ベクトル場のリー括弧

微分位相幾何学 という数学の分野において、ベクトル場のリー括弧は、ヤコビ・リー括弧あるいはベクトル場の交換子とも呼ばれ、滑らかな多様体M上の任意の 2 つのベクトル場 XとYに[ X , Y ]で示される第 3 のベクトル場を割り当てる演算子です。

概念的には、リー括弧[ X , Y ] は、 Xによって生成されるフローに沿ったYの微分であり、(「X に沿った Y のリー微分」) と表記されることもあります。これは、 Xによって生成されるフローに沿った任意のテンソル場のリー微分に一般化されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

リー括弧はR双線型演算であり、多様体M上のすべての滑らかなベクトル場の集合を(無限次元の)リー代数に変換します。

リー括弧は、例えばフロベニウスの積分可能性定理など、微分幾何学や微分位相幾何学において重要な役割を果たしており、非線形制御システムの幾何学理論においても基本的なものである。^[1]

VI アーノルドはこれを「漁師微分」と呼んでいます。これは、漁師が釣り竿を持ち、ボートに座っているところを想像できるからです。ボートと浮きは両方ともベクトル場Xに従って流れており、漁師はベクトル場Yに従って釣り竿を伸ばしたり縮めたり回転させたりします。リー括弧は、周囲の水に対する釣り浮きの抵抗量です。^[2]

リー括弧を定義するには、概念的には異なるが同等のアプローチが 3 つあります。

多様体M上の各滑らかなベクトル場は、ある点での値が p における f の方向 X ( p ) への方向微分である別の関数 を定義するときに、滑らかな関数 (クラス)に作用する微分演算子と見なすことができます。この ように、各滑らかなベクトル場X はC ^{∞ ( M ) 上の微分になります。さらに、 C ∞} ( M )上の任意^の微分は、一意の滑らかなベクトル場Xから生じます。 ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$${\displaystyle f(p)}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle p}$

一般に、任意の 2 つの微分と の交換子は 、演算子の合成を表す微分です。これを使用して、交換子微分に対応するベクトル場としてリー括弧を定義できます。 ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$${\displaystyle \delta_{1}}$${\displaystyle \delta_{2}}$${\displaystyle \circ}$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ すべての }}f\in C^{\infty }(M).}$

をベクトル場Xに関連付けられたフローとし、D を接写像の微分演算子とします。すると、点x ∈ MにおけるXとYのリー括弧は、リー微分として定義できます。 ${\displaystyle \Phi_{t}^{X}}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac { (\mathrm {D} \ファイ _{-t}^{X})Y_{\ファイ _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ = \ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_ {\ファイ _{t}^{X}(x)}。}$

これは、連続した方向の流れが点xに戻らないことの失敗も測定します。 ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^ {2}}}\right|_{t=0}(\ファイ _{-t}^{Y}\circ \ファイ _{-t}^{X}\circ \ファイ _{t}^{Y }\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\ファイ _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \ファイ _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \ファイ_{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

リー括弧の上記の定義は本質的（多様体M上の座標の選択に依存しない）ですが、実際には、特定の座標系 に関して括弧を計算したいことがよくあります。接線バンドルの関連する局所基底 について と書き、一般的なベクトル場 について と書き、滑らかな関数 について と書きます。すると、リー括弧は次のように計算できます。 ${\displaystyle \{x^{i}\}}$${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

M がR ⁿ（の開集合）である場合、ベクトル場XとY は、およびの形式の滑らかな写像として表すことができ、リー括弧は次のように表されます。 ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

ここで、およびは、n × 1列ベクトルXとYを乗算したn × nヤコビ行列（それぞれインデックス表記を使用）です。 ${\displaystyle J_{Y}}$${\displaystyle J_{X}}$ ${\displaystyle \partial_{j}Y^{i}}$${\displaystyle \partial_{j}X^{i}}$

ベクトル場のリー括弧は、上のすべてのベクトル場の実ベクトル空間（つまり、接束 の滑らかなセクション）にリー代数の構造を備えさせます。つまり、[ • , • ] は次の条件を満たす写像になります。 ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle TM\to M}$${\displaystyle V\times V\to V}$

• R -双線性
• 反対称性、${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ヤコビ恒等式、${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

2 番目の特性から直接得られる結果は、任意の に対して となるということです。 ${\displaystyle [X,X]=0}$${\displaystyle X}$

さらに、リー括弧には「積の法則」があります。上の滑らかな（スカラー値の）関数と上のベクトル場が与えられたとき、各点 でベクトルにスカラーを乗算することで新しいベクトル場が得られます。すると、次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle fY}$${\displaystyle Y_{x}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in M}$

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

ここで、スカラー関数とベクトル場 を乗算し、スカラー関数とベクトル場 を乗算します。これにより、リー括弧付きのベクトル場がリー代数に変換されます。 ${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [X,Y]}$

および のリー括弧が消失するということは、これらの方向の流れをたどると、 および を座標ベクトル場として持つ に埋め込まれた面が定義されることを意味します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

定理: およびのフローが局所的に可換である場合に限り、つまりすべてのおよび十分に小さいに対して、です。 ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$

これはフロベニウスの積分可能性定理の特殊なケースです。

リー群 の場合、対応するリー代数は恒等関数 における接空間であり、上の左不変ベクトル場のベクトル空間と同一視できます。2 つの左不変ベクトル場のリー括弧も左不変であり、ヤコビ–リー括弧演算 を定義します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T_{e}G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

行列リー群（その要素は行列 ）の場合、各接空間は行列 として表すことができます。ここで、 は行列の乗算、 は単位行列です。 に対応する不変ベクトル場は で与えられ、計算により、 のリー括弧が行列の 通常の交換子に対応することがわかります。${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle I}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

上で述べたように、リー微分はリー括弧の一般化とみなすことができます。リー括弧の別の一般化（ベクトル値微分形式）は、フレーリッヒャー・ナイエンフイス括弧です。

• 「リー括弧」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Isaiah, Pantelis (2009)、「制御された駐車 [専門家に聞く]」、IEEE Con​​trol Systems Magazine、29 (3): 17–21、132、doi :10.1109/MCS.2009.932394、S2CID  42908664
• カリル、HK（2002）、非線形システム（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール、ISBN 0-13-067389-7
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J. (1993)、微分幾何学における自然演算、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-56235-4{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)リー括弧とリー微分の一般理論についての詳細な議論。
• ラング、S. (1995)、微分多様体とリーマン多様体、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94338-1無限次元への一般化のため。
• ワーナー、フランク（1983）[1971]、微分可能多様体とリー群の基礎、ニューヨーク-ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90894-3