オイラー・ラグランジュ方程式

変分法と古典力学において、オイラー・ラグランジュ方程式^{[ 1 ]}は、与えられた作用汎関数の停留点を解とする2階常微分方程式の系である。この方程式は、1750年代にスイスの数学者レオンハルト・オイラーとイタリアの数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見された。

微分可能な関数は局所極値で定常となるため、オイラー・ラグランジュ方程式は、与えられた関数を最小化または最大化する関数を求める最適化問題を解くのに役立ちます。これは、微積分におけるフェルマーの定理に類似しており、微分可能な関数が局所極値に達する任意の点において、その導関数はゼロになることを示しています。ラグランジュ力学では、ハミルトンの定常作用の原理に従って、物理システムの進化は、システムの作用に関するオイラー方程式の解によって記述されます。この文脈では、オイラー方程式は通常ラグランジュ方程式と呼ばれます。古典力学では、^{[ 2 ]}これはニュートンの運動法則に相当します。実際、オイラー・ラグランジュ方程式はニュートンの法則と同じ方程式を生成します。これは、力ベクトルが特に複雑なシステムを分析する場合に特に役立ちます。この式の利点は、一般化座標系のどのシステムでも同じ形式をとることであり、一般化に適している点である。古典的な場の理論には、場のダイナミクスを計算するための類似の式が存在する。

歴史

オイラー・ラグランジュ方程式は、1750年代にオイラーとラグランジュが等時曲線問題の研究に関連して開発した。等時曲線問題とは、重みのついた粒子が、出発点に関係なく、一定時間内に一定の点に到達する曲線を求める問題である。

ラグランジュは1755年にこの問題を解決し、その解をオイラーに送った。両者はラグランジュの方法をさらに発展させ、力学に応用し、ラグランジュ力学の定式化につながった。彼らの往復書簡は最終的に変分法につながり、この用語は1766年にオイラー自身によって造語された。^{[ 3 ]}

声明

させて $(X,L)$ 実際の動的システムである $n$ 自由度。 $X$ は構成空間であり、 $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ ラグランジアン、すなわち滑らかな実数値関数で、 ${\boldsymbol {q}}(t)\in X,$ そして ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ は $n$ 次元の「速度ベクトル」、ここで ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ は、 ${\boldsymbol {q}}(t)$ （微分幾何学に精通している方なら、 $X$ は滑らかな多様体であり、 $L\colon {\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ どこ $TX$ は接束である $X$ ) ^{[ 4 ]}

させて ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ 滑らかな経路の集合とする ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ そのために ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ そして ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$ 。

動作機能 $S\colon {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ は、 $S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.$

道 ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ は停留点である $S$ かつその場合に限り

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

停留点とは、 $S$ 小さな摂動に関して ${\boldsymbol {q}}$ より厳密な詳細については、以下の証明を参照してください。

一次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出

1次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出は、数学における古典的な証明の一つである。これは変分法の基本補題に基づいている。

関数を見つけたい $f$ 境界条件を満たす $f(a)=A$ 、 $f(b)=B$ 、そして関数を極値化する $J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$

私たちは次のように仮定します $L$ は2回連続微分可能である。^{[ 5 ]}より弱い仮定を使用することもできるが、証明はより難しくなる。

もし $f$ 境界条件に従う関数を極値化すると、 $f$ 境界値を維持するには、増加させる必要がある $J$ （もし $f$ （最小化）または減少 $J$ （もし $f$ （最大化者）

させて $f+\varepsilon \eta$ そのような摂動の結果である $\varepsilon \eta$ の $f$ 、どこ $\varepsilon$ 小さくて $\eta$ は微分可能な関数であり、 $\eta (a)=\eta (b)=0$ .次に定義する $\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .$

次に、全微分を計算したいと思います。 $\Phi$ εに関して。 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}$

3行目は、 $x$ 依存しない $\varepsilon$ つまり ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ 。

いつ $\varepsilon =0$ 、 $\Phi$ 極値を持つので、 $\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .$

次のステップは、被積分関数の第2項に部分積分を適用することです。 $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .$

境界条件を使用する $\eta (a)=\eta (b)=0$ 、 $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$

変分法の基本補題を適用すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 ${\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.$

一次元オイラー・ラグランジュ方程式の別の導出方法

関数が与えられた場合 $J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$ の上 $C^{1}([a,b])$ 境界条件付き $y(a)=A$ そして $y(b)=B$ そこで、極値曲線を多角形線で近似して、 $n$ セグメント数を増やし、セグメント数が任意に大きくなるにつれて極限に達する。

区間を分割する $[a,b]$ の中へ $n$ 端点を持つ等しい区間 $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ そして $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$ 滑らかな関数ではなく $y(t)$ 頂点を持つ多角形線を考えます $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$ 、どこ $y_{0}=A$ そして $y_{n}=B$ したがって、我々の関数は実関数となる。 $n-1$ 変数は次のように与えられます $J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

離散点上で定義されたこの新しい汎関数の極値は $t_{0},\ldots ,t_{n}$ 対応する点 ${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

変化に注意してください $y_{m}$ これは、3番目の引数の導関数に関して、mだけでなくm-1においてもLに影響を与える。 $L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$ $L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$

偏微分を評価すると、 ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$

上記の式をで割ると $\Delta t$ 与える ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$ そして極限を取ると $\Delta t\to 0$ この式の右辺は $L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$

前の式の左辺は関数微分である $\delta J/\delta y$ 機能の $J$ 微分可能な汎関数が何らかの関数上で極値を持つための必要条件は、その関数における汎関数の導関数がゼロになることであり、これは最後の式によって保証される。

例

標準的な例としては、区間[ a , b ]上で、y ( a ) = cかつy ( b ) = dとなるような実数値関数y ( x )を見つけることが挙げられます。このとき、 yが描く曲線に沿った経路の長さが可能な限り短くなります。

{\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,

被積分関数は ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ 。

Lの偏導関数は次のとおりです。

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.

