軌跡（数学）

幾何学において、軌跡（複数形：loci）（ラテン語で「場所」、「位置」を意味する）は、その位置が1つ以上の指定された条件を満たすか、その条件によって決定されるすべての点（一般的には線、線分、曲線、または面）の集合である。^{[1] [2]}

ある性質を満たす点の集合は、しばしばその性質を満たす点の軌跡と呼ばれます。この定式化で特異点が使用されていることは、19 世紀末まで数学者が無限集合を考慮していなかったことを示しています。直線や曲線を点の集合として見るのではなく、点が位置したり移動したりする場所として見ていました。

20 世紀初頭まで、幾何学的形状 (たとえば曲線) は点の無限集合とはみなされておらず、むしろ点が位置したり移動したりする実体として考えられていました。したがって、ユークリッド平面上の円は、固定された点 (円の中心) から一定の距離にある点の軌跡として定義されました。現代数学では、同様の概念が、形状を集合として記述することによってより頻繁に再定式化されています。たとえば、円は中心から一定の距離にある点の集合であると言われています。^[3]

集合論的な見方とは対照的に、古い定式化では無限の集合を考慮することを避けている。これは、実際の無限を避けることが初期の数学者の重要な哲学的立場であったためである。^{[4] [5]}

集合論が数学全体の普遍的な基礎となった後、 ^[6]軌跡という用語はかなり時代遅れになりました。^[7]しかし、この言葉は今でも主に簡潔な表現として広く使われています。例えば、

• 臨界軌跡、微分可能関数の臨界点の集合。
• ゼロ軌跡または消失軌跡、関数が消失し、値がゼロになる点の集合。
• 特異軌跡、代数多様体の特異点の集合。
• 連結性軌跡、関数のジュリア集合が連結されている有理関数族のパラメータ集合のサブセット。

最近では、スキーム理論などの技術や、数学の基礎を築くために集合論の代わりにカテゴリー理論を使用するなど、点の集合ではなくそれ自体がオブジェクトであるという本来の定義に近い概念に戻ってきています。^[5]

平面幾何学の例には次のものがあります。

• 2点から等距離にある点の集合は、2点を結ぶ線分の垂直二等分線となる。 ^[8]
• 交差する 2 本の直線から等距離にある点の集合は、それらの 2 つの角度の二等分線の和集合です。
• すべての円錐曲線は軌跡である: ^[9]
  • 円:固定点 (中心) から一定の距離 (半径)にある点の集合。
  • 放物線: 固定点 (焦点) と直線 (準線)から等距離にある点の集合。
  • 双曲線: 与えられた 2 つの焦点までの距離の差の絶対値が一定である点の集合。
  • 楕円: 与えられた2つの焦点までの距離の合計が一定である点の集合

軌跡の他の例は、数学のさまざまな分野に現れます。たとえば、複素力学では、マンデルブロ集合は複素平面のサブセットであり、多項式マップの族の 連結軌跡として特徴付けられます。

与えられた条件セットに対して幾何学的形状が正しい軌跡であることを証明するためには、通常、証明を2つの段階に分けます。条件を満たすすべての点が与えられた形状上にあることの証明と、与えられた形状上のすべての点が条件を満たすことの証明です。^[10]

指定された 2 つの点までの距離の比k = d ₁ / d _{2を持つ点}Pの軌跡を求めます。

この例では、k = 3、A (-1, 0) およびB (0, 2) が固定点として選択されます。

P ( x ,  y ) は軌跡上の点である。

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

この式は、中心が (1/8, 9/4)、半径が の円を表します。これは、 k、A、Bの値によって定義されるアポロニウスの円です。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

三角形ABC には長さcの固定辺 [ AB ]があります。AとCの中線が直交するように、 3 番目の頂点Cの軌跡を決定します。

A (− c /2, 0), B ( c /2, 0) となるような正規 直交座標系を選択する。C ( x ,  y )は変数の3番目の頂点である。[ BC ]の中心はM ((2 x  +  c )/4,  y /2)である。Cからの中央値の傾きは y / xである。中央値AMの傾きは 2 y /(2 x  + 3 c )である。

C ( x ,  y ) は軌跡上の点である

${\displaystyle \Leftrightarrow}$AとCの中央値は直交している

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

頂点Cの軌跡は中心が(−3 c /4, 0)で半径が3 c /4の円です。

軌跡は、1 つの共通パラメータに依存する 2 つの関連曲線によって定義されることもあります。パラメータが変化する場合は、関連曲線の交点が軌跡を表します。

図では、点Kと点 L は、与えられた直線m上の固定点です。直線kは、 K を通る可変直線です。直線l は、 L を通るkに垂直です。 kとmの間の角度がパラメータです。 kと l は、共通のパラメータに依存する関連直線です。 kとlの可変交点S は円を描きます。この円は、2 つの関連直線の交点の軌跡です。 ${\displaystyle \alpha }$

点の軌跡は1次元（円、線など）である必要はありません。たとえば、^[1]不等式2 x + 3 y – 6 < 0の軌跡は、等式2 x + 3 y – 6 = 0の線の下にある平面の部分です。

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