余弦定理

三角法において、余弦定理（余弦公式、余弦法則、アル・カシの定理とも呼ばれる）は、三角形の辺の長さと、その三角形の角の余弦との関係を表します。辺の長さがの三角形の場合、 $a$ ⁠、 ⁠ $b$ ⁠、そして⁠ $c$ ⁠、それぞれの反対の角度⁠ $\alpha$ ⁠、 ⁠ $\beta$ ⁠、そして⁠ $\gamma$ （図1参照）余弦定理は次のように述べている。

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{整列}}$

余弦定理は、直角三角形にのみ成り立つピタゴラスの定理を一般化したものです。 $\gamma$ 直角であれば $\cos \gamma =0$ ⁠、余弦定理は次のように簡略化される。 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ⁠ .

余弦定理は、三角形の3辺すべて、または2辺とその間の角が与えられている場合に、三角形を解くのに役立ちます。

三角形の解法に用いる

この定理は三角形の解法、すなわち（図3参照）を求める際に使用されます。

三角形の2辺とその間の角度が分かっている場合、3辺目を求める方法： $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;$
3辺の長さが分かっている場合の三角形の角度： $\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;$
2辺と、そのうちの1辺の対角が分かっている場合の三角形の3辺目（この辺は正弦定理を2回適用することでも求めることができます）：^{[ a ]} $a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.$

これらの式は、三角形が非常に鋭角である場合、つまり、 $cが$ $a$ と $b$ に比べて小さい場合、または $γ$ が1に比べて小さい場合に、浮動小数点計算で大きな丸め誤差を生じます。角度のコサインが1よりわずかに大きい値になる可能性さえあります。

示されている 3 番目の式は、二次方程式 $a$ $2$ $- 2$ $ab$ $cos$ $γ$ $+$ $b$ $2$ $-$ $c$ $2$ $= 0$ でaを解いた結果です。この方程式は、与えられたデータに基づいて可能な三角形の数に応じて、2 つ、1 つ、または 0 つの正の解を持つことができます。b sin γ < c < b の場合は 2 つの正の解を持ち $、$ $c$ $=$ $b$ $sin$ $γ$ $の$ $場合$ $は$ $1$ $つ$ $の$ 正の解のみを持ち、 $c$ $<$ $b$ $sin$ $γ$ の場合は解がありません。これらの異なるケースは、辺-辺-角の合同の曖昧さによっても説明されます。

歴史

紀元前300年頃に、1世紀か2世紀前の資料を基に編纂されたユークリッドの『原論』第2巻には、余弦定理に相当する幾何学的定理が、当時の長方形面積の用語で表現されている。ヘレニズム三角法は後に発展し、正弦と余弦そのものは、それから数世紀後のインドで初めて登場した。

鈍角三角形と鋭角三角形の場合（負または正のコサインの 2 つの場合に対応）は、命題 II.12 と II.13 で別々に扱われます。^{[ 1 ]}

命題12．鈍角三角形において、鈍角を挟む辺上の正方形の面積は、鈍角を挟む辺上の正方形の面積よりも、鈍角を中心とする辺（すなわち、垂線が交わる辺）と、鈍角に向かう垂線によって外側に切り取られる直線によって囲まれた長方形の面積の2倍だけ大きい。

—ユークリッドの『原論』、トーマス・L・ヒース訳。^{[ 1 ]}

命題13には鋭角三角形に関する同様の記述が含まれている。アレクサンドリアのヘロンは、（現在は失われ、断片的な引用によってのみ保存されている）注釈の中で、 II.12とII.13の両方の逆の証明を提供した。^{[ 2 ]}

図2のような記号を用いると、ユークリッドの命題II.12は、より簡潔に（ただし時代錯誤的に）次の式で表すことができる。

$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH)。$

これを余弦定理のよく知られた式に変換するには、を代入します。 $AB=c$ ⁠、 ⁠ $CA=b$ ⁠、 ⁠ $CB=a$ ⁠、そして $CH=a\cos(\pi -\gamma )\$ $\!{}=-a\cos \gamma$ 。

