立体投影

単位球$\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$三次元空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$点の集合${\displaystyle (x,y,z)}$そのため${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$。 させて${\displaystyle N=(0,0,1)}$を「北極」とし、$\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 残りの球面となる。平面${\displaystyle z=0}$球の中心を通る平面。球とこの平面との交線が「赤道」である。

どの時点でも${\displaystyle P}$の上$\displaystyle {\mathcal {M}}}$独特の線が通っています${\displaystyle N}$そして${\displaystyle P}$そしてこの線は平面と交差する${\displaystyle z=0}$ちょうど一点で${\displaystyle P'}$立体投影として知られる${\displaystyle P}$飛行機に乗り込む。

デカルト座標系において${\displaystyle (x,y,z)}$球面上で${\displaystyle (X,Y)}$平面上における射影とその逆射影は、以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\(x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

球面座標系において${\displaystyle (\varphi ,\theta )}$球面上（${\displaystyle \varphi }$天頂角、${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$、 そして${\displaystyle \theta }$方位角、${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$）および極座標${\displaystyle (R,\Theta )}$平面上では、投影とその逆は

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{aligned}}}$

ここ、${\displaystyle \varphi }$価値があると理解されている${\displaystyle \pi }$いつ${\displaystyle R=0}$また、これらの式を三角関数の恒等式を使って書き換える方法はたくさんあります。円筒座標では${\displaystyle (r,\theta ,z)}$球面座標と極座標${\displaystyle (R,\Theta )}$平面上では、投影とその逆は

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{aligned}}}$

一部の著者^{[ 12 ]}は、北極(0,  0, 1)から南極(0, 0, −1)で単位球に接する 平面z = −1への立体投影を定義しています。これは、上述の赤道面への投影と、そこから極面への相似変換の合成として説明できます。相似変換は画像を2倍(球の直径と半径の比)に拡大縮小します。したがって、この投影によって生成されるXとYの値は、前のセクションで説明した赤道投影によって生成される値のちょうど2倍になります。たとえば、この投影は赤道を原点を中心とする半径2の円に送ります。赤道投影では赤道に沿って微小面積歪みは発生しませんが、この極接投影では南極で微小面積歪みは発生しません。  

他の著者ら^{[ 13 ]}は半径1/2の球と平面z = -1/2を使用している。この場合、式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

一般に、球面上の任意の点Qから任意の平面Eへの立体投影を次のように定義できる。

• EはQを通る直径に垂直であり、
• EはQを含みません。

Eがこれらの条件を満たす限り、 Q以外の任意の点Pに対して、 PとQを通る直線はEとちょうど1点P ′で交わり、P′はPのEへの立体投影として定義される。^{[ 14 ]}

より一般的には、立体射影は( n + 1 ) 次元ユークリッド空間E ^{n +1}内の単位n球面S ⁿに適用できます。QがS ⁿの点であり、E がE ^{n +1}内の超平面である場合、点P ∈ S ⁿ − { Q }の立体射影は、直線QPとEの交点P ′です。S n 上のデカルト座標 ( x i , i は 0 から n まで ) と E 上の ( X i , i は 1 から n まで ) において、 Q = ( ₁ , 0 , 0 , ... , 0 ₎ ∈ S nからの射影は次^のように与えられます ^。$${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$ 定義する $${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}},}$$ 逆は次のように与えられる。 $${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{および}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

さらに一般的に、S が射影空間P ^{n +1}内の(非特異な)二次超曲面であると仮定します。言い換えれば、Sは同次座標x _iにおける非特異な二次形式f ( x ₀ , ..., x _{n +1} )の零点の軌跡です。S上の任意の点Qと、 Qを含まないP ^{n +1}内の超平面Eを固定します。このとき、 S − { Q }内の点Pの立体投影は、 QPとEの唯一の交点です。これまでと同様に、立体投影は、空でない Zariski 開集合上で等角かつ可逆です。立体投影は、二次超曲面を有理超曲面として表現します。^{[ 15 ]}この構成は、代数幾何学と等角幾何学 で役割を果たします。

このセクションの冒頭で説明した特定の立体投影（単位球の「南極」（0, 0, −1）を（0, 0）に、赤道を単位円に投影する）に関連する計量テンソルは、次のように与えられる。

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1+\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1+\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

ここで、x _iは球が投影されるユークリッド平面のデカルト座標です。これに対し、双曲空間のポアンカレ円盤モデルの対応する計量の式は、分母の符号が異なる点を除けば、同等に見えます。

