ヤコビのアイデンティティ

数学において、ヤコビ恒等式は、評価の順序、つまり多重積における括弧の位置が演算結果にどのように影響するかを記述する二項演算の性質です。対照的に、結合法則を持つ演算では、評価の順序に関係なく同じ結果が得られます（多重積における括弧は必要ありません）。この恒等式は、ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられました。彼は、1862年の微分方程式に関する論文で、ポアソン括弧のヤコビ恒等式を導出しました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

クロス積${\displaystyle a\times b}$およびライブラケット操作${\displaystyle [a,b]}$どちらもヤコビ恒等式を満たします。^{[ 3 ]}解析力学では、ポアソン括弧によってヤコビ恒等式が満たされます。量子力学では、ヒルベルト空間上の演算子交換子によって満たされ、量子力学の位相空間定式化では、モヤル括弧によって等価的に満たされます。

させて${\displaystyle +}$二項演算であり、${\displaystyle \times }$ を反可換な二項演算とし、${\displaystyle 0}$アイデンティティ要素となる${\displaystyle +}$.ヤコビ恒等式は

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

この恒等式の左辺の変数のパターンに注目してください。次の形式の各式において${\displaystyle a\times (b\times c)}$変数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$そして${\displaystyle z}$サイクルに従って順列化される${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$あるいは、順序付けられた三つ組を観察することもできます。${\displaystyle (x,y,z)}$、${\displaystyle (y,z,x)}$そして${\displaystyle (z,x,y)}$は、順序付き三つ組の偶数順列である。${\displaystyle (x,y,z)}$。

外積のヤコビ恒等式は、回転する基準座標系に対して固定されたままの2つのベクトルの外積も、その基準座標系と共に回転するという事実から導かれる。具体的には、${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$参照フレームと共に回転する2つのベクトルである。${\displaystyle D}$フレームの相対微分演算子とし、${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$角速度ベクトルをとする。

${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

また、

${\displaystyle D\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times D\mathbf {b} =\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} -({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )\times \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}-\mathbf {a} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {b} )\right)}$

これらの方程式はどちらもゼロベクトルを与える。${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=D\mathbf {a} =D\mathbf {b} =\mathbf {0} }$双線形性とクロス積の反可換性を用いると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times {\boldsymbol {\omega }})+\mathbf {b} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )=\mathbf {0} }$

リー代数の最も単純な説明例は、(結合)環から構成される。${\displaystyle n\times n}$行列は、 n次元ベクトル空間の微小な動きと考えることができます。× 演算は交換子であり、行列乗算における可換性の破綻を測定します。${\displaystyle X\times Y}$リー括弧表記法が使用されます。

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

その表記法では、ヤコビ恒等式は次のようになります。

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

それは計算によって簡単に確認できます。

より一般的に、Aが結合代数であり、Vが括弧演算に関して閉じているAの部分空間である場合：${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$すべてのVに属する${\displaystyle X,Y\in V}$ヤコビ恒等式はV上で引き続き成り立つ。^{[ 4 ]}したがって、二項演算の場合${\displaystyle [X,Y]}$ヤコビ恒等式を満たす場合、それは次のように与えられるかのように振る舞うと言える。${\displaystyle XY-YX}$結合代数の中には、実際にはそのように定義されていないものもある。

反対称性を利用する${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$ヤコビ恒等式は、結合法則の修正として書き直すことができる。

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

もし${\displaystyle [X,Z]}$これは、微小運動XがZに及ぼす作用であり、次のように表すことができる。

Yの動作に続いてX（演算子）が実行される${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$)、 Xの後にYが続く動作を差し引いたもの(演算子${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$）は、${\displaystyle [X,Y]}$（オペレーター）${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$)

反交換子を含む次数付きヤコビ恒等式も多数存在する。${\displaystyle \{X,Y\}}$、 のような：

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

ヤコビ恒等式の最も一般的な例は、括弧乗算から得られる。${\displaystyle [x,y]}$リー代数とリー環について。ヤコビ恒等式は次のように表される。

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

括弧乗算は反対称であるため、ヤコビ恒等式は2つの同値な再定式化を許容する。随伴演算子を定義する${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$すると、その恒等式は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

したがって、リー代数におけるヤコビ恒等式は、代数上の任意の要素の作用が微分であることを述べている。この形式のヤコビ恒等式は、ライプニッツ代数の概念を定義するためにも用いられる。

別の並べ替えによって、ヤコビ恒等式は随伴表現の演算子間の次の恒等式と等価であることがわかる。

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

ここで、左側の括弧は元の代数の演算であり、右側の括弧は演算子の合成の交換子であり、恒等式は、${\displaystyle \mathrm {ad} }$各要素をその随伴作用に送るマップは、リー代数準同型写像である。

• ホール・ウィット恒等式は、群における交換子演算の類似恒等式である。

• 以下の高階ヤコビ恒等式は任意のリー代数で成り立つ：^{[ 5 ]}

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]+[[[x_{2},x_{1}],x_{4}],x_{3}]+[[[x_{3},x_{4}],x_{1}],x_{2}]+[[[x_{4},x_{3}],x_{2}],x_{1}]=0.}$

• ヤコビの恒等式は積の法則と等価であり、リー括弧は積と導関数の両方の役割を果たす。 ${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$。 もし${\displaystyle X,Y}$ベクトル場である場合、${\displaystyle [X,Y]}$は文字通り微分演算子であり、${\displaystyle Y}$すなわち、リー微分${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$。

• 構造定数
• スーパーヤコビのアイデンティティ
• 3つの部分群の補題（ホール・ウィット恒等式）
• 5つ組の積の同一性

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。
• ジャコビ、CGJ (1862)。「新手法、部分的微分方程式、内部数的変動、完全な提案」。数学に関するジャーナル。60 : 1-181.
• ホーキンス、トーマス（1991）。「ヤコビとリーの群論の誕生」。Arch . Hist. Exact Sci . 42 (3): 187-278. doi : 10.1007/BF00375135。

• ワイスタイン、エリック W. 「ヤコビのアイデンティティ」。マスワールド。