命題 II.13 は、ユークリッドの時代には三角形の解法には使われなかったが、後にアル＝ビールーニー(11 世紀) とヨハネス・デ・ムリス(14 世紀)によって天文学の問題を解く際にそのように使われた。 ^{[ 3 ]}球面余弦定理に相当するものが、アル＝フワーリズミー(9 世紀)、アル＝バッターニー(9 世紀)、ニーラカンタ(15 世紀)によって使われた (ただし一般的には述べられていない)。^{[ 4 ]}

13世紀のペルシャの数学者ナシール・アル＝ディーン・アル＝トゥーシーは、著書『キターブ・アル＝シャクル・アル＝カッタア』（完全四辺形の書、1250年頃）の中で、与えられたデータのさまざまな組み合わせから三角形を解く方法を体系的に説明した。不等辺三角形の2辺とその間の角が与えられた場合、彼は未知の角の頂点から反対側の底辺に垂線を下ろして3辺目を求めることを提案し、正弦定理を用いて既知の角と斜辺から1つの直角三角形の2辺を求め、次にピタゴラスの定理を用いて既知の2辺から別の直角三角形の斜辺を求めるという問題に問題を帰着させた。^{[ 5 ]}

約2世紀後、ペルシャの別の数学者ジャムシード・アル＝カーシーは、当時最も正確な三角関数表を計算し、また、彼の著書『ミフターフ・アル＝ヒサーブ』（算術の鍵、1427年）の中で、与えられたデータのさまざまな組み合わせから三角形を解く方法を記述し、基本的にアル＝トゥーシーの方法を繰り返したが、今度は1つの公式にまとめられ、より明確な詳細が加えられており、次のようになっている。^{[ 6 ]}

別のケースとして、2辺とその間の角度が既知で、残りが未知の場合があります。まず、一方の辺に既知の角度の正弦を1回掛け、次にその補角の正弦を変換して掛けます。角度が鋭角の場合は、2番目の結果をもう一方の辺から引き、鈍角の場合は加えます。次に、その結果を2乗し、最初の結果の2乗を加えます。最後に、その合計の平方根を取って残りの辺を求めます。

—アル・カーシーの『Miftāḥ al-ḥisāb』、Nuh Aydin、Lakhdar Hammoudi、Ghada Bakbouk による翻訳^[⁷^]

現代の代数記法と慣例を用いると、これは次のように書ける。

$c={\sqrt {(ba\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}$

いつ⁠ $\gamma$ 急性または

$c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}$

いつ⁠ $\gamma$ ⁠は鈍角です。（ ⁠ $\gamma$ ⁠は鈍感で、現代の慣習では、 ⁠ $\cos \gamma$ は負であり、 $\cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma$ （正の値をとる。歴史的に、正弦と余弦は非負の長さを持つ線分と考えられていた。）両辺を二乗し、二乗した二項式を展開し、ピタゴラスの三角恒等式を適用することで、 $\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1$ ⁠、すると、よく知られた余弦定理が得られます。

${\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

フランスでは、余弦定理は時としてアル・カシの定理と呼ばれることがある。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

アル・トゥーシーが用いたのと同じ方法は、15世紀にはすでにヨーロッパに現れており、レギオモンタヌスの『De triangulis omnimodis』（あらゆる種類の三角形について、1464年）は、当時知られていた平面三角法と球面三角法の包括的な概説書である。^{[ 10 ]}

この定理は、 16世紀にフランソワ・ヴィエトによって代数記法を用いて初めて記述されました。19世紀初頭には、現代の代数記法によって余弦定理が現在の記号形式で記述できるようになりました。^{[ 11 ]}

証明

ピタゴラスの定理を用いて

鈍角の場合

ユークリッドはこの定理を、図2の2つの直角三角形（ $AHB$ と $CHB$ ）それぞれにピタゴラスの定理を適用して証明しました。線分 $CBを$ $a$ 、線分 $ACを$ $b$ 、線分 $ABを$ $c$ 、線分 $CHを$ $d$ 、高さ $BHを$ $h$ とすると、三角形 $AHBは$ 次のようになります。 $c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},$