立体投影では球面上の1点（投影点）が必ず欠落するものの、異なる投影点からの2つの投影を用いることで球面全体をマッピングすることができる。言い換えれば、平面からの2つの立体投影パラメータ化（投影の逆変換）によって球面を覆うことができる。これらのパラメータ化は、球面上に同じ向きを誘導するように選択できる。これらを組み合わせることで、球面は向き付けられた曲面（または2次元多様体）として記述される。

この構成は複素解析において特別な意味を持つ。実平面上の点( X , Y )は複素数ζ = X + i Yと同一視できる。北極から赤道面への立体投影は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\ゼータ }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{aligned}}}$

同様に、ξ = X − i Yを別の複素座標とすると、関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

南極から赤道面への立体投影を定義します。ζ 座標と ξ 座標間の遷移マップは、ζ = 1 / ξ および ξ = 1 / ζ となり、 ξが無限大に近づくとζは0に近づき、その逆も同様です。これにより、複素数に対するエレガントで有用な無限の概念、そして実際にはリーマン球面への有理型関数の理論全体が実現します。単位球面上の標準計量は、リーマン球面上のFubini–Study 計量と一致します。

3次元空間において原点を通るすべての直線の集合は、実射影平面と呼ばれる空間を形成する。この平面は3次元空間に埋め込むことができないため、視覚化するのが困難である。

しかし、これを円盤として視覚化することもできます。原点を通る任意の直線は、z  ≤  0 の南半球と一点で交わり、その点は立体投影によって XY 平面上の円盤上の点に投影できます。原点を通る水平線は、南半球と赤道上の 2 つの対蹠点で交わり、これらの点は円盤の境界に投影されます。投影された 2 つの点はいずれも円盤の一部とみなすことができます。赤道上の対蹠点は 3 次元空間では 1 つの直線、投影された円盤の境界では 1 つの点を表すことが理解されています (商位相を参照)。したがって、原点を通る任意の直線の集合は、投影された円盤上の点の集合としてイメージできます。ただし、境界点は、通常の 2 次元円盤の境界点とは異なる振る舞いをします。境界点のいずれかが、円盤の反対側の内部点に同時に近くなるからです (原点を通る 2 つのほぼ水平な直線が円盤の反対側の点に投影されるのと同様です)。

また、原点を通るすべての平面は、単位球面と大円を描きます。この大円は平面の軌跡と呼ばれ、立体投影では円に写像されます。つまり、立体投影によって平面を円弧として視覚化できるのです。コンピュータが普及する以前は、大円を用いた立体投影では、ビームコンパスを使って大きな半径の円弧を描く必要がありました。しかし、コンピュータのおかげで、この作業ははるかに簡単になりました。

各平面には、原点を通り平面に垂直な、その平面の極と呼ばれる固有の線が関連付けられています。この線は、原点を通る任意の線と同様に、円盤上の点としてプロットできます。したがって、立体投影法では、平面を円盤上の点として視覚化することもできます。多数の平面を含むプロットの場合、平面の軌跡をプロットするよりも、極をプロットする方が図がすっきりします。

この構造は、以下に説明するように、結晶学や地質学における方向データの可視化に用いられる。

立体投影は多面体の可視化にも応用されます。シュレーゲル図では、R ^{n +1}のn次元多面体がn次元球面に投影され、それがさらに立体投影されてR ⁿに投影されます。R n ^+1からR ⁿへの縮小によって、^多面体の視覚化と理解が容易になります。

初等算術幾何学において、単位円からの立体投影は、すべての原始ピタゴラス数を表す手段を提供する。具体的には、北極 (0,1) からx軸への立体投影は、単位円上の有理数点( x , y ) ( y ≠ 1 ) とx軸上の有理数点との間に一対一の対応関係を与える。 ( m / n , 0)がx軸上の有理数点である場合、その逆立体投影は点となる。

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$

これは、ピタゴラス数を求めるユークリッドの公式を示している。

2つの三角関数（sin x、cos x）は、単位円をパラメータ化するものと考えることができます。立体投影法は、単位円の別のパラメータ化を提供します。

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.}$

この再パラメータ化の下では、単位円の長さ要素dxは

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

この置換によって、三角関数を含む積分を簡略化できる場合がある。

地図作成における根本的な問題は、球面から平面への地図では角度と面積の両方を正確に表現できないことである。一般的に、統計的な用途には面積保存型の地図投影法が好まれ、航海には角度保存型（正角）地図投影法が好まれる。

立体投影は2番目のカテゴリーに分類されます。投影の中心が地球の北極または南極にある場合、さらに望ましい特性があります。すなわち、経線を原点から発する光線に、緯線を原点を中心とする円に合わせるということです。

