封筒（数学）

幾何学では、平面曲線族のエンベロープとは、ある点で族の各メンバーに接する曲線であり、これらの接点が一緒になってエンベロープ全体を形成します。古典的には、エンベロープ上の点は、2 つの「無限に隣接する」曲線の交点、つまり近くの曲線の交点の限界と考えることができます。この考え方は、空間内の表面のエンベロープに一般化でき、さらに高次元にまで 一般化できます。

エンベロープを持つには、曲線族の個々のメンバーが微分可能な曲線であることが必要です。そうでなければ、接線の概念は適用されず、メンバー間をスムーズに遷移する必要があります。しかし、これらの条件だけでは十分ではありません。特定の族がエンベロープを持たない場合があります。この簡単な例として、半径が拡大する同心円の族が挙げられます。

族内の各曲線C _{t が}方程式f _t ( x ,  y )=0 の解として与えられるものとします (暗黙の曲線を参照)。ここでtはパラメータです。F ( t ,  x ,  y )= f _t ( x ,  y ) と書き、F は微分可能であると仮定します。

族C _tの包絡線は、同時に、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(t,x,y)=0~~{\mathsf {および}}~~{\partial F \over \partial t}(t,x,y)=0}$

tのある値に対して、 はtに関するFの偏微分である。^[1]${\displaystyle \partial F/\partial t}$

tとu、t ≠ uが_{パラメータ}の2つの値である場合、曲線CtとCu_の交点は次のように表される。

${\displaystyle F(t,x,y)=F(u,x,y)=0\,}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle F(t,x,y)=0~~{\mathsf {and}}~~{\frac {F(u,x,y)-F(t,x,y)}{ut}}=0.}$

u → tとすると上記の定義が得られます。

重要な特殊なケースとして、F ( t ,  x ,  y ) がtの多項式である場合が挙げられます。これには、分母をクリアすることにより、 F ( t ,  x ,  y ) がtの有理関数である場合が含まれます。この場合、定義はt がF ( t ,  x ,  y )の二重根となるため、エンベロープの方程式はFの判別式を0 に設定することで見つけることができます (定義では、ある t で F=0 であり、1 次導関数 =0、つまりその値が 0 であり、その t で最小/最大であることが要求されるため)。

例えば、C _{t を}x 切片とy切片がtと 11− tである直線とすると、これは上のアニメーションで示されています。C _tの方程式は

${\displaystyle {\frac {x}{t}}+{\frac {y}{11-t}}=1}$

または、端数を消す、

${\displaystyle x(11-t)+yt-t(11-t)=t^{2}+(-x+y-11)t+11x=0.\,}$

包絡線の方程式は

${\displaystyle (-x+y-11)^{2}-44x=(xy)^{2}-22(x+y)+121=0.\,}$

F がパラメータの有理関数でない場合、適切な代入によってこのケースに簡約できることが多い。たとえば、族がC _θで与えられ、方程式がu ( x ,  y )cos θ+ v ( x ,  y )sin θ= w ( x ,  y ) である場合、t = e ^{i θ}、cos θ=( t +1/ t )/2、sin θ=( t -1/ t )/2 iと置くと、曲線の方程式は次のように変わる。

${\displaystyle u{1 \over 2}(t+{1 \over t})+v{1 \over 2i}(t-{1 \over t})=w}$

または

${\displaystyle (u-iv)t^{2}-2wt+(u+iv)=0.\,}$

判別式を 0 に設定すると、エンベロープの方程式が得られます。

${\displaystyle (u-iv)(u+iv)-w^{2}=0\,}$

または

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=w^{2}.\,}$

1. エンベロープE _{1 は、近くの曲線}C _tの交点の限界です。
2. エンベロープE _{2は、すべての}C _tに接する曲線です。
3. エンベロープE _{3 は、曲線}C _tによって塗りつぶされた領域の境界です。

次に、 、であり、 はこのサブセクションの親セクションの冒頭で定義された点の集合です。 ${\displaystyle E_{1}\subseteq {\mathcal {D}}}$${\displaystyle E_{2}\subseteq {\mathcal {D}}}$${\displaystyle E_{3}\subseteq {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

エンベロープのこれらの定義E ₁、E ₂、およびE _{3 は、異なるセットである可能性があります。たとえば}、 γ : R → R ²でパラメータ化された曲線y = x ^{3 を}考えます。ここで、γ( t ) = ( t、t ³ )です。1 パラメータの曲線族は、 γ の接線によって与えられます。

