同次多項式

数学において、同次多項式（古い文献では量子多項式と呼ばれることもある）とは、非ゼロ項がすべて同じ次数を持つ多項式のことである。^{[ 1 ]}例えば、${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$は、2 つの変数に関する 5 次同次多項式です。各項の指数の合計は常に 5 です。${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$は同次ではありません。なぜなら、項ごとに指数の合計が一致しないからです。同次多項式で定義される関数は常に同次関数です。

代数形式、または単に形式とは、同次多項式によって定義される関数です。 ^{[注1 ]}二項形式とは、2つの変数を持つ形式です。形式は、任意の基底上の座標の同次関数として表現できるベクトル空間上で定義される関数でもあります。

次数 0 の多項式は常に同次です。それは単に係数の体または環の要素であり、通常は定数またはスカラーと呼ばれます。次数 1 の形式は線形形式です。^{[注 2 ]}次数 2 の形式は二次形式です。幾何学では、ユークリッド距離は二次形式の平方根です。

同次多項式は数学と物理学において遍在しています。^{[注3 ]}射影代数多様体は同次多項式の集合の共通零点の集合として定義されるため、同次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たします。

同次多項式は同次関数を定義します。これは、多変数多項式P が次数dの同次多項式である場合、

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

すべての${\displaystyle \lambda }$Pの係数を含む任意の体において。逆に、上記の関係が無限に多くのに対して真である場合 ${\displaystyle \lambda }$すると、その多項式は次数dの同次多項式となる。

特に、Pが同次である場合、

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

すべての${\displaystyle \lambda .}$この性質は射影多様体の定義において基本的なものである。

ゼロでない任意の多項式は、異なる次数を持つ同次多項式の和​​として一意的に分解することができ、これらの同次多項式は多項式の同次成分と呼ばれる。

多項式環が与えられた${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$体（またはより一般的には環）K上で、次数dの同次多項式はベクトル空間（またはモジュール）を形成し、一般に次のように表される。${\displaystyle R_{d}.}$上記の一意分解は、${\displaystyle R}$は、​${\displaystyle R_{d}}$（すべての非負整数について合計する）。

ベクトル空間の次元（または自由モジュール）${\displaystyle R_{d}}$は、 n 個の変数に関する次数dの異なる単項式の数です(つまり、 n 個の変数に関する次数dの同次多項式における非ゼロ項の最大数です)。これは二項係数に等しくなります。

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

同次多項式は 同次関数のオイラーの恒等式を満たします。つまり、P が不定元に関する次数dの同次多項式である場合、${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$係数の可換環がどれであっても、

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

どこ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$は、 Pのに関する形式的な偏微分を表す。${\displaystyle x_{i}.}$

非同次多項式P ( x ₁ ,..., x _n ) は、追加の変数x _{0を導入し、} ^h Pと表記されることもある同次多項式を定義することによって同次化できます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

ここで、dはPの次数です。たとえば、

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

それから

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

同次多項式は、追加変数x ₀ = 1 を設定することで非同次化できます。つまり、

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

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• ウィキメディア・コモンズにある同次多項式に関するメディア
• ワイススタイン、エリック W. 「同次多項式」 . MathWorld .