そして三角形 $CHB$ は $\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}$

最初の式を展開すると、 $c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.$

2番目の式をこれに代入すると、次の式が得られます。 $c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.$

これはユークリッドの『原論』第2巻の命題12です。^{[ 12 ]}これを現代の余弦定理の形に変換するには、次の点に注意してください。 $d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .$

鋭角の症例

ユークリッドの命題13の証明は、命題12の証明と同じ手順で進められます。彼は、角度 $γ$ を囲む辺の1つに垂線を下ろして形成される2つの直角三角形にピタゴラスの定理を適用し、差の2乗を使って簡略化します。

急性症例におけるもう一つの証拠

さらに三角法を用いることで、ピタゴラスの定理を一度だけ用いることで余弦定理を導き出すことができる。実際、図6の左側の直角三角形を用いることで、以下のことが示される。

${\begin{aligned}c^{2}&=(ba\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}$

三角関数の恒等式を用いて $\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1$ ⁠ .

$b < a cos(γ)$ の場合、この証明は少し修正する必要があります。この場合、ピタゴラスの定理が適用される直角三角形は三角形 $ABC の$ 外側に移動します。この変更が計算に与える影響は、 $b$ $-$ $a$ $cos($ $γ$ $)が$ $a$ $cos($ $γ$ $) -$ $b$ に置き換えられることだけです $。$ この量はその二乗を通してのみ計算に現れるため、証明の残りの部分は影響を受けません。ただし、この問題は $βが鈍角の場合にのみ発生し、三角形を$ $γ$ の二等分線に関して対称移動することで回避できます。

図6を参照すると、辺 $aの対角が$ $α$ である場合、次のことが成り立つことに注目すべきである。 $\tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{ba\cos \gamma }}.$

これは、2辺とそれらの間にある角が与えられている場合に、2つ目の角を直接計算するのに役立ちます。

3つの高度から

頂点 $C$ を通る垂線は、辺 $c$ に垂直な線分です。垂線の足から頂点 $A$ までの距離と、垂線の足から頂点 $Bまでの距離を足したものが、辺$ $c$ の長さに等しくなります(図5 を参照)。これらの距離はそれぞれ、他の辺のいずれかに隣接する角のコサインを掛けたものとして表すことができます。^[¹³^] $c=a\cos \beta +b\cos \alpha .$

$（ α$ または $β$ が鈍角の場合でもこれは依然として当てはまります。その場合、垂線は三角形の外側に落ちます。）両辺に $c$ を掛けると、 $c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .$

他の辺のいずれかを三角形の底辺として扱う場合でも、同じ手順で同様に機能します。 ${\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

の式を取ると、 $c^{2}$ ⁠そして、 ⁠の式を減算します $b^{2}$ そして $\displaystyle a^{2}}$ ⁠、 ${\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

この証明は、コサインの直角三角形の定義のみに基づいており、辺の長さの二乗を代数的に得ている点で、ピタゴラスの定理とは独立している。他の証明は通常、ピタゴラスの定理を明示的に用いており、より幾何学的で、 $cos γ を$ 特定の線分の長さを表すラベルとして扱っている。^{[ 13 ]}

多くの証明とは異なり、この証明は鈍角と鋭角 $γ$ の場合を統一的に扱っています。

デカルト座標

$辺の長さがa$ 、 $b$ 、 $c$ である三角形を考えます。ここで、 $θ$ は辺 $c$ の対角の大きさです。この三角形は、辺 $a を$ x軸に沿わせ、角度 $θ を$ 原点に置いたデカルト座標系上に配置できます。三角形の 3 つの点の成分を図 4 に示します。 $A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ および }}C=(0,0).$

距離の公式により、^{[ 14 ]}

$c={\sqrt {(ab\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.$

両辺を二乗して簡略化する ${\begin{aligned}c^{2}&=(ab\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}$

この証明の利点は、角度 $γ$ が鋭角、直角、鈍角のいずれであるかに応じて個別のケースを考慮する必要がないことです。しかし、原論II.12-13で個別に扱われたケース、および後にアル＝トゥーシー、アル＝カーシーなどが扱ったケースは、完全なデカルト座標系を必要とせずに、符号付き長さと面積の概念、および符号付きコサインの概念を用いることで、それ自体を組み合わせることができます。

