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幾何学において、ベルトラミ・クラインモデル（射影モデル、クライン円盤モデル、ケイリー・クラインモデルとも呼ばれる）は、双曲幾何学のモデルであり、点は単位円盤（またはn次元単位球）の内部の点で表され、線は境界球上の理想的な端点を持つ直線セグメント である弦で表されます。
これは球面幾何学におけるグノモン投影法に類似しており、測地線（球面幾何学における大円）が直線にマッピングされる。
このモデルは等角写像ではありません。角度は忠実に表現されず、円は楕円になり、端に近づくにつれて扁平化していきます。これは等角写像であるポアンカレ円盤モデルとは対照的です。ただし、ポアンカレモデルでは、線は直線ではなく、境界に直交する弧で表されます。
ベルトラーミ・クラインモデルは、イタリアの幾何学者エウジェニオ・ベルトラーミとドイツのフェリックス・クラインにちなんで名付けられ、ケイリー・クラインモデルの「ケイリー」は、イギリスの幾何学者アーサー・ケイリーに由来する。
このモデルは、 1868年に出版されたエウジェニオ・ベルトラーミの2つの論文で双曲幾何学に初めて登場し、最初は次元n =2の場合、次に一般的なnの場合について論じられ、これらの論文は双曲幾何学と通常のユークリッド幾何学の等整合性を証明した。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
ベルトラーミの論文は最近までほとんど注目されず、そのモデルはクラインにちなんで「クライン円盤モデル」と名付けられました。1859年、アーサー・ケイリーはラゲールによる角度の交差比の定義を用いて、射影幾何学を用いてユークリッド幾何学をどのように定義できるかを示しました。[ 4 ]彼の距離の定義は後にケイリー計量として知られるようになりました。
1869年、若き（20歳）フェリックス・クラインはケイリーの研究を知った。彼は1870年にワイエルシュトラスのゼミでケイリーの研究について講演したことを思い出し、次のように記している。
後にフェリックス・クラインは、ケイリーの考えが非ユークリッド平面の射影モデルを生み出すことに気づいた。[ 6 ]
クラインが言うように、「私はこれらの反論に納得し、すでに成熟していたこのアイデアを脇に置いた」。しかし、1871年に彼はこのアイデアに戻り、それを数学的に定式化して発表した。[ 7 ]
ベルトラーミ・クラインモデルの距離関数はケイリー・クライン計量です。開いた単位球内の異なる 2 つの点pとqが与えられたとき、それらを結ぶ唯一の直線は境界と 2 つの理想点aとbで交わります。点を順にa、p、q、bとラベル付けし、 | aq | > | ap |および| pb | > | qb |となるようにします 。
pとqの間の双曲線距離は次のようになります。
縦棒はモデル内の点間のユークリッド距離を示しており、lnは自然対数で、モデルの標準曲率を-1にするために1/2の係数が必要です。
一方の点が原点であり、点間のユークリッド距離がrである場合、双曲線距離は次のようになります。
2次元におけるベルトラミ・クラインモデルは、クライン円盤モデルと呼ばれます。これは円盤であり、円盤の内部は双曲平面全体のモデルです。このモデルにおける直線は、境界円（絶対円とも呼ばれる）の弦によって表されます。境界円上の点は理想点と呼ばれ、明確に定義されていますが、双曲平面には属しません。円盤の外側の点も双曲平面には属さず、超理想点と呼ばれることもあります。
このモデルは等角写像ではないため、角度が歪み、双曲平面上の円は一般的にこのモデルでは円形ではありません。境界円の中心を中心とする円のみが歪みません。その他の円はすべて歪み、ホロサイクルやハイパーサイクルも同様です。
境界円上で交わる弦は、境界となる平行線である。
2つの弦は、円盤の外側に延長したときに、それぞれが他方の弦の極を通る場合に直交する。（弦の極は、円盤の両端における接線が交わる円盤の外側の点である。）円盤の中心を通る弦は、弦の方向と直交する無限遠に極を持つ（これは、直径上の直角が歪まないことを意味する）。
ここでは、双曲平面における基本的な作図の効果をモデル内で実現するために、コンパスと定規を用いた作図をどのように使用できるかを示します。
双曲平面上の直線はクライン円盤モデルに容易に投影できるが、円、ハイパーサイクル、ホロサイクルはそうではない。
