曲線γ : I → Mは、に沿って平行移動する場合、アフィン測地線です。つまり、 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

これを時間に関して微分すると、より馴染みのある形になる。

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

∇ が計量接続である場合、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を最小化する曲線です。より正確には、まずγ : I → M（ここでIは開区間）が測地線である場合、 のノルムはI上で定数であることに注目してください。実際、 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

ガウスの補題を適用すると、 Aがのノルムである場合、計量によって誘導される、曲線γ上の十分に近い2つの点、例えばγ ( t ₁ )とγ ( t ₂ )の間の距離は、次のように与えられる。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

上記の式は、たとえば測地線が多様体の周囲を囲む場合（たとえば球面上）など、十分に近くない点には当てはまらない可能性があります。

接ベクトルの平行移動は、任意のベクトル束 を含むより一般的な構成の特殊なケースです。具体的には、接ベクトルの平行移動は、が接束である場合です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM}$

M を滑らかな多様体とする。E  →  M を接続∇ を持つベクトル束とし、γ : I → M を 開区間Iでパラメータ化された滑らかな曲線とする。γに沿ったの切断が平行であるとは、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}$

が接線束で、が接線ベクトル場である場合、この式は、区間内のすべての に対して、から接線ベクトルの方向に微小変位が行われると、 内の接線ベクトルが「一定」になる (導関数がゼロになる) ことを意味します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

断面ではなく、P = γ (0) ∈ Mにおける元e ₀ ∈ E _Pが与えられているとします。 e ₀のγに沿った平行移動は、 e _0をγ上の平行断面Xに拡張することです。より正確には、X はEのγに沿った唯一の部分であり、

1. ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}$
2. ${\displaystyle X_{\gamma (0)}=e_{0}.}$

任意の座標パッチにおいて、(1)は常微分方程式を定義し、初期条件は(2)で与えられることに注意する。したがって、ピカール・リンデレーフの定理は解の存在と一意性を保証する。

したがって、接続∇は曲線に沿ってファイバーの要素を移動する方法を定義し、これにより曲線に沿った点におけるファイバー間の 線形同型性が提供されます。

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

γ( s )上のベクトル空間からγ( t ) 上のベクトル空間へ。この同型性は、曲線に関連付けられた平行移動マップとして知られています。このようにして得られたファイバー間の同型性は、一般に、曲線の選択に依存します。そうでない場合は、すべての曲線に沿った平行移動を使用して、M全体にわたるEの平行セクションを定義できます。これは、 ∇ の曲率がゼロ の場合にのみ可能です。

特に、点xを始点とする閉曲線の周りの平行移動は、xにおける接空間の自己同型を定義しますが、これは必ずしも自明ではありません。 xを基準とするすべての閉曲線によって定義される平行移動自己同型は、xにおける ∇ のホロノミー群と呼ばれる変換群を形成します。この群とxにおける ∇ の曲率の値の間には密接な関係があり、これがアンブローズ・シンガーのホロノミー定理の内容です。

共変微分 ∇ が与えられた場合、曲線 γ に沿った平行移動は条件 を積分することによって得られます。逆に、平行移動の適切な概念が利用できる場合は、対応する接続​​を微分によって得ることができます。このアプローチは、本質的に Knebelman (1951) によるものです。Guggenheimer (1977) を参照してください。Lumiste (2001) もこのアプローチを採用しています。 ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$

多様体の各曲線γに写像の集合を割り当てることを考える。

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

そのような

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$、 E _γ(s)の恒等変換。
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. Γ の γ、 s、およびtへの依存性は「滑らか」です。

条件 3 の滑らかさの概念は、明確に定義するのがやや困難です (ファイバー束の平行移動に関する以下の説明を参照)。特に、小林や野水などの現代の著者は、接続の平行移動は、滑らかさがより簡単に表現される別の意味での接続から来ると一般的に考えています。

それでも、平行移動のこのような規則が与えられれば、Eにおける関連する無限小接続を次のように復元することができます。γ をM内の微分可能曲線とし、初期点を γ(0)、初期接線ベクトルをX = γ′(0) とします。VがEの γ 上の切断である場合、

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

これは、 E上の関連する無限小接続 ∇ を定義します。この無限小接続から同じ平行輸送 Γ を回復します。

平行移動は、ベクトル束で定義される接続だけでなく、他の種類の接続に対してもより一般的に定義できます。1つの一般化は主接続に対するものです(Kobayashi & Nomizu 1996、第1巻、第2章)。P → M を、リー群Gの構造と主接続 ω を持つ多様体M上の主バンドルとします。ベクトル束の場合と同様に、P上の主接続 ω は、 M内の各曲線 γ に対して、写像を 定義します。

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

γ( s )上のファイバーからγ( t )上のファイバーへ、つまり等質空間の同型、すなわち各g∈Gに対して。 ${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

平行移動のさらなる一般化も可能です。接続が接空間の「水平持ち上げ」という特別な概念に依存するエーレスマン接続のコンテキストでは、水平持ち上げを介して平行移動を定義できます。カルタン接続は、平行移動を多様体内の曲線に沿って特定のモデル空間を「転がす」マップとして考えることができる追加構造を持つエーレスマン接続です。この転がりは展開と呼ばれます。

平行移動は、曲線に沿って有限ステップをとる シルトのはしごによって離散的に近似することができ、近似平行四辺形によってレヴィ・チヴィタ平行四辺形を近似します。

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