プトレマイオスの定理を用いて

図を参照すると、辺 $AB$ = $c$ 、 $BC$ = $a$ 、 $AC$ = $b$ の三角形ABCが、その外接円の内側に描かれている。三角形 $ABDは、$ $AD$ = $BC$ 、 $BD$ = $AC$ となるように三角形 $ABC$ と合同に作図される。点 $D$ と点 $Cから垂線を下ろし、底辺$ $ABとそれぞれ点$ $E$ と $F$ で交わる。すると、次のようになる。 ${\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}$

余弦定理は、円に内接する四角形 $ABCD$ にプトレマイオスの定理を単純に適用することで得られる。 ${\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}$

明らかに、角 $B$ が直角であれば、 $ABCD$ は長方形であり、プトレマイオスの定理を適用するとピタゴラスの定理が得られます。 $a^{2}+c^{2}=b^{2}.$

地域を比較することで

面積を計算することによって余弦定理を証明することもできる。角度 $γ$ が鈍角になると符号が変化するため、場合分けが必要となる。

思い出してください

$a 2$ 、 $b 2$ 、 $c 2は、それぞれ辺の長さが$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ の正方形の面積です。
$γ$ が鋭角の場合、 $ab cos γ$ $は$ 辺 $a$ と $b が$ $γ$ $'$ $=$ $π$ $/$ $2$ $-$ $γ$ の角度を形成する平行四辺形の面積です。
$γ$ が鈍角で $cos γ$ が負の場合、 $- ab cos γ$ は辺aとbが $γ'$ $=$ $γ$ $-$ $⁠$ $π$ $/$ $2$ $⁠$ の角度を形成する平行四辺形の面積です。

急性症例。図7aは、余弦定理の証明を得るために、七角形を（2つの異なる方法で）より小さな断片に切り分けた例を示しています。さまざまな断片は

左側の領域はピンク色で、 $a 2$ 、 $b 2$ と右側の領域は $2 ab cos γ$ および $c 2です。$
左側と右側に、青色で三角形 $ABCが描かれている。$
灰色で示されている補助三角形はすべて $ABC$ と合同であり、左側と右側に同じ数（つまり2つ）存在する。

左側と右側の面積が等しいことから、 $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma .}$

鈍角の場合。図7bは六角形を2つの異なる方法でより小さな断片に分割し、角度 $γ$ が鈍角の場合の余弦定理の証明を与えます。

ピンク色で示されているのは、左側の領域 $a 2$ 、 $b 2$ 、および $-2 ab cos γ$ と、右側の領域 $c 2です。$
青色で、三角形 $ABCが$ 左側と右側にそれぞれ2つずつ描かれている。

左側と右側の面積が等しいことから、 $a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.$

厳密な証明には、様々な図形が合同であり、したがって面積が等しいことの証明を含める必要がある。これには合同三角形の理論を用いる。

円の幾何学を用いる

図8a – 三角形 $ABC$ （ピンク）、補助円（水色）、および補助直角三角形（黄色）

図8b – 三角形 $ABC$ （ピンク）、補助円（水色）、および2つの補助直角三角形（黄色）

円の幾何学を用いることで、ピタゴラスの定理だけを用いる場合よりも、より幾何学的な証明を与えることができる。代数的な操作（特に二項定理）は不要となる。

鋭角 $γ$ の場合、 $a > 2b cos γ$ となる。Aから $a$ $=$ $BC$ に垂線を下ろし、長さ $b$ $cos$ $γ$ の線分を作る。直角三角形を複製して二等辺三角形 $ACP$ を作る。中心 $A$ 、半径 $b$ $の$ 円を描き、 $B$ を通る接線 $h$ $=$ $BH$ を描く。接線 $hは半径$ $b$ と直角をなす（ユークリッド原論：第3巻、命題18；またはこちらを参照）ので、図8の黄色の三角形は直角三角形である。ピタゴラスの定理を適用して、 $c^{2}=b^{2}+h^{2}.$

