メートル法空間

数学において、距離空間とは、その要素（通常は点と呼ばれる）間の距離の概念を伴う集合である。距離は、距離関数または距離関数と呼ばれる関数によって測定される。^{[1]距離空間は、}数学的解析と幾何学 の多くの概念を研究するための最も一般的な設定である。

距離空間の最もよく知られた例は、通常の距離の概念を持つ3 次元ユークリッド空間です。他のよく知られた例としては、角距離を備えた球と双曲面 があります。距離は、物理的な概念ではなく、比喩的な概念に対応する場合があります。たとえば、100 文字の Unicode 文字列のセットには、ハミング距離を備えることができます。これは、ある文字列から別の文字列に変換するために必要な文字の数を測定します。

距離空間は非常に一般的なため、数学のさまざまな分野で使用されているツールです。多くの種類の数学的対象は自然な距離の概念を持っているため、リーマン多様体、ノルムベクトル空間、グラフなど、距離空間の構造を受け入れます。抽象代数学では、p進数は有理数上の距離構造の完成の要素として生じます。距離空間は、距離幾何学^[2]や距離空間の解析^[3]でも独自に研究されています。

球、完全性、一様連続性、リプシッツ連続性、ヘルダー連続性など、数学的解析の基本的な概念の多くは、距離空間の設定で定義できます。連続性、コンパクト性、開集合と閉集合などの他の概念は、距離空間だけでなく、さらに一般的な位相空間の設定でも定義できます。

距離に関するさまざまな概念の有用性を理解するには、地球の表面を点の集合として考えてみましょう。このような 2 点間の距離は、表面に沿った最短経路の長さ、つまり直線距離で測定できます。これは、船舶や航空輸送で特に役立ちます。また、地球内部を通る 2 点間の直線距離を測定することもできます。この概念は、たとえば地震学では自然です。地震波が 2 点間を移動するのにかかる時間の長さにほぼ対応しているからです。

距離空間の公理によってエンコードされた距離の概念には、比較的要件が少なくなっています。この一般性により、距離空間には多くの柔軟性がもたらされます。同時に、この概念は、距離が意味する多くの直感的な事実をエンコードするのに十分なほど強力です。これは、距離空間に関する一般的な結果が、さまざまなコンテキストに適用できることを意味します。

多くの基本的な数学的概念と同様に、計量空間上の計量はさまざまな方法で解釈できます。特定の計量は、物理的な距離を測定するものと考えるのが最適ではなく、ある状態から別の状態への変化のコスト (測度空間上のワッサーシュタイン計量など) または 2 つのオブジェクト間の相違の度合い (たとえば、2 つの文字列間のハミング距離、または計量空間自体間のグロモフ-ハウスドルフ距離) と考えるのが最適かもしれません。

正式には、距離空間は、 Mが集合であり、dがM上の距離である順序付きペア （M、d）であり、すべての点に対して次の公理を満たす関数である：^{[4] [5]}$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ある点からその点自体までの距離はゼロです。$${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (正値) 2 つの異なる点間の距離は常に正です。$${\displaystyle {\text{x\neq y{\text{の場合、d(x,y)>0}$$
3. (対称性) xからyまでの距離は常にyからxまでの距離と同じです。$${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. 三角不等式が成り立ちます。これは、距離に関する物理的概念と比喩的概念の両方の自然な特性です。つまり、y を経由して迂回することでxからzに到着できますが、これによって直線経路よりも移動距離が短くなることはありません。$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$

計量dが明確な場合、表記法の誤用により「計量空間M」と呼ばれることがよくあります。

2番目以外の公理をすべて採用することで、距離は常に非負であることを示すことができる。したがって、2番目の公理を次のように弱め、1番目と組み合わせると、となる。^[6]$${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)}$$${\textstyle {\text{x\neq y{\text{の場合、d(x,y)\neq 0}$${\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}$

絶対差によって与えられた距離関数を持つ実数は距離空間を形成します。距離空間とそれらの間の関数の多くの特性は、実解析の概念の一般化であり、実数直線に適用されたときにそれらの概念と一致します。 ${\displaystyle d(x,y)=|yx|}$

ユークリッド平面にはさまざまな距離を定義できます。学校の数学でおなじみのユークリッド距離は次のように定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{ 2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

タクシー距離またはマンハッタン距離は、記事の冒頭で示されているように、ある地点から別の地点まで移動するために水平線と垂直線に沿って移動する必要がある距離として定義され 、考えることができます。 $${\displaystyle d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2} -y_{1}|}$$

最大、、またはチェビシェフ距離は、次のように定義されます。 この距離は、平面上の経路の観点からは簡単に説明できませんが、それでも距離空間の公理を満たしています。これは、チェス盤上でキングが特定の空間上のある点から別の点に移動するために必要な移動回数と同様に考えることができます。 ${\displaystyle L^{\infty}}$$${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|, |y_{2}-y_{1}|\}.}$$

実際、これら 3 つの距離は、それぞれ異なる特性を持ちますが、いくつかの点で似ています。非公式に言えば、1 つの点が近い場合、他の点も近いということです。この観察結果は、 すべての点のペアに当てはまる式で定量化できます。 $${\displaystyle d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),}$$${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2}}$

アイバーソン括弧を 使用して設定することで、 根本的に異なる距離を定義できます 。 この離散計量では、すべての異なるポイントは 1 単位離れています。つまり、どのポイントも互いに近くはなく、どのポイントも互いに非常に離れていません。直感的には、離散計量はセットが平面であることを記憶しなくなり、それを単なる未分化のポイント セットとして扱います。 $${\displaystyle d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle d(p,q)=[p\neq q]}$$