モデル内で同心円でない円は楕円になり、端に近づくにつれて離心率が大きくなる。クライン円盤モデルにおける角度、ハイパーサイクル、ホロサイクルも変形する。
双曲平面における円、ハイパーサイクル、ホロサイクル、または直角でない角度を含む構成については、ポアンカレ円盤モデルまたはポアンカレ半平面モデルを使用する方がおそらく便利でしょう。
ポアンカレ円盤モデルとクライン円盤モデルはどちらも双曲平面のモデルである。ポアンカレ円盤モデルの利点は、等角性（円や角が歪まない）であることである。欠点は、直線が円盤の境界円に直交する円弧に投影されることである。
この2つのモデルは、半球モデルへの投影、または半球モデルからの投影によって関連付けられています。クラインモデルは半球モデルへの正射影であり、ポアンカレ円盤モデルは立体射影です。
どちらのモデルを使用しても、直線は常に2つのモデルの円形境界と同じ場所で交わります。また、弦の極は、弧を含む円の中心です。
Pが距離ベルトラミ・クラインモデルにおける単位円の中心から、ポアンカレ円盤モデルにおける同じ半径上の距離 u の対応する点：
逆に、Pが距離のある点である場合ポアンカレ円盤モデルにおける単位円の中心から、ベルトラミ・クラインモデルにおける対応する点は、同じ半径上で距離sだけ離れた位置にある。
球面のグノモン投影は、球の中心から接平面上に投影されます。球面上のすべての大円は直線に投影されますが、等角投影ではありません。角度は忠実に表現されず、円は楕円になり、接点から遠ざかるにつれてますます引き伸ばされます。
同様に、クライン円盤（図中のK）は、双曲面モデル（Hy）のグノモン投影であり、中心は双曲面の中心（O）で、投影面は双曲面に接している。[ 11 ]
ユークリッド空間におけるモデルの開いた単位球内の2つの異なる点UとVが与えられたとき、それらを結ぶ唯一の直線は、単位球面と2つの理想点AとBで交わります。これらの点は、直線に沿って順にA、U、V、Bとラベル付けされます。モデルの単位球の中心を原点とし、点U、V、A、Bにそれぞれ位置ベクトルu、v、a、bを割り当てると、‖a − v‖ > ‖a − u‖および‖u − b‖ > ‖v − b‖が成り立ちます。ここで、‖·‖はユークリッドノルムを表します。すると、モデル化された双曲空間におけるUとVの間の距離は次のように表されます。
曲率を-1にするには、係数1/2が必要である。
関連する計量テンソルは[ 12 ] [ 13 ]で与えられます。
双曲面モデルは、 ( n + 1)次元ミンコフスキー空間内の双曲幾何学のモデルである。ミンコフスキー内積は次のように与えられる。
そして、双曲平面は、‖ x ‖ = 1かつx 0 (「時間的成分」)が正であるベクトルxとしてこの空間に埋め込まれます。点uとvの間の (埋め込みにおける) 固有距離は、次のように与えられます。
これは同次形式でも記述できます。
これにより、ベクトルを都合の良いように再スケーリングすることが可能になります。
ベルトラミ・クラインモデルは、双曲面モデルから、時間的成分が 1 になるようにすべてのベクトルを再スケーリングすることによって得られます。つまり、原点を通る双曲面埋め込みを平面x 0 = 1に投影することによって得られます。距離関数は、その同次形式では変化しません。双曲面モデルの固有線（測地線）は、埋め込みとミンコフスキー原点を通る平面との交点であるため、ベルトラミ・クラインモデルの固有線は球面の弦になります。
ポアンカレ球モデルとベルトラーミ・クラインモデルはどちらも、 R nのn次元単位球内のn次元双曲空間のモデルである。がポアンカレ円盤モデルの点を表すノルムが1未満のベクトルである場合、ベルトラミ・クラインモデルの対応する点は次のように与えられる。
逆に、ベクトルからノルムが1未満でベルトラミ・クラインモデルの点を表す点に対して、ポアンカレ円盤モデルの対応する点は次のように与えられる。
単位円盤の境界上の2点（理想点と呼ばれる）が与えられたとき、ベルトラミ・クラインモデルでは、それらを結ぶ直線は弦となる。一方、対応するポアンカレモデルでは、その直線は2つの境界点ベクトルによって生成される2次元部分空間上の円弧であり、球の境界と直角に交わる。2つのモデルは、円盤の中心からの射影によって関連付けられる。中心から一方のモデルの直線上の点を通る光線は、もう一方のモデルの直線上の対応する点を通る。