次に、接線割線定理（ユークリッド原論：第3巻、命題36）を用います。この定理によれば、円の外側の点 $B$ を通る接線の二乗は、点 $B$ を通る円の割線によって作られる2つの線分（点 $B$ から引いた線分）の積に等しくなります。この場合、 $BH$ $2$ $=$ $BC$ $\cdot$ $BP$ となります。 $h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).$

前の式に代入すると、余弦定理が得られます。 $c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).$

$h 2 は$ 点 $B$ の円に対するべき乗であることに注意してください。ピタゴラスの定理と正接の定理の使用は、点のべき乗の定理を一度適用することで置き換えることができます。

鋭角 $γ$ の場合、 $a < 2b cos γ$ となる。Aから $a$ $=$ $BC$ に垂線を下ろし、長さ $b$ $cos$ $γ$ の線分を作る。直角三角形を複製して二等辺三角形 $ACP$ を作る。中心 $A$ 、半径 $b$ $の$ 円を描き、 $B$ を通って $c$ $=$ $AB$ に垂直な弦を描き $、$ その半分の長さを $h$ $=$ $BH$ $とする。$ ピタゴラスの定理を適用して、 $b^{2}=c^{2}+h^{2}.$

ここで弦の定理（ユークリッド原論：第3巻、命題35）を用います。この定理によれば、2つの弦が交わる場合、一方の弦で得られる2つの線分の積は、もう一方の弦で得られる2つの線分の積に等しくなります。この場合、 $BH 2 = BC \cdot BP$ となります $。$ $h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).$

前の式に代入すると、余弦定理が得られます。 $b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a).$

点 $B$ の円に対するべき乗は負の値 $- h 2$ であることに注意してください。

鈍角 $γ$ の場合。この証明では、接線や弦を作図して得られる補助三角形を使用せずに、点のべき乗定理を直接使用します。中心 $B$ 、半径 $a$ の円を作図します(図 9 を参照)。この円は、 $A$ と $C$ を通る割線と $C$ と $K$ で交わります。円に関する点 $A$ のべき乗は、 $AB$ $2$ $-$ $BC$ $2$ と $AC$ $\cdot$ $AK$ の両方に等しくなります。したがって、 ${\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}$

これは余弦定理です。

線分の長さを代数的に測定する（線分の長さとして負の数を許容する）ことで、鈍角（ $CK > 0$ ）と鋭角（ $CK < 0$ ）の場合を同時に扱うことができる。

正弦定理を用いて

余弦定理は、正弦定理といくつかの標準的な三角関数の恒等式から代数的に証明できます。^{[ 15 ]}まず、三角形の3つの角の合計は直線角になります（ $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ ラジアン）。したがって、正弦と余弦の角度の和の恒等式により、

${\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}$

これらの恒等式の最初のものを二乗し、次に代入すると $\cos \alpha \,\cos \beta ={}$ $\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma$ 2番目から、そして最終的に置き換える $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}$ $\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,$ ピタゴラスの三角関数の恒等式は次のようになります。

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}$

正弦定理によれば、 ${\frac {a}{\sin \alpha {\vphantom {\beta }}}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma {\vphantom {\beta }}}}=k,$

余弦定理を証明するために、前の等式の両辺にを掛けます。 $\displaystyle k^{2}}$ ⁠ :

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

これで証明は完了です。

ベクトルを使用する

表記する

${\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}$

したがって、 ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

両辺の内積をそれぞれ計算すると次のようになる。 ${\begin{aligned}{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}&=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\end{aligned}}$

IDを使用して

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})$

につながる

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})$

結果は以下のとおりです。

二等辺三角形の場合

$a = b$ の場合、つまり三角形が角 $γ$ に接する 2 辺の長さが等しい二等辺三角形の場合、余弦定理は大幅に簡略化されます。具体的には、 $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ $= 2$ $a$ $2$ $= 2$ $ab$ であるため、余弦定理は次のようになります。 $\cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}$