これらの指標はすべて、および で意味を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

計量空間( M , d )と部分集合が与えられている場合、 Mの場合と同じ方法で距離を測定することにより、A を計量空間と見なすことができます。正式には、A上の誘導計量は、 によって定義される 関数です。 たとえば、2 次元球面S ²を の部分集合としてとると、 上のユークリッド計量によって、上で説明した直線計量がS ²上に誘導されます。さらに 2 つの有用な例として、実数直線の部分空間として考えられる開区間(0, 1)と閉区間[0, 1]があります。 ${\displaystyle A\subseteq M}$${\displaystyle d_{A}:A\times A\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle d_{A}(x,y)=d(x,y).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

アーサー・ケイリーは、その論文「距離について」で、距離の概念をユークリッド幾何学を超えて、射影空間内の円錐曲線で囲まれた領域にまで拡張した。距離は複比の対数で与えられた。円錐曲線が安定しない射影性は複比を一定に保つため、等長変換は暗黙的に行われる。この方法は楕円幾何学と双曲幾何学のモデルを提供し、フェリックス・クラインはいくつかの出版物で、ケイリー・クライン距離を使用することで非ユークリッド幾何学の分野を確立した。

計量的性質を持つ抽象空間のアイデアは1906年にルネ・モーリス・フレシェによって提唱され^{[7] 、}計量空間という用語は1914年にフェリックス・ハウスドルフによって造られた^{[8] [9] [10]。}

フレシェの研究は、収束、連続性、および非幾何学的空間におけるその他の重要な概念を理解するための基礎を築きました。これにより、数学者は関数とシーケンスをより広範かつ柔軟な方法で研究できるようになりました。これは、成長しつつあった関数解析の分野にとって重要でした。ハウスドルフやシュテファン・バナッハなどの数学者は、距離空間の枠組みをさらに洗練し、拡張しました。ハウスドルフは、距離空間の一般化として位相空間を導入しました。バナッハの関数解析の研究は、距離構造に大きく依存していました。時が経つにつれて、距離空間は現代数学の中心的部分になりました。距離空間は、位相幾何学、幾何学、応用数学など、さまざまな分野に影響を与えています。距離空間は、抽象的な数学概念の研究において重要な役割を果たし続けています。

距離関数は、実解析で初めて開発された近似性と収束性の概念を定義するのに十分です。計量空間の構造に依存する特性は、計量特性と呼ばれます。すべての計量空間は位相空間でもあり、一部の計量特性は、位相の言語で距離を参照せずに言い換えることもできます。つまり、それらは実際には位相特性です。

距離空間M内の任意の点xと任意の実数r > 0について、x の周りの半径rの開球は、 xからの距離r未満である点の集合として定義されます。 これは、 x に比較的近い点の集合を定義する自然な方法です。したがって、集合がxの近傍(非公式には、 xに「十分に近い」すべての点を含む) であるとは、何らかのr > 0についてx の周りの半径rの開球を含む場合です。 $${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$${\displaystyle N\subseteq M}$

開集合とは、そのすべての点の近傍である集合です。したがって、開球はM上の位相の基底を形成します。言い換えると、Mの開集合はまさに開球の和集合です。どの位相でもそうですが、閉集合は開集合の補集合です。集合は、開いていて閉じている場合もあれば、開いても閉じていない場合もあります。

この位相は、距離空間に関するすべての情報を持っているわけではありません。たとえば、上で定義した距離d ₁、d ₂、およびd _{∞ は}すべて、多くの点で動作が異なりますが、 上で同じ位相を誘導します。同様に、ユークリッド計量とその部分空間では、誘導された計量を持つ区間(0, 1)は同相ですが、計量特性は非常に異なります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

逆に、すべての位相空間に計量を与えることができるわけではありません。計量と両立する位相空間は計量可能と呼ばれ、特に多くの点で適切に動作します。特に、それらはパラコンパクト^[11] ハウスドルフ空間（したがって正規）であり、第一可算です。^[a] 永田–スミルノフ計量化定理は、計量を参照せずに、他の位相的性質の観点から計量可能性を特徴付けます。

ユークリッド空間における数列の収束は次のように定義されます。

数列( x _n )が点xに収束するとは、すべてのε > 0に対して、すべてのn > Nに対してd ( x _n , x ) < εとなる整数Nが存在する場合である。

位相空間におけるシーケンスの収束は次のように定義されます。

数列( x _n )が点xに収束するとは、 x を含むすべての開集合Uに対して、すべてのn > Nに対して、となる整数Nが存在する場合です。${\displaystyle x_{n}\in U}$

計量空間では、これらの定義は両方とも意味をなしており、同等です。これは、計量​​空間の位相的特性の一般的なパターンです。純粋に位相的な方法で定義することもできますが、より簡単に記述できる、または実際の分析からより馴染みのある計量を使用する方法がよくあります。

非公式には、距離空間は「欠けている点」がなければ 完全です。つまり、何かに収束するはずのように見えるすべてのシーケンスは、実際に収束します。

正確に言うと、距離空間M内の数列( x _n )がコーシー数列であるとは、すべてのε > 0に対して、すべてのm , n > Nに対してd ( x _m , x _n ) < εとなる整数Nが存在する場合です。三角不等式により、任意の収束数列はコーシー数列です。つまり、x _mとx _{n が}両方とも極限からε未満離れている場合、それらは互いから2ε未満離れています。逆が真である場合、つまりM内のすべてのコーシー数列が収束する場合、Mは完全です。