まず判別式を計算します。生成関数は ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(t,(x,y))=3t^{2}xy-2t^{3}.}$

偏導関数F _t = 6 t ( x – t )を計算します。x = tまたはt = 0のいずれかになります。まず、 x = tかつt ≠ 0と仮定します。 F に代入すると、 t ≠ 0 と仮定すると、 ( x , y ) = ( t , t ³ )の場合にのみF = F _t = 0になります。次に、t = 0と仮定してFに代入すると、 F (0,( x , y )) = − y になります。したがって、t = 0と仮定すると、 y = 0の場合にのみF = F _t = 0になります。したがって、判別式は元の曲線と γ(0) におけるその接線です。 ${\displaystyle F(t,(t,y))=t^{3}-y\,}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=x^{3}\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=0\}\ .}$

次にE ₁を計算します。1 つの曲線はF ( t ,( x , y )) = 0で与えられ、近くの曲線はF ( t + ε,( x , y ))で与えられます。ここで ε は非常に小さな数です。交点は、 ε がゼロに近づくにつれてF ( t ,( x , y )) =  F ( t + ε,( x , y )) の極限を見ることによって得られます。F ( t ,( x , y )) = F ( t + ε , ( x , y ) )が成立 するのは、次の場合のみで あることに注目してください。

${\displaystyle L:=F(t,(x,y))-F(t+\varepsilon ,(x,y))=2\varepsilon ^{3}+6\varepsilon t^{2}+6\varepsilon ^{2}t-(3\varepsilon ^{2}+6\varepsilon t)x=0.}$

t ≠ 0の場合、L はε の単一の因数しか持ちません。t ≠ 0と仮定すると、交差は次のように表されます。

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}L=6t(tx)\ .}$

t ≠ 0なので、x = tとなる。y の値は、この点が元の曲線 γ の接線上にあること、つまりF ( t ,( x , y )) = 0 であることから計算される。代入して解くとy = t ^{3となる。} t = 0のとき、L はε ²で割り切れる。 t = 0と仮定すると、交点は次のように与えられる。

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}L=3x\ .}$

したがって、x = 0となり、F ( t ,( x , y )) = 0とするとy = 0となる。したがって、

${\displaystyle E_{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=x^{3}\}\ .}$

次にE ₂を計算します。曲線自体は、自身のすべての接線に接する曲線です。したがって、

${\displaystyle E_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=x^{3}\}\ .}$

最後にE _{3 を}計算します。平面上のすべての点には、それを通過する γ への接線が少なくとも 1 本あります。したがって、接線で満たされた領域が平面全体です。したがって、境界E ₃は空集合です。実際、平面上の点 ( x ₀ , y ₀ ) を考えてみましょう。この点が接線上にあるのは、次のt が存在する場合のみです。

${\displaystyle F(t,(x_{0},y_{0}))=3t^{2}x_{0}-y_{0}-2t^{3}=0\ .}$

これはtの 3 次関数であり、少なくとも 1 つの実数解を持ちます。したがって、平面上の任意の点には、 γ への接線が少なくとも 1 本通る必要があります。y > x ³かつy > 0の場合、各点 ( x、y ) には、それを通過する γ への接線が 1 本だけあります。 y < x ³ y < 0の場合も同様です。y < x ³かつy > 0の場合、各点 ( x、y ) には、それを通過する γ への接線が 3 本だけあります。y > x ³かつy < 0の場合も同様です。y = x ³かつy ≠ 0の場合、各点 ( x、y ) には、それを通過する γ への接線が 2 本だけあります (これは、 3 次関数に 1 つの常根と 1 つの重根があることに対応します)。 y ≠ x ³かつy = 0の場合も同様です。y = x ³かつx = 0、すなわちx = y = 0の場合、この点は γ への単一の接線を持ちます（これは、3次関数が重複度3の実根を1つ持つことに対応します）。したがって、

${\displaystyle E_{3}=\varnothing .}$

ストリングアートでは、等間隔に並んだ 2 本のピンを交差接続するのが一般的です。どのような曲線が形成されますか?