または $c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).$

四面体の類似物

4 つの面の面積が $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ で、二面角がである任意の四面体が与えられている。 $\displaystyle \varphi _{ab}}$ ⁠面 $A$ と $B$ の間など、余弦定理の高次元類似物は次のとおりです。^{[ 16 ]} $A^{2}=B^{2}+C^{2}+D^{2}-2\left(BC\cos \varphi _{bc}+CD\cos \varphi _{cd}+DB\cos \varphi _{db}\right)。$

小角度に適したバージョン

角度 $γ$ が小さく、隣接する辺 $a$ と $b$ の長さがほぼ同じ場合、余弦定理の標準形の右辺は、数値近似において致命的な相殺を起こします。これが重要な問題となる状況では、ハバーサイン公式に似た、数学的に等価な余弦定理が役立つことがあります。 ${\begin{aligned}c^{2}&=(ab)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(ab)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}$

無限小の角度の極限では、余弦定理は円弧の長さの公式 $c = a γ$ に退化します。

非ユークリッド幾何学において

ユークリッド幾何学と同様に、余弦定理を用いて辺a、b、c から $角度$ A $、$ B $、$ $C$ を $求める$ こと $が$ できます。ユークリッド幾何学とは対照的に、非ユークリッドモデルでは逆のことも可能です。つまり、角度 $A$ 、 $B$ 、 $C$ から辺 $a$ 、 $b$ 、 $c$ を求めることができます。

三角形は、単位球面上の3点 $u$ 、 $v$ 、 $w$ と、それらの点を結ぶ大円弧によって定義されます。これらの大円が対辺 $a$ 、 $b$ 、 $cとそれぞれ角$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ をなす場合、球面余弦定理によれば、以下の関係がすべて成り立ちます。

${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a\\\cos a&={\frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}}.\end{aligned}}$

双曲幾何学では、2つの方程式がまとめて双曲余弦定理として知られています。最初の方程式は $\cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A$

ここで $sinh$ と $cosh は$ 双曲線正弦と双曲線余弦であり、2 番目のものは $\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.$

辺の長さは次のように計算できます。

$\cosh a={\frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}}.$

多面体

余弦定理は、ベクトル辺を持つ任意の多面体を考慮し、発散定理を適用することで、すべての多面体に一般化できる。^[¹⁷^]

注記

↑与えられた側面⁠ $b$ ⁠、 ⁠ $c$ ⁠そして角度⁠ $\gamma$ ⁠、 ⁠ $\sin \beta$ 正弦定理を用いて求めることができ、角度には最大で2つの可能性が残る。 $\beta$ どちらの選択肢も決定します $\alpha$ なぜなら、 3つの内角の合計は直線角になるからです。最後に $a$ ⁠ は⁠から見つけることができます $c$ ⁠、 ⁠ $\gamma$ ⁠、そして⁠ $\alpha$ 正弦定理の別の適用によって。