ユークリッド空間は、上で説明した他の計量と同様に完全です。完全でない空間の 2 つの例は、(0, 1)と有理数で、それぞれ から誘導される計量を持ちます。 (0, 1)は、端点 0 と 1 が「欠けている」と考えることができます。有理数にはすべての無理数が欠けています。これは、無理数には、それに収束する有理数の列(たとえば、その連続する小数近似) があるためです。これらの例は、完全性が位相的特性ではないことを示しています。なぜなら、 は完全ですが、同相空間(0, 1)は完全ではないからです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この「欠けている点」という概念は、明確にすることができます。実際、すべての距離空間には、与えられた空間を稠密な部分集合として含む完全な空間である、唯一の完備化があります。たとえば、[0, 1] は(0, 1)の完備化であり、実数は有理数の完備化です。

完備空間は一般に扱いやすいため、数学全体にわたって完備化が重要になります。たとえば、抽象代数では、p進数は異なる計量の下での有理数の完備化として定義されます。完備化は関数解析のツールとして特によく使用されます。多くの場合、優れた関数の集合とそれらの間の距離を測定する方法があります。この計量空間の完備化を行うと、優れた関数の集合ほど優れていない可能性がありますが、重要な点で元の優れた関数と同様に動作するため、それでも便利です。たとえば、微分方程式の弱い解は、微分方程式が実際に意味をなす優れた関数の元の空間ではなく、 完備化 (ソボレフ空間) に存在します。

距離空間Mが有界であるとは、 M内のどの点のペアも距離r以上離れていないrが存在する場合である。^{[b]そのような}r の最小値はMの直径。

空間M は、任意のr > 0に対して半径 r の開球による有限被覆が存在する場合、プレコンパクトまたは全有界であると呼ばれます。すべての全有界空間は有界です。これを確認するには、任意のrに対するr球による有限被覆から始めます。これらの球の中心からなるMの部分集合は有限であるため、その直径は有限で、たとえばDです。三角不等式により、空間全体の直径は最大でD + 2 rです。逆は成り立ちません。有界だが全有界ではない計量空間の例は、離散計量を持つ (またはその他の無限集合) です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

コンパクト性は、ユークリッド空間の閉じた有界な部分集合の特性を一般化する位相的特性です。距離空間におけるコンパクト性の同等の定義はいくつかあります。

1. 距離空間M は、すべての開被覆が有限の部分被覆を持つ場合、コンパクトです (通常の位相的定義)。
2. 距離空間Mは、すべてのシーケンスに収束する部分シーケンスがある場合にコンパクトです。(一般的な位相空間では、これはシーケンスコンパクト性と呼ばれ、コンパクト性とは同義ではありません。)
3. 距離空間M は、完全かつ完全に有界である場合にコンパクトです。(この定義は距離特性の観点から書かれており、一般的な位相空間では意味をなさないが、コンパクトであることと同値であるため、位相的に不変である。)

コンパクト空間の一例としては閉区間[0, 1]がある。

コンパクト性は、完全性と同様の理由で重要です。つまり、極限を見つけやすくなるからです。もう 1 つの重要なツールは、コンパクト空間の任意の開被覆について、すべての点が被覆の集合のいずれかの内部に比較的深く位置することを示すルベーグ数の補題です。

位相空間や群や環などの代数構造の場合とは異なり、距離空間間には構造保存関数の「正しい」タイプは 1 つだけではありません。代わりに、目的に応じて異なるタイプの関数を扱います。このセクション全体を通じて、と は2 つの距離空間であると仮定します。「関数」と「マップ」という単語は同じ意味で使用されます。 ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

「構造保存」マップの 1 つの解釈は、距離関数を完全に保存するものです。

関数が距離保存関数^{[12]であるとは、} M1内の点xと_点yの任意のペアに対して、${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

距離保存関数は単射であることが距離空間の公理からわかる。単射な距離保存関数は等長写像と呼ばれる。^[13] この論文で述べた空間間の等長写像の1つのおそらく自明ではない例は、次のように定義される 写像である。${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$$${\displaystyle f(x,y)=(x+y,xy).}$$

空間M ₁とM ₂の間に等長関係がある場合、それらの空間は等長空間であると言われます。等長距離空間は本質的に同一です。

反対に、計量構造を完全に忘れて、位相構造のみを保存する連続写像を研究することもできます。計量空間の連続性には同等の定義がいくつかあります。最も重要なものは次のとおりです。

• 位相的な定義。関数が連続であるとは、 M ₂内のすべての開集合Uに対して、その逆像が開いていることをいう。${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
• 連続関数とは、関数列( x _n ) がM ₁内の点xに収束するときは常に、関数列がM ₂内の点f ( x )に収束する場合です。${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$

(最初の 2 つの定義は、すべての位相空間に対して同等というわけではありません。)

• ε–δ 定義。関数が連続であるとは、M ₁の任意の点xと任意のε > 0に対してδ > 0が存在し、M ₁の任意のyに対して次が成り立つ場合である。${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

同相写像は、その逆写像も連続であるような連続な一対一写像です。M 1 と M 2 の間に同相写像がある場合、それらは_同相であると言われます。同相空間は位相の観点からは同じですが、測定特性が大きく異なる場合があります。たとえば、は有界ではなく完全ですが、₍ 0, 1)は有界ですが完全ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

