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数学において、クラインの壺（/ ˈklaɪn /）は、内側と外側が明確に区別されない曲面の例です。言い換えれば、片面のみの曲面であり、その上を移動すると、移動者が上下を反転させながら出発点に戻ることができます。より厳密に言えば、クラインの壺は非可定向曲面の例であり、曲面に垂直な一貫した方向（法線ベクトル）を定義できない2次元多様体で、その方向は形状全体にわたって連続的に変化します。
クラインの壺は、メビウスの帯のような、向き付け不可能な曲面と関連している。メビウスの帯も片面しかないが、境界は存在する。対照的に、クラインの壺は球やトーラスのように境界を持たないが、通常の3次元空間に埋め込むと自己交差してしまう。
クラインの壺は、1882年に数学者のフェリックス・クラインによって初めて記述された。[ 1 ]
次の正方形はクラインの壺の基本多角形です。下の図のように、対応する赤と青の辺を矢印で「接着」するという考え方です。これは「抽象的な」接着であることに注意してください。つまり、これを3次元で実現しようとすると、自己交差するクラインの壺になります。[ 2 ]
クラインの壺を作るには、正方形の赤い矢印（左右両側）を接着して円筒を作ります。円筒の両端を接着して円の矢印が一致するようにするには、一方の端を円筒の側面に通します。これにより自己交差曲線が作られ、これがクラインの壺の三次元空間への埋め込みとなります。
この没入法は、クラインの壺の多くの特性を視覚化するのに役立ちます。例えば、クラインの壺には境界がなく、表面が突然途切れる場所はありません。また、没入法が片面であることからもわかるように、向き付けが不可能です。
クラインの壺の一般的な物理モデルは、同様の構造です。ロンドンの科学博物館には、この位相幾何学的なテーマのさまざまなバリエーションを示す、手吹きガラス製のクラインの壺のコレクションが展示されています。これらの壺は、1995年にアラン・ベネットによって博物館のために作られました。[ 3 ]
本来のクラインの壺は自己交差しません。しかし、クラインの壺が4次元空間に含まれていると視覚化する方法があります。3次元空間に4次元目を加えることで、自己交差を解消できます。交差部分を含むチューブの一部を、元の3次元空間から4次元目に沿ってそっと押し出します。平面上の自己交差曲線を考えるのが分かりやすい類推です。自己交差は、1本の糸を平面から持ち上げることで解消できます。[ 4 ]
分かりやすくするために、時間を第 4 次元として採用すると仮定します。図がxyzt空間でどのように構築できるかを考えてみましょう。添付の図 (「時間発展…」) は、図の有用な発展の一例を示しています。t = 0で、壁は「交点」付近のどこかにある芽から芽生えます。図がしばらく成長すると、壁の最も初期の部分が後退し始め、チェシャ猫のように消えますが、その絶えず拡大する笑顔は後に残ります。成長の先端が芽があった場所に到達する頃には、そこには交差するものはなく、既存の構造を貫通することなく成長が完了します。このように定義された 4 次元図は 3 次元空間には存在できませんが、4 次元空間では容易に理解できます。[ 4 ]
より厳密に言えば、クラインの壺は、[0,1] × [0,1] の正方形として記述される商空間であり、辺は0 ≤ y ≤ 1に対して(0, y ) ~ (1, y )および0 ≤ x ≤ 1に対して( x , 0) ~ (1 − x , 1)の関係によって識別されます。
メビウスの帯と同様に、クラインの壺は向き付け不可能な2次元多様体です。メビウスの帯とは異なり、クラインの壺は閉じた多様体であり、境界のないコンパクトな多様体です。メビウスの帯は3次元ユークリッド空間R 3に埋め込むことができますが、クラインの壺は埋め込むことができません。ただし、 R 4には埋め込むことができます。[ 4 ]
このシーケンスを続けると、例えばR 4には埋め込めないがR 5には埋め込める3 次元多様体を作成することが可能です。この場合、クラインの壺の円筒の両端と同じように球状円柱の両端を接続すると、「球状円柱クラインの壺」と呼ばれる図形が作成され、これはR 4に完全に埋め込むことはできません。[ 5 ]
クラインの壺は、円S 1上のファイバー束として見なすことができ、ファイバーS 1は次のように表されます。上記の正方形 (エッジ識別同値関係を法とする) を全空間Eとし、基底空間Bはyの単位区間(法1~0 ) で与えられます。射影 π: E → Bは、 π([ x , y ]) = [ y ]で与えられます。
クラインの壺は、レオ・モーザーが次の五行詩で説明しているように、2つのメビウスの帯の端をつなぎ合わせることによって構築できます（3次元空間では表面が自己交差することを許容せずに構築することはできないため、4次元空間で構築できます）。[ 6 ]
クラインという数学者は、 メビウスの帯は神聖なものだと考えていた。彼はこう言った。「 2つの端を貼り合わせれば、 私の作ったような奇妙なボトルができるだろう。」
正方形の対向する辺を識別してクラインの壺を最初に構築すると、クラインの壺は1 つの 0 セルP、2 つの 1 セルC 1、C 2、および 1 つの 2 セルDを持つCW 複素構造を与えることができることがわかります。したがって、そのオイラー標数は1 − 2 + 1 = 0です。境界準同型は∂ D = 2 C 1および∂ C 1 = ∂ C 2 = 0で与えられ、クラインの壺Kのホモロジー群はH 0 ( K , Z ) = Z、H 1 ( K , Z ) = Z ×( Z /2 Z )およびn > 1の場合H n ( K , Z ) = 0 となります。
トーラスからクラインの壺への2-1の被覆写像が存在する。なぜなら、クラインの壺の基本領域を2つコピーし、一方をもう一方の鏡像の隣に配置すると、トーラスの基本領域が得られるからである。トーラスとクラインの壺の両方の普遍被覆は平面R 2である。