• 
  南緯30度以北の世界を立体投影した図。15度方位のグリッド線付き。
• 
  ティソの変形指示線を用いた立体投影図。

立体投影は、球面上のすべての円を平面上の円に写像する唯一の投影法です。この性質は、クレーターが典型的な地形である惑星マッピングにおいて非常に有用です。投影点を通る円の集合は半径が無限であるため、直線へと縮退します。

結晶学において、三次元空間における結晶軸と結晶面の向きは、例えばX線回折パターンや電子回折パターンの解釈において、中心的な幾何学的関心事となります。これらの向きは、上記の「線と面の可視化」の項で述べたように視覚化できます。つまり、結晶軸と結晶面の極を北半球と交差させ、立体投影を用いてプロットします。極のプロットは極図と呼ばれます。

電子回折では、キクチ線対は格子面トレースとエワルド球の交点を飾る帯として現れ、結晶の立体投影への実験的アクセスを提供します。逆空間のモデルキクチマップ^{[ 19 ]}と、実空間の曲げ輪郭で使用するための干渉縞可視マップ^{[ 20 ]}は、透過型電子顕微鏡で結晶の配向空間を探索するためのロードマップとして機能します。

構造地質学の研究者は、さまざまな理由から、面や線の向きに関心を寄せている。岩石の葉理は平面的な特徴であり、線状構造（線状構造）を含むことが多い。同様に、断層面も平面的な特徴であり、断層面のような線状構造を含むことがある。

さまざまなスケールでの線と平面の向きは、上記の「線と平面の可視化」のセクションの方法を使用してプロットできます。結晶学と同様に、平面は通常、極によってプロットされます。結晶学とは異なり、北半球の代わりに南半球が使用されます（問題となっている地質学的特徴は地球の表面の下にあるため）。この文脈では、ステレオ投影はしばしば等角下半球投影と呼ばれます。ランベルト方位等積投影によって定義される等面積下半球投影も使用され、特にプロットが密度等高線などの後続の統計分析の対象となる場合に使用されます。^{[ 21 ]}

立体投影は、岩盤斜面の安定性を評価するために最も広く使用されている方法の 1 つです。これにより、3 次元の方向データを 2 次元で表現および分析できます。立体投影内の運動学的分析は、不利な方向の不連続面の存在によって発生する、平面崩壊、くさび崩壊、転倒崩壊などのさまざまな岩盤斜面崩壊モードの可能性を評価するために使用されます。^{[ 22 ] [ 23 ]}この技術は、不連続面セットに関連する岩盤斜面の方向を視覚化するのに特に役立ち、最も可能性の高い崩壊タイプの評価を容易にします。^{[ 22 ]}例えば、不連続面セットの走向が斜面に平行で、不連続面が滑りを可能にするのに十分な急角度で斜面に向かって傾斜しているが、斜面自体よりも急ではない場合、平面崩壊の可能性が高くなります。

さらに、一部の著者は、斜面と不連続面の平行性、不連続面の傾斜、不連続面と斜面の相対角度など、斜面内の岩盤分類（斜面岩盤等級（SMR）^{[ 24} ]や岩盤等級^{[ 25 ]を含む）のための幾何学的補正パラメータを容易に計算}するための立体投影に基づく図式的手法を開発しまし^た。

魚眼レンズの中には、ステレオ投影を使用して広角ビューを撮影するものがあります。^{[ 26 ]}等面積投影を使用する従来型の魚眼レンズと比較すると、端に近い領域の形状が維持され、直線の湾曲が少なくなります。ただし、ステレオ魚眼レンズは通常、製造コストが高くなります。^{[ 27 ]} Panotools などの画像リマッピングソフトウェアを使用すると、等面積魚眼レンズからステレオ投影への写真の自動リマッピングが可能です。

立体投影は、 1779年のホレス・ベネディクト・ド・ソシュールの作品に始まり、球面パノラマの地図作成に用いられてきた。これにより、投影の中心が天底にある場合は小惑星、投影の中心が天頂にある場合はチューブと呼ばれる効果が生じる。^{[ 28 ]}

立体投影法が他の方位投影法よりもパノラマの地図作成に広く用いられているのは、投影法の正角性によって形状が保持されるためである。^{[ 28 ]}

• 球面上の円を平面上の円に変換する立体投影の証明
• Vimeoのタイムラプス立体投影

• Stereonetは、 Rick Allmendinger氏による構造地質学のためのソフトウェアツールです。
• PTCLab（相転移結晶学研究室）
• Sphaericaは、球面上での定規とコンパスを用いた作図のためのソフトウェアツールであり、立体投影表示オプションも備えています。
• Estereografica Webは、エルネスト・クリスタリーニによる、構造地質学および断層運動学における立体投影のためのウェブアプリケーションです。