関数が一様連続であるとは、任意の実数ε > 0に対してδ > 0が存在し、 M ₁内の任意の点xとyに対して、次が成り立つときである。${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle d(x,y)<\delta }$$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

この定義と連続性の ε–δ 定義の唯一の違いは量指定子の順序です。 δ の選択は ε のみに依存し、点xには依存しません。 ただし、この微妙な変更が大きな違いを生みます。 たとえば、一様連続写像は、M _{1の Cauchy 列を}M ₂の Cauchy 列に変換します。 言い換えると、一様連続性は、純粋に位相的ではないいくつかのメトリック特性を保存します。

一方、ハイン・カントール定理は、 M ₁がコンパクトであれば、すべての連続写像は一様連続であると述べています。言い換えれば、一様連続性は、コンパクト距離空間の非位相的特徴を区別することはできません。

リプシッツ写像は、距離を最大でも制限された係数だけ引き伸ばす写像である。正式には、実数K > 0が与えられたとき、写像はK -リプシッツである 。リプシッツ写像は距離保存写像よりも柔軟性が高く、それでも計量を本質的に使用するため、計量幾何学では特に重要である。[ ^14] たとえば、計量空間内の曲線が修正可能である（有限の長さを持つ）のは、リプシッツ再パラメータ化がある場合のみである。 ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{すべて}}\quad x,y\in M_{1}.}$$

1-リプシッツ写像は非拡大写像または計量写像と呼ばれることもあります。計量写像は一般に、計量空間のカテゴリの射であるとみなされます。

K < 1の K -リプシッツ写像は縮約と呼ばれる。バナッハの不動点定理は、M が完全な距離空間であれば、すべての縮約は一意の不動点を許容すると述べている。距離空間Mがコンパクトな場合、結果はfに関してわずかに弱い条件で成り立つ。つまり、写像が一意の不動点を許容する場合、 ${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle f:M\to M}$$${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{すべて}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

準等長写像は、距離空間の「大規模構造」を保存する写像である。準等長写像は連続している必要はない。例えば、とその部分空間は、一方が連結でもう一方が離散的であっても、準等長写像である。準等長写像の同値関係は幾何学的群論において重要である。シュヴァルツ・ミルノール補題は、群が幾何学的に作用するすべての空間は準等長写像であると述べている。^[15]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

正式には、定数A ≥ 1およびB ≥ 0が存在して となる場合、マップ は準等長埋め込みです。さらにそれが準全射である場合 、つまり定数C ≥ 0が存在して 内のあらゆる点が画像内のある点から最大C の距離にある場合、それは準等長です。 ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$$${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ すべての }}\quad x,y\in M_{1} に対して。}$$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle f(M_{1})}$

2つの距離空間とが与えられる: ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• それらの間に同相写像（つまり、連続逆写像を持つ連続一対一写像）がある場合、それらは同相（位相的に同型）であると呼ばれます。および恒等写像が同相写像である場合、 およびは位相的に同値であると言われます。${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$
• それらの間に一様同型性（つまり、一様連続な逆を持つ一様連続な一対一変換）がある場合、それらは一様（一様同型）であると呼ばれます。
• それらの間に双リプシッツ全単射（つまり、リプシッツ逆写像を持つリプシッツ全単射）がある場合、それらは双リプシッツ同相と呼ばれます。
• それらの間に（全単射の）等長関係がある場合、それらは等長と呼ばれます。この場合、2 つの距離空間は本質的に同一です。
• それらの間に準等長関係がある場合、それらは準等長関係と呼ばれます。

ノルム付きベクトル空間は、ベクトルの長さを測る関数であるノルム を備えたベクトル空間です。ベクトルvのノルムは、通常 で表されます。任意のノルム付きベクトル空間には、2つのベクトルxとyの間の距離が で与えられる 計量を備えることができます。 計量dは、ノルム によって誘導されると言われています。逆に、^[16]ベクトル空間X上の計量dが ${\displaystyle \lVert v\rVert }$$${\displaystyle d(x,y):=\lVert xy\rVert .}$$${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$

• 平行移動不変: X内の任意のx、y、aに対して;${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$
• 絶対同次:Xのxとyおよび実数αに対して;${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

それはノルムによって誘導される計量です。 半ノルムと疑似計量 の間にも同様の関係が成り立ちます。 $${\displaystyle \lVert x\rVert :=d(x,0).}$$

ノルムによって誘導される計量の例としては、上の計量d ₁、d ₂、d _∞があり、これらはそれぞれマンハッタンノルム、ユークリッドノルム、最大ノルムによって誘導されます。より一般的には、クラトフスキー埋め込みにより、任意の計量空間をノルム付きベクトル空間のサブスペースとして見ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

無限次元ノルムベクトル空間、特に関数の空間は、関数解析で研究されます。この文脈では完全性が特に重要であり、完全なノルムベクトル空間はバナッハ空間として知られています。ノルムベクトル空間の珍しい性質は、それらの間の線型変換が連続であるためには、それらがリプシッツである場合に限るということです。このような変換は有界演算子として知られています。

距離空間( M , d )内の曲線は連続関数です。γの長さは で測られます。 一般に、この上限は無限大になることがあります。有限長の曲線は、修正可能と呼ばれます。^[17] 曲線γの長さが、その端点間の距離に等しいとします。つまり、端点間の最短経路です。弧の長さで再パラメータ化すると、γ は測地線、つまり距離保存関数である曲線になります。 ^[15] 測地線は、その任意の 2 点間の最短経路です。^[c]${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$$${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$