参考文献

1 2ユークリッド。トーマス・L・ヒース編。「原論」。トーマス・L・ヒース訳。2023年1月24日取得。
↑ヒース、トーマス(1956) [1908]. 「序論」 .ユークリッド原論全13巻(第2版)。
↑ Kennedy, ES; Muruwwa, Ahmad (1958). "Bīrūnī on the Solar Equation". Journal of Near Eastern Studies . 17 (2): 112– 121. doi : 10.1086/371451 . JSTOR 542617 .
ヨハネス・デ・ムリスは、自身の著作『De Arte Mesurandi』の該当箇所について、匿名の著者に帰属させている。グレン・ヴァン・ブルンメレン著『天と地の数学』（プリンストン大学出版局、 240～ 241頁、2009年）を参照。
↑ヴァン・ブルンメレン、グレン (2012).天上の数学：球面三角法の忘れられた芸術. プリンストン大学出版局. p. 98.
↑ナージール・アルディーン・アルーシー (1891)。「第 3.2 章: 三角形と三角形の角度を計算するマニエール」。Traité du quadrilatère attribué a Nassirudinel-Toussy (フランス語)。カラテオドリ、アレクサンドル・パシャ訳。タイポグラフィとリトグラフのオスマニエ。 p. 69.角度のない角度で。 [...] Que si l'angle donné est compris entre les deux côtés donnés, comme l'angle A est compris entre les deux côtés AB AC, abaissez de B sur AC la perpendiculaire BE.与えられた条件では、2 つの辺 AB と AC の間に角 A が含まれているので、B から AC に垂線 BE を下ろします。すると、辺 AB と角 A がわかっている直角三角形 [ BEA ] が得られます。その三角形で BE、EA を計算すると、問題は前述のいずれかのケースに帰着します。つまり、BE、CE がわかっている場合です。このようにして、説明したように BC と角 C がわかります。]
↑ Azarian, Mohammad K. (2000). "Meftab Al-Hesab: A Summary" (PDF) . Missouri Journal of Mathematical Sciences . 12 (2): 75– 95. doi : 10.35834/2000/1202075 .
↑アイディン、うーん。ハモウディ、ラクダル;ガーダ州バクボク（2020）。アル・カシの『ミフタ・アル・ヒサブ』第 2 巻: 幾何学。ビルクホイザー。 p. 31.土井：10.1007/978-3-030-61330-3。ISBN 978-3-030-61329-7。
↑ピッコーバー、クリフォード A. (2009). 『数学の本：ピタゴラスから57次元まで』スターリング出版、106ページ。ISBN 9781402757969。
↑ Program de mathématiques de première générale (フランス語)。国立教育省および児童省。 2022 年。11、12 ページ。
↑ Hughes, Barnabas 編 (1967).レギオモンタヌス『三角形論』 . マディソン: ウィスコンシン大学出版局.ヨハン・ミュラー（別名レギオモンタヌス）著『De triangulis omnimodis』の英訳、1533年ラテン語版のファクシミリ付き。定理I.49、98 ～101ページ。
↑たとえば、ラザールのカルノー（1803）。位置の幾何学。 JBMデュプラット。 p. 202.
↑クラーク大学のDE Joyce教授によるJavaアプレット版。
1 2アレクサンダー・ボゴモルニーはこの証明を教師のジョン・モロカチ（2011）によるものとしているが、もっと古いものかもしれない。ボゴモルニー、アレクサンダー。「余弦定理（ピタゴラスの定理とは無関係）」。Cut the Knot 。2024年1月9日取得。
↑ Wylie, Clarence Raymond (1955). Plane Trigonometry . McGraw-Hill. §9.1 The Law of Cosines, pp. 195–198. LCCN 54-11278 .
↑ Burton, LJ (1949). "正弦と余弦の法則". The American Mathematical Monthly . 56 (8): 550– 551. doi : 10.1080/00029890.1949.11999439 . JSTOR 2305533 .
↑ケーシー、ジョン (1889)。球面三角法に関する論文：測地学と天文学への応用と多数の例。ロンドン：ロングマンズ、グリーン、アンド・カンパニー。p. 133。
↑ Collins, L; Osler, T (2011). "任意の多角形および任意の多面体に対する一般化された余弦定理". The Mathematical Gazette . 95 (533): 240– 243. doi : 10.1017/S0025557200002953 . JSTOR 23248682 .

外部リンク

「余弦定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ユークリッドの定理を含む余弦定理のいくつかの導出法がcut-the-knotで紹介されている。
余弦定理のインタラクティブ・アプレット

[1] 与えられた側面⁠ $b$ ⁠、 ⁠ $c$ ⁠そして角度⁠ $\gamma$ ⁠、 ⁠ $\sin \beta$ 正弦定理を用いて求めることができ、角度には最大で2つの可能性が残る。 $\beta$ どちらの選択肢も決定します $\alpha$ なぜなら、 3つの内角の合計は直線角になるからです。最後に $a$ ⁠ は⁠から見つけることができます $c$ ⁠、 ⁠ $\gamma$ ⁠、そして⁠ $\alpha$ 正弦定理の別の適用によって。

[Euclid-Heath-Elements_Book_II_Propositions-2] 1 2ユークリッド。トーマス・L・ヒース編。「原論」。トーマス・L・ヒース訳。2023年1月24日取得。

[3] ヒース、トーマス(1956) [1908]. 「序論」 .ユークリッド原論全13巻(第2版)。

[4] Kennedy, ES; Muruwwa, Ahmad (1958). "Bīrūnī on the Solar Equation". Journal of Near Eastern Studies . 17 (2): 112– 121. doi : 10.1086/371451 . JSTOR 542617 .
ヨハネス・デ・ムリスは、自身の著作『De Arte Mesurandi』の該当箇所について、匿名の著者に帰属させている。グレン・ヴァン・ブルンメレン著『天と地の数学』（プリンストン大学出版局、 240～ 241頁、2009年）を参照。

[5] ヴァン・ブルンメレン、グレン (2012).天上の数学：球面三角法の忘れられた芸術. プリンストン大学出版局. p. 98.

