大圏

数学において、大円または正円は、球とその中心点を通る平面との円形の 交点である。^{[1] [2]}

大円の任意の弧は球面の測地線であるため、球面幾何学における大円はユークリッド空間における直線の自然な類似物です。球面上の反対心点ではない任意の 2 つの点に対して、両方を通過する唯一の大円が存在します。(任意の点を通るすべての大円はその反対心点も通るため、2 つの反対心点を通る大円は無限にあります。) 球面上の 2 つの異なる点間の 2 つの大円弧のうち短い方は短弧と呼ばれ、2 点間の最短の表面経路です。その弧の長さは、 2 点間の大円距離(球面上の固有距離)であり、 2 点と球の中心によって形成される 中心角の測定値に比例します。

大円は、任意の球面上に描くことができる最大の円です。任意の大円の直径は球面の直径と一致するため、すべての大円は球面と同心円であり、同じ半径を共有します。球面のその他の円は小円と呼ばれ、球面とその中心を通らない平面との交点です。小円は、ユークリッド空間の円の球面幾何学的類似物です。

ユークリッド 3 次元空間内のすべての円は、ちょうど 1 つの球面の大円です。

大円で囲まれた円盤は大円と呼ばれます。これは、球とその中心を通る平面の交点です。高次元では、 n球面上の大円は、ユークリッド空間R ^{n + 1}の原点を通る 2 平面とn球面の交点です。

大円の短円弧が球面上の 2 点を結ぶ最短経路であることを証明するには、変分法を適用します。

ある点から別の点へのすべての正規の経路のクラスを考えます。が北極と一致するように球座標を導入します。球面上の曲線で、端点を除いてどちらの極とも交わらないものは、次のようにパラメータ化できます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

与えられた値は任意の実数値を取ることができる。これらの座標における無限小弧の長さは ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

したがって、からまでの曲線の長さは、次式で与えられる曲線の 関数である。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

オイラー・ラグランジュ方程式によれば、が最小化されるのは次の場合のみである。 ${\displaystyle S[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}= Ｃ}$、

ここで は-独立な定数であり、 ${\displaystyle C}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta } }}.}$

これら2つの最初の式から、

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}$。

両辺を積分し、境界条件を考慮すると、 の実数解はゼロである。したがって、および は0 から までの任意の値を取ることができ、曲線は球面の子午線上になければならないことを示している。直交座標系では、これは ${\displaystyle C}$${\displaystyle \phi '=0}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

これは原点、つまり球の中心を通る平面です。

天球上の大円の例としては、天の地平線、天の赤道、黄道などがあります。大円は、地球の表面の測地線のかなり正確な近似値として、航空や海上航行（完全な球体ではありませんが）や、回転楕円体の天体にも使用されます。

理想的な地球の赤道は大円であり、任意の子午線とその反対の子午線は大円を形成します。もう 1 つの大円は、陸半球と水半球を分割するものです。大円は地球を 2 つの半球に分割し、大円が 1 つの点を通過する場合、その対蹠点も通過する必要があります。

ファンク変換は、球面上のすべての大円に沿って関数を積分します。

• 大楕円
• 等角線

• Great Circle – MathWorld の Great Circle の説明、図、方程式。Mathworld、Wolfram Research, Inc. c1999
• 『Great Circles on Mercator's Chart』、John Snyder 著、Jeff Bryant、Pratik Desai、Carl Woll による追加寄稿、Wolfram Demonstrations Projectより。