測地距離空間は、その任意の 2 点間に測地線を許容する距離空間です。空間と はどちらも測地距離空間です。 では測地線は 1 つだけですが、 では、記事の先頭の図に示すように、2 点間に測地線が無限に存在することがよくあります。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$

空間Mが長さ空間(または計量dが固有)であるとは、任意の 2 点xとyの間の距離が、それらの間の経路の長さの最小値である場合です。測地線計量空間とは異なり、最小値に到達する必要はありません。測地線でない長さ空間の例としては、原点を除いたユークリッド平面が挙げられます。点(1, 0)と点(-1, 0)は、長さが 2 に任意に近い経路で結ぶことができますが、長さ 2 の経路では結ぶことができません。長さ空間でない計量空間の例としては、球面上の直線計量があります。地球の中心を通る 2 点間の直線は、表面に沿ったどの経路よりも短くなります。

任意の距離空間( M、d )が与えられた場合、点xとyの間の距離をそれらの間の経路のd長さの最小値に設定することにより、 M上の新しい固有距離関数d _{intrinsic を}定義できます。たとえば、d が球面上の直線距離である場合、d _{intrinsic は}大圏距離です。ただし、場合によってはd _{intrinsic が}無限の値を持つことがあります。たとえば、Mが から誘導された部分空間距離dを持つコッホの雪片である場合、結果として得られる固有距離は任意の異なる点のペアに対して無限大になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

リーマン多様体は、あらゆる点における接ベクトルの長さを決定するリーマン計量テンソルを備えた空間です。これは、距離の概念を無限小に定義するものと考えることができます。特に、リーマン多様体M内の微分可能なパスの長さは、パスの接ベクトルの長さの積分として定義されます。 連結リーマン多様体では、2 点間の距離を、それらの間の滑らかなパスの長さの下限として定義します。この構成は、サブリーマン計量やフィンスラー計量 など、多様体上の他の種類の無限小計量に一般化されます。 ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$$${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$

リーマン計量は距離関数によって一意に決定される。つまり、原理的には、リーマン多様体に関するすべての情報は、その距離関数から復元できる。計量幾何学の1つの方向性は、リーマン多様体の特性の純粋に計量的な（「合成的な」）定式化を見つけることである。たとえば、リーマン多様体は、その断面曲率がkによって上方に制限される場合に限り、 CAT( k )空間（計量にのみ依存する合成条件）である。^[20] したがって、CAT( k )空間は、一般的な計量空間への上方曲率境界を一般化する。

実解析では、 上の計量とルベーグ測度の両方が利用される。したがって、解析学からの多くのアイデアの一般化は、自然に計量測度空間、つまり互いに互換性のある測度と計量の両方を持つ空間に存在する。正式には、計量測度空間は、すべての球が正の測度を持つようなボレル正則測度を備えた計量空間である。 ^[21] たとえば、次元nのユークリッド空間、およびより一般的にはn次元リーマン多様体は、自然にルベーグ測度を備えた計量測度空間の構造を持つ。シェルピンスキーのガスケットなどの特定のフラクタル計量空間は、α 次元ハウスドルフ測度(α はハウスドルフ次元) を備えることができる。ただし、一般に、計量空間には「自明な」測度の選択肢がない可能性がある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

計量測度空間の応用の一つは、リーマン多様体を超えてリッチ曲率の概念を一般化することにある。CAT ( k )空間とアレクサンドロフ空間が断面曲率の境界を一般化するのと同様に、RCD空間はリッチ曲率の下限を一般化する計量測度空間の一種である。^[22]

あ距離空間は、その誘導位相が離散位相である場合に離散的である。完全性やコンパクト性など多くの概念はそのような空間では興味深いものではないが、それでも数学のいくつかの分野で研究対象となっている。特に、有限距離空間（有限個の点を持つ空間）は、組合せ論や理論計算機科学で研究されている。 ^[23] 他の距離空間への埋め込みは特によく研究されている。例えば、すべての有限距離空間がユークリッド空間やヒルベルト空間に等長的に埋め込まれるわけではない。一方、最悪の場合でも、必要な歪み（ビリプシッツ定数）は点の数に対して対数的であるに過ぎない。 ^{[24] [25]}

任意の無向連結グラフ Gについて、頂点xとyの間の距離を、それらを結ぶ最短の辺経路の長さと定義することで、 Gの頂点の集合V を距離空間に変換できます。これは、最短経路距離または測地線距離とも呼ばれます。幾何学的群論では、この構成は（通常は無限の）有限生成群のケイリーグラフに適用され、メトリックという言葉が生成されます。ビリプシッツ同相写像まで、メトリックという言葉はグループのみに依存し、選択された有限生成集合には依存しません。^[15]

現代数学では、点自体が数学的な対象である空間を研究することがよくあります。このような空間上の距離関数は、通常、2 つのオブジェクト間の相違を測定することを目的としています。次に例をいくつか示します。