クラインの壺の基本群は、普遍カバーのデッキ変換群として決定でき、表示は⟨ a , b | ab = b − 1 a ⟩である。したがって、それは同型である。整数の加法群における唯一の非自明な半直積それ自体と。
クラインの壺の表面上の地図を彩るには、6色あれば十分である。これは、 7色を必要とする4色定理の一般化であるヒーウッド予想の唯一の例外である。
クラインの壺は、 2 つの射影平面の連結和と同相である。[ 7 ]また、球面と 2 つのクロスキャップと同相である。
ユークリッド空間に埋め込まれたクラインの壺は片面である。しかし、他の位相的3次元空間も存在し、向き付け不可能な例の中には、空間の性質上向き付け不可能なままであるが、両面を持つようにクラインの壺を埋め込むことができるものもある。[ 2 ]
クラインの壺を対称面に沿って半分に分割すると、鏡像のメビウスの帯が2つできます。つまり、1つは左巻きの半ねじれ、もう1つは右巻きの半ねじれです（右側にそのうちの1つが示されています）。図示されている交点は実際には存在しないことに注意してください。[ 8 ]
クラインの壺の表面に現れる可能性のある単純閉曲線の種類の説明の 1 つは、整数係数で計算されたクラインの壺の最初のホモロジー群を使用することによって与えられます。この群はZ × Z 2と同型です。向きの反転を除いて、単純閉曲線を含むホモロジー クラスは次のとおりのみです: (0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,0)、(0,1)。単純閉曲線の向きの反転を除いて、それがクラインの壺を構成する 2 つのクロス キャップのいずれか内にある場合、それはホモロジー クラス (1,0) または (1,1) に属します。それがクラインの壺を 2 つのメビウスの帯に分割する場合、それはホモロジー クラス (2,0) に属します。それがクラインの壺を環状に分割する場合、それはホモロジー クラス (0,1) に属します。そして、それが円盤を囲む場合、それはホモロジークラス(0,0)に属する。[ 4 ]
クラインの壺の「8の字」または「ベーグル」の浸漬を作成するには、メビウスの帯から始めて、端を中央線に合わせるように丸めることができます。端は1つしかないので、中央線を通ってそこで自分自身と出会います。これは、半回転した「8の字」トーラスとして特に単純なパラメーター化を持ちます。[ 4 ]
0 ≤ θ < 2π、0 ≤ v < 2π、r > 2 の場合。
この没入法では、自己交差円（sin( v )がゼロとなる円）はxy平面上の幾何学的円です。正の定数rはこの円の半径です。パラメータθはxy平面上の角度と8の字の回転を表し、vは8の字型の断面の周囲の位置を指定します。上記のパラメータ化により、断面は2:1のリサジュー曲線になります。
交差しない4次元パラメータ化は、平面トーラスのパラメータ化をモデルにすることができる。
ここで、RとPはアスペクト比を決定する定数であり、θとvは上記の定義と同様です。vは8の字の周囲の位置とxy平面内の位置を決定します。θ は8の字の回転角とzw平面の周囲の位置を決定します。εは任意の小さな定数であり、ε sin vは自己交差を避けるためのzw空間におけるvに依存する小さな隆起です。vの隆起により、自己交差する2次元/平面の8の字は、xywおよびxyz空間を横から見たときに、様式化された3次元の「ポテトチップ」または鞍型に広がります。ε =0の場合、自己交差はzw平面<0, 0, cos θ , sin θ >内の円になります。[ 4 ]
ピンチトーラスは、3次元と4次元の両方において、クラインの壺の最も単純なパラメーター化と言えるでしょう。これは、3次元では片側が平らになり、自身を通過するトーラスの変形と見なすことができます。残念ながら、3次元ではこのパラメーター化には2つのピンチポイントがあり、一部の用途には適していません。4次元では、z振幅がw振幅に回転し、自己交差やピンチポイントは存在しません。[ 4 ]
これは、トーラスのように巻き付くチューブまたは円筒と見なすことができますが、その円形の断面は4次元で反転し、再接続する際に「裏側」が現れます。これは、メビウスの帯の断面が再接続する前に回転するのと同様です。この3次元直交投影が、上に示したピンチドトーラスです。メビウスの帯がソリッドトーラスの部分集合であるのと同様に、メビウスチューブはトーラス状に閉じた球状体（ソリッド球状トーラス）の部分集合です。
ボトル自体の通常の3次元浸漬の以下のパラメータ化は、はるかに複雑です。
0 ≤ u < 2π および 0 ≤ v < 2π の場合。[ 4 ]
クラインの壺の正則な3D埋め込みは、3つの正則なホモトピー類に分類される。[ 9 ] 3つは次のように表される。
伝統的なクラインの壺の浸漬は非キラルである。8の字型の浸漬はキラルである。（上記のピンチドトーラスの浸漬はピンチポイントがあるため正則ではなく、このセクションには関係ない。）
伝統的なクラインの壺を対称面で切断すると、反対のキラリティを持つ2つのメビウスの帯に分割されます。8の字型のクラインの壺は、同じキラリティを持つ2つのメビウスの帯に切断できますが、鏡像に正則に変形することはできません。[ 4 ]
クラインの壺の高種への一般化は、基本多角形に関する記事で説明されている。[ 10 ]
別の考え方では、3次元多様体の構成において、固体クラインの壺はメビウスの帯と閉区間の直積と同相であることが知られています。固体クラインの壺は、固体トーラスの非向き付け可能なバージョンであり、
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5d921d40ba9c619980533c34235fd121d6e557)