これらをオイラー・ラグランジュ方程式に代入すると、

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}

つまり、その関数は定数の一次導関数を持つ必要があり、したがってそのグラフは直線になります。

正準運動量と運動の保存量

一般化座標 $q$ $k$ に対する共役運動量 $p k$ は、次の式で定義される。 $p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$

オイラー・ラグランジュ方程式の重要な特殊ケースは、L が一般化座標 $q k を$ 明示的に含まない場合である。 ${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$ つまり、共役運動量は運動の定数である。

このような場合、座標 $q k$ は巡回座標と呼ばれます。たとえば、粒子の平面運動を記述するために極座標 $t$ 、 $r$ 、 $θを使用し、$ $L が$ $θ$ に依存しない場合、共役運動量は保存角運動量になります。

一般化

高階微分を含む単一変数の単一関数

関数の定常値

I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}

オイラー・ラグランジュ方程式^{[ 6 ]から得られる。}

{\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0

関数自体と最初の関数の両方について、固定境界条件の下で $k-1$ 導関数（すなわちすべての導関数） $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ 最高階微分の終点値 $f^{(k)}$ 柔軟性を保つ。

単一変数の関数で、導関数が1つだけのもの

問題が複数の関数を見つけることを含む場合（ $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ ）単一の独立変数（ $x$ 関数の極値を定義するもの

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}

すると、対応するオイラー・ラグランジュ方程式は^{[ 7 ]となる。}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}

複数の変数の単一関数で、導関数は1つ

多次元への一般化は、n 個の変数に関する関数を考えることから生じる。 $\Omega$ 何らかの表面である場合、

I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}

f が偏微分方程式を満たす場合にのみ極値化される

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.

n = 2 で機能的な場合 ${\mathcal {I}}$ はエネルギー汎関数であり、これは石鹸膜の最小表面問題につながる。

複数の変数の関数で、導関数が1つだけのもの

決定すべき未知の関数が複数あり、変数が複数ある場合、

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}

オイラー・ラグランジュ方程式の系は^{[ 6 ]である。}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}

高階微分を含む2変数の単一関数

2 つの変数x ₁とx ₂に依存する、決定すべき単一の未知関数fがあり、関数がfのn次までの高階導関数に依存する場合、

{\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

するとオイラー・ラグランジュ方程式は^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}

これは簡単に次のように表すことができます。

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

その中に $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ は変数の数にまたがるインデックスであり、ここでは 1 から 2 までです。ここで、 $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ 指数は $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ 同じ偏微分を複数回カウントすることを避けるため、例えば $f_{12}=f_{21}$ 前の式には一度だけ出現します。

複数の変数の高階導関数を含む複数の関数

決定すべきp 個の未知関数f _iがあり、それらがm 個の変数x ₁ ... x _mに依存し、かつ、関数がf _iのn次までの高階導関数に依存する場合、

{\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

どこ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ は変数の数にまたがる添え字であり、1からmまで変化する。するとオイラー・ラグランジュ方程式は次のようになる。

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

ここで、 $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ 同じ導関数を数えることを避けている $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ 前の小節と同様に、数回繰り返されます。これはより簡潔に次のように表現できます。

\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

場の理論

多様体への一般化

させて $M$ を滑らかな多様体とし、 $C^{\infty }([a,b])$ 滑らかな関数の空間を表す $f\colon [a,b]\to M$ すると、関数については $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ 形式

S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t

どこ $L\colon TM\to \mathbb {R}$ ラグランジアンは、 $\mathrm {d} S_{f}=0$ これは、すべての $t\in [a,b]$ 各座標フレームの自明化 $(x^{i},X^{i})$ 近隣の ${\dot {f}}(t)$ 結果は以下の通り $\dim M$ 方程式:

\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.

オイラー・ラグランジュ方程式は、座標に依存しない形式で次のように記述することもできます^{[ 8 ]}

{\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL

どこ $\theta _{L}$ ラグランジアンに対応する正準運動量1形式は $L$ 時間並進を生成するベクトル場は、次のように表される。 $\Delta$ リー微分は次のように表される。 ${\mathcal {L}}$ ローカルチャートを利用できます $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ その中で $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ そして ${\displaystyle \Delta$ 、リー微分の座標表現を用いて、オイラー・ラグランジュ方程式の座標表現との等価性を確認します。座標のない形式は、オイラー・ラグランジュ方程式の幾何学的解釈に特に適しています。

注記

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参考文献

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[ 6 ]から得られる。

[ 7 ]となる。

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