• 関数を距離空間に変換します。Xが任意の集合でM が距離空間である場合、すべての有界関数(つまり、像が の 有界部分集合である関数) の集合は、2 つの有界関数fとg の間の距離を と定義することによって距離空間に変換できます。この距離は、均一距離または上限距離と呼ばれます。^[26] Mが完備である 場合、この関数空間も完備です。さらに、Xも位相空間である場合、XからMへのすべての有界連続関数からなる部分空間も完備です。X が の部分空間である場合、この関数空間は古典的なウィーナー空間として知られています。${\displaystyle f\colon X\to M}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 文字列メトリックと編集距離。文字列間の距離を測定する方法は多数あり、文字列は計算言語学の文や符号理論のコードワードを表すことがあります。 編集距離は、ある文字列から別の文字列に移行するために必要な変更の数を測定します。たとえば、ハミング距離は必要な置換の最小数を測定し、レーベンシュタイン距離は削除、挿入、置換の最小数を測定します。これらは両方とも、適切なグラフ内の距離と考えることができます。
• グラフ編集距離は、 2 つのグラフ間の相違点の尺度であり、1 つのグラフを別のグラフに変換するために必要なグラフ編集操作の最小数として定義されます。
• ワッサーシュタイン距離は、同じ距離空間上の2 つの測度間の距離を測定します。2 つの測度間のワッサーシュタイン距離は、大まかに言えば、一方を他方に転送するコストです。
• ある体上のすべてのm行n 列の行列の集合は、階数距離に関する距離空間です。${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$
• ゲーム理論におけるヘリー指標は、ゲーム内の戦略の違いを測定します。

数学的対象の空間という概念は、距離空間自体だけでなく、距離空間の部分集合にも適用できます。ハウスドルフ距離とグロモフ-ハウスドルフ距離は、それぞれ距離空間のコンパクトな部分集合の集合とコンパクトな距離空間の集合上の距離を定義します。

( M , d ) が 距離空間で、SがMのサブセットであるとします。SからMの点xまでの距離は、非公式には、 xからSの最近点までの距離です。ただし、最近点が 1 つだけであるとは限らないため、最小値によって定義されます。 特に、x がSの閉包に属する場合のみです。さらに、点と集合の間の距離は三角不等式のバージョンを満たします。 したがって、によって定義される マップは連続です。ちなみに、これは距離空間が完全に正則であることを示しています。 $${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$${\displaystyle d(x,S)=0}$$${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$

Mの2 つの部分集合SとT が与えられた場合、それらのハウスドルフ距離は です 。非公式には、 Sのどの要素もTから遠すぎなければ、 2 つの集合SとTはハウスドルフ距離が近いと言えます。また、その逆も同様です。たとえば、Sがユークリッド空間内の開集合で、T がS内のε-ネットである場合、 となります。一般に、ハウスドルフ距離は無限大またはゼロになることがあります。ただし、2 つの異なるコンパクト集合間のハウスドルフ距離は常に正で有限です。したがって、ハウスドルフ距離はMのコンパクト部分集合の集合上の測定基準を定義します。 $${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

グロモフ・ハウスドルフ距離は、コンパクト距離空間（の等長類）間の距離を定義します。コンパクト空間XとY間のグロモフ・ハウスドルフ距離は、 XとY を部分空間として含むすべての距離空間Z上のハウスドルフ距離の最小値です。グロモフ・ハウスドルフ距離の正確な値を知ることはめったに役に立ちませんが、結果として得られる位相は多くの用途で使用されています。

• 計量空間( X , d )と、t = 0のときのみf ( t ) = 0となるような増加する凹関数 が与えられた場合、もX上の計量である。ある実数α < 1に対してf ( t ) = t ^{α が}成り立つ場合、そのような計量はdのスノーフレークと呼ばれる。^[27]${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$
• 距離空間のタイトスパンは、凸包の抽象バージョンとして考えることができる別の距離空間です。
• ナイトの移動メトリック、つまりナイトが 内のある点から別の点に到達するために必要な最小の移動回数は、 上のメトリックです。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• ノルムベクトル空間上の英国鉄道計量（「郵便局計量」または「SNCF計量」とも呼ばれる）は、異なる点および 、およびに対して で定義されます。より一般的には、 は、任意の非負の実数集合を取り、値を最大で 1 回取る関数に置き換えることができます。この場合、計量は、異なる点および 、および に対してで定義されます。 この名前は、鉄道の旅が最終目的地に関係なくロンドン（またはパリ）経由で進む傾向があることを暗示しています。${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$
• 系統学における系統樹間の距離を計算するために使用されるロビンソン・ファウルズ測定基準[ ^28]

が計量空間で、N が上のユークリッドノルムである場合、 は計量空間であり、積計量はによって定義され 、誘導された位相は積位相と一致します。有限次元におけるノルムの同値性により、Nがタクシーノルム、p ノルム、最大ノルム、または正のn組の座標が増加しても減少しない (三角不等式を生じる) その他のノルムである場合、位相的に同値な計量が得られます。 ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$$${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$

同様に、可算個数の距離空間の位相積上の距離は、距離 $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

非可算な距離空間の位相積は、距離化可能である必要はありません。たとえば、 のコピーの非可算な積は第一可算ではないため、距離化できません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

M が計量d を持つ計量空間であり、がM上の同値関係である場合、商集合に擬距離を与えることができます。2 つの同値類との距離は、すべての有限列と、、、に対して最小値が取られる と定義されます 。^[29]一般に、これは擬距離のみを定義します。つまり、必ずしも を意味するわけではありません。ただし、いくつかの同値関係(たとえば、面に沿って多面体を貼り合わせることで得られる関係) では、は計量です。 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle M/\!\sim }$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$$${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$${\displaystyle p_{1}\sim x}$${\displaystyle q_{n}\sim y}$${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$${\displaystyle d'([x],[y])=0}$${\displaystyle [x]=[y]}$${\displaystyle d'}$