[6] ナージール・アルディーン・アルーシー (1891)。「第 3.2 章: 三角形と三角形の角度を計算するマニエール」。Traité du quadrilatère attribué a Nassirudinel-Toussy (フランス語)。カラテオドリ、アレクサンドル・パシャ訳。タイポグラフィとリトグラフのオスマニエ。 p. 69.角度のない角度で。 [...] Que si l'angle donné est compris entre les deux côtés donnés, comme l'angle A est compris entre les deux côtés AB AC, abaissez de B sur AC la perpendiculaire BE.与えられた条件では、2 つの辺 AB と AC の間に角 A が含まれているので、B から AC に垂線 BE を下ろします。すると、辺 AB と角 A がわかっている直角三角形 [ BEA ] が得られます。その三角形で BE、EA を計算すると、問題は前述のいずれかのケースに帰着します。つまり、BE、CE がわかっている場合です。このようにして、説明したように BC と角 C がわかります。]

[7] Azarian, Mohammad K. (2000). "Meftab Al-Hesab: A Summary" (PDF) . Missouri Journal of Mathematical Sciences . 12 (2): 75– 95. doi : 10.35834/2000/1202075 .

[8] アイディン、うーん。ハモウディ、ラクダル;ガーダ州バクボク（2020）。アル・カシの『ミフタ・アル・ヒサブ』第 2 巻: 幾何学。ビルクホイザー。 p. 31.土井：10.1007/978-3-030-61330-3。ISBN 978-3-030-61329-7。

[Pickover-9] ピッコーバー、クリフォード A. (2009). 『数学の本：ピタゴラスから57次元まで』スターリング出版、106ページ。ISBN 9781402757969。

[10] Program de mathématiques de première générale (フランス語)。国立教育省および児童省。 2022 年。11、12 ページ。

[11] Hughes, Barnabas 編 (1967).レギオモンタヌス『三角形論』 . マディソン: ウィスコンシン大学出版局.ヨハン・ミュラー（別名レギオモンタヌス）著『De triangulis omnimodis』の英訳、1533年ラテン語版のファクシミリ付き。定理I.49、98 ～101ページ。

[12] たとえば、ラザールのカルノー（1803）。位置の幾何学。 JBMデュプラット。 p. 202.

[Joyce-13] クラーク大学のDE Joyce教授によるJavaアプレット版。

[ctk-14] 1 2アレクサンダー・ボゴモルニーはこの証明を教師のジョン・モロカチ（2011）によるものとしているが、もっと古いものかもしれない。ボゴモルニー、アレクサンダー。「余弦定理（ピタゴラスの定理とは無関係）」。Cut the Knot 。2024年1月9日取得。

[15] Wylie, Clarence Raymond (1955). Plane Trigonometry . McGraw-Hill. §9.1 The Law of Cosines, pp. 195–198. LCCN 54-11278 .

[16] Burton, LJ (1949). "正弦と余弦の法則". The American Mathematical Monthly . 56 (8): 550– 551. doi : 10.1080/00029890.1949.11999439 . JSTOR 2305533 .

[17] ケーシー、ジョン (1889)。球面三角法に関する論文：測地学と天文学への応用と多数の例。ロンドン：ロングマンズ、グリーン、アンド・カンパニー。p. 133。

[18] Collins, L; Osler, T (2011). "任意の多角形および任意の多面体に対する一般化された余弦定理". The Mathematical Gazette . 95 (533): 240– 243. doi : 10.1017/S0025557200002953 . JSTOR 23248682 .

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