商計量は、次の普遍的性質によって特徴付けられる。 が、f ( x ) = f ( y )を満たす計量空間間の計量（すなわち、1-リプシッツ）写像である場合、によって与えられる誘導関数は計量写像である。${\displaystyle d'}$${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X}$${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).}$

商計量は常に商位相を誘導するわけではない。例えば、形式のすべての点を識別する計量空間の位相商は、第一可算ではないため計量化できないが、商計量は同じ集合上の明確に定義された計量であり、より粗い位相を誘導する。さらに、元の位相空間（可算なほど多くの区間の互いに素な和集合）上の異なる計量は、商上の異なる位相につながる。^[30]${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$${\displaystyle (n,0)}$

位相空間が連続的であるためには、それが距離空間の（位相的）商でなければならない。^[31]

距離空間よりも構造が少ないが、位相空間よりも構造が多い空間の概念がいくつかあります。

• 均一空間とは、距離は定義されていないが、均一な連続性が定義されている空間です。
• アプローチ空間は、点と点の距離ではなく、点と集合の距離が定義される空間です。これらは、カテゴリ理論の観点から特に優れた特性を持っています。
• 連続空間は、距離空間と位置セットの一般化であり、距離空間と位置セットの概念を統一するために使用できます。

計量の公理を緩和する方法も数多くあり、一般化された計量空間のさまざまな概念が生まれます。これらの一般化を組み合わせることもできます。これらを説明するために使用される用語は完全に標準化されていません。最も顕著なのは、関数解析では擬似計量はベクトル空間の半ノルムから派生することが多いため、それらを「半計量」と呼ぶのが自然であるということです。これは、位相幾何学における用語の使用と矛盾します。

距離関数d が値 ∞ を達成できるようにメトリックを定義する人もいます。つまり、距離は拡張された実数直線上の非負の数です。 ^[4] このような関数は、拡張メトリックまたは「∞メトリック」とも呼ばれます。すべての拡張メトリックは、位相的に同等な実数値メトリックに置き換えることができます。これは、ゼロでゼロになる、たとえばまたは などの、加法性のない単調増加の有界関数を使用して行うことができます。 ${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$

メトリックが値を取得するという要件は、次のような他の構造の値を持つメトリックを考慮するために緩和できます。 ${\displaystyle [0,\infty )}$

• 順序付けられたフィールド。一般化されたメトリックの概念を生み出します。
• より一般的な有向集合。加算演算がない場合、三角不等式は意味をなさないため、超距離不等式に置き換えられます。これにより、一般化された超距離の概念が生まれます。^[32]

これらの一般化は、依然として空間上に 均一な構造を誘導します。

擬距離関数は、距離の公理を満たす関数であるが、2番目の条件（識別不能なものの同一性）の代わりに、すべてに対してのみ条件が求められる。^[33]言い換えれば、擬距離関数の公理は以下の通りである。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$。

いくつかの文脈では、擬似計量は半基準との関係から半計量^[34]と呼ばれる。

時々、準距離関数は対称性を除いて距離に関するすべての公理を満たす関数として定義される。^[35]この一般化の名前は完全に標準化されていない。^[36]

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

準距離は現実世界でよく見られます。たとえば、山間の村々の集合Xが与えられた場合、上り坂の移動は下り坂の移動よりも時間がかかるため、 Xの要素間の典型的な歩行時間は準距離を形成します。もう 1 つの例は、一方通行の道路がある都市での自動車での移動時間です。この場合、ポイントAからポイントBへの最短経路は、 BからAへの最短経路とは異なる道路のセットを通るため、長さが異なる場合があります。

実数上の準距離は、 と設定することで定義できます。 1 は、たとえば、無限大や 、あるいはy - xの他の部分加法関数に置き換えることができます。 この準距離は、金属の棒を修正するコストを表します。 やすりで削ってサイズを小さくするのは簡単ですが、大きくするのは困難または不可能です。 $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$

X上の準距離が与えられた場合、 x の周りのR球を集合 として定義できます。距離の場合と同様に、このような球はX上の位相の基底を形成しますが、この位相は距離化可能である必要はありません。たとえば、上記の実数上の準距離によって誘導される位相は、（逆の）ソルゲンフライ線です。 ${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$

メタメトリックでは、同一点間の距離が必ずしもゼロではないことを除いて、メトリックのすべての公理が満たされます。言い換えると、メタメトリックの公理は次のとおりです。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

メタメトリクスはグロモフ双曲的計量空間とその境界の研究に現れる。そのような空間上の視覚的なメタメトリクスは境界上の点に対してを満たすが、そうでない場合は から境界までの距離にほぼ等しい。メタメトリクスはユッシ・ヴァイサラによって初めて定義された。 ^[37] 他の研究では、これらの公理を満たす関数は部分計量^{[38] [39]}またはずれた計量と呼ばれる。^[33]${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,x)}$${\displaystyle x}$

上の半距離関数は、最初の 3 つの公理を満たす関数ですが、必ずしも三角不等式を満たすわけではありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

一部の著者は、次のような三角不等式のより弱い形式を扱っています。

ρ-インフレームメトリック不等式はρ-緩和三角不等式（第1公理を仮定）を意味し、ρ-緩和三角不等式は2ρ-インフレームメトリック不等式を意味する。これらの同値条件を満たす半距離は、準距離^[40] 、近距離^[41]、またはインフレームメトリック^[42]と呼ばれることもある。

ρ-インフレームメトリック不等式は、インターネットの往復遅延時間をモデル化するために導入されました。^[42]三角不等式は2-インフレームメトリック不等式を意味し、超距離不等式はまさに1-インフレームメトリック不等式です。

最後の 3 つの公理を緩和すると、プレメトリック、つまり次の条件を満たす関数 の概念が導き出されます。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

これは標準的な用語ではありません。擬半距離^[43]や擬計量^[44]などの他の一般化された計量を指すために使用されることもあります。ロシア語の本の翻訳では「プラメトリック」と表記されることもあります。 ^[45]対称性を満たすプレメトリック、つまり擬半距離は距離とも呼ばれます。^[46]

任意の前計量から次のような位相が生まれる。正の実数 に対して、点を中心とする球体は次のように定義される。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

集合が開集合と呼ばれるのは、集合内の任意の点に対してを中心とする- 球が存在し、それが集合に含まれる場合である。すべての前計量空間は位相空間であり、実際は連続空間である。一般に、- 球自体はこの位相に関して開集合である必要はない。計量に関しては、2 つの集合との間の距離は次のように定義される。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

これは、前計量空間のべき集合上の前計量を定義します。(擬半)計量空間から始めると、擬半計量、つまり対称前計量が得られます。任意の前計量は、次のように前閉包演算子 を生じます。 ${\displaystyle cl}$

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

接頭辞pseudo-、quasi-、semi- は組み合わせることもできます。たとえば、擬似準距離(半距離と呼ばれることもあります) は、識別不能公理と対称性公理の両方を緩和し、単に三角不等式を満たす前距離です。擬似準距離空間では、開球は開集合の基底を形成します。擬似準距離空間の非常に基本的な例は、前距離が および で与えられる集合です。関連する位相空間は、シェルピンスキー空間です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle d(0,1)=1}$${\displaystyle d(1,0)=0.}$

拡張擬似準距離空間を備えた集合は、ウィリアム・ローヴェアによって「一般化距離空間」として研究された。^[47]カテゴリの観点からは、拡張擬似距離空間と拡張擬似準距離空間は、対応する非拡大写像とともに、距離空間カテゴリの中で最も振る舞いのよいものである。任意の積と余積を取り、与えられたカテゴリ内で商オブジェクトを形成することができる。「拡張」を省略すると、有限の積と余積しか取れなくなる。「擬似」を省略すると、商を取ることができなくなる。

Lawvere は、このような空間を、豊富なカテゴリとして別の定義も与えました。順序付き集合は、の場合に1 つの射を持ち、そうでない場合は射を持たないカテゴリと見ることができます。テンソル積として+ を使用し、恒等関数として 0 を使用すると、このカテゴリはモノイド カテゴリになります。すべての (拡張擬似準) 距離空間は、上で豊富なカテゴリと見なすことができます。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle a\to b}$${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle R^{*}}$

• このカテゴリの対象はMの点です。
• となる点xとyのあらゆるペアに対して、のオブジェクトが割り当てられる単一の射が存在します。${\displaystyle d(x,y)<\infty }$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle R^{*}}$
• 三角不等式と、すべての点xに対してであるという事実は、強化されたカテゴリにおける合成と単位の性質から導き出されます。${\displaystyle d(x,x)=0}$
• は poset なので、拡張カテゴリに必要なすべての図は自動的に交換されます。${\displaystyle R^{*}}$

メトリックの概念は、2つの要素間の距離から、要素の多重集合に割り当てられた数値へと一般化できます。多重集合は、要素が複数回出現する可能性がある集合の概念の一般化です。多重集合の和集合を次のように定義します。要素xがXにm回出現し、Yにn回出現する場合、 Uにはm + n回出現します。集合Mの要素の空でない有限多重集合の集合上の関数dは、メトリック^[48]です。 ${\displaystyle U=XY}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$Xのすべての要素が等しい場合、そうでない場合（正定値性）${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$（順序付けされていない）多重集合Xのみに依存する（対称性）
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$（三角不等式）

多重集合X が2 つの要素を持つ公理 1 と 2 の場合と、多重集合X、Y、Zがそれぞれ 1 つの要素を持つ公理 3 の場合を考慮すると、メトリックの通常の公理が復元されます。つまり、多重集合メトリックはすべて、2 つの要素の集合に制限されると、通常のメトリックを生成します。

簡単な例としては、を満たす整数の空でない有限多重集合全体の集合が挙げられる。より複雑な例としては、多重集合における情報距離^[48]や、多重集合における正規化圧縮距離（NCD） ^[49]などがある。${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$

• 音響メトリック – 媒体内の信号伝達特性を特徴付けるテンソル
• 完全な計量空間 – 計量幾何学
• 多様性（数学）  - 距離空間の一般化
• 一般化計量空間
• ヒルベルトの第4問題 – 球面上の線と類似するすべての距離空間を構築する
• メトリックツリー
• ミンコフスキー距離 – ノルムベクトル空間における数学的距離
• 符号付き距離関数 – ある点から集合の境界までの距離
• 類似度測定 – 2つのオブジェクト間の類似性を定量化する実数値関数
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的な集合
• 超距離空間 – 距離空間の種類

• 「距離空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 遠くと近く -結び目を切るときの距離関数のいくつかの例。