簡単にするために、ピンをx軸とy軸に設定します。非直交レイアウトは回転とスケーリングです。一般的な直線スレッドは、2 つの点 (0, k − t ) と ( t、 0 ) を接続します。ここで、k は任意のスケーリング定数であり、直線の族はパラメーターt を変更することによって生成されます。単純な幾何学から、この直線の方程式はy = −( k  −  t ) x / t + k  −  tです。これを整理して、 F ( x、y、t ) = 0の形式にキャストすると、次のようになります。

ここで、 F ( x , y , t )をtに関して微分し、結果をゼロに設定すると、

これら2つの方程式は共同でエンベロープの方程式を定義します。(2)から次の式が得られます。

${\displaystyle t={\sqrt {kx}}\,}$

このtの値を(1)に代入して簡略化すると、エンベロープの方程式が得られる。

または、x と y の対称性を示すよりエレガントな形式に並べ替えます。

b軸を北東向きのy=x線、a軸を南東向きのy =−x線として軸を回転させることができます。これらの新しい軸は、元のxy軸とx =( b + a )/ √ 2およびy =( b − a )/ √ 2で関連付けられています。(4)に代入して展開および簡略化すると、次の式が得られます。

これは明らかに、軸がa =0、つまりy = xに沿った放物線の方程式です。

I ⊂ R を開区間とし、γ : I → R 2^を弧の長さでパラメータ化された滑らかな平面曲線とする。γ( I )に対する 1 パラメータ法線族を考える。直線が γ( t ) で γ に垂直であるとは、その直線が γ( t )を通り、γ( t )で γ への接線ベクトルに垂直であることを意味する。Tをγ への単位接線ベクトル、N を単位法線ベクトルとする。ドットをドット積として用いると、1 パラメータ法線族の生成族はF  : I × R ² → Rで与えられる。ここで

${\displaystyle F(t,{\mathbf {x} })=({\mathbf {x} }-\gamma (t))\cdot {\mathbf {T} }(t)\ .}$

明らかに、( x − γ)· T = 0 となるのは、x − γ がTに垂直である場合、または、同値として、x − γ がNに平行である場合、または、同値として、ある λ ∈ Rに対してx = γ + λ Nである場合である。したがって、

${\displaystyle L_{t_{0}}:=\{{\mathbf {x} }\in \mathbb {R} ^{2}:F(t_{0},{\mathbf {x} })=0\}}$

_はγ( t0 )におけるγの法線と全く同じである。Fの判別式を求めるには、tに関する偏微分を計算する必要がある。

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(t,{\mathbf {x} })=\kappa (t)({\mathbf {x} }-\gamma (t))\cdot {\mathbf {N} }(t)-1\ ,}$

ここでκはγの平面曲線の曲率である。あるλ∈Rに対してx -γ= λNであるときのみF =0となることが分かっている。F =0 と仮定すると、

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=\lambda \kappa (t)-1\ .}$

κ≠0と仮定するとλ = 1/κとなり、

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\gamma (t)+{\frac {1}{\kappa (t)}}{\mathbf {N} }(t)\ .}$

これはまさに曲線 γ の 縮閉線です。

次の例は、曲線族の包絡線が、その包絡線の曲線を境界とする集合の和集合の位相境界とみなせる場合があることを示しています。 と について、頂点を持つ直交平面上の（開いた）直角三角形を考えます。${\displaystyle s>0}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (s,0)}$${\displaystyle (0,t)}$

${\displaystyle T_{s,t}:=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:\ {\frac {x}{s}}+{\frac {y}{t}}<1\right\}.}$

指数を固定し、制約条件に従うすべての三角形の和集合、つまり開集合 を考える。${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle T_{s,t}}$${\displaystyle \textstyle s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}$

${\displaystyle \Delta _{\alpha }:=\bigcup _{s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}T_{s,t}.}$

の直交座標表現を書くには、任意の と任意の を満たす から始めます。の共役指数とに関するヘルダー不等式は、次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle \Delta _{\alpha }}$${\displaystyle \textstyle s>0}$${\displaystyle \textstyle t>0}$${\displaystyle \textstyle s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}$${\displaystyle \textstyle (x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle p:=1+{\frac {1}{\alpha }}}$${\displaystyle \textstyle q:={1+\alpha }}$

${\displaystyle x^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}\leq \left({\frac {x}{s}}+{\frac {y}{t}}\right)^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}{\Big (}s^{\alpha }+t^{\alpha }{\Big )}^{\frac {1}{\alpha +1}}=\left({\frac {x}{s}}+{\frac {y}{t}}\right)^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}}$、

が等しいのは、 が等しい場合のみである。集合の和集合の観点から見ると、後者の不等式は次のように読める。 点は集合 に属する、つまり、 がであるものに属するのは、 が等しい場合のみである。 ${\displaystyle \textstyle s:\,t=x^{\frac {1}{1+\alpha }}:\,y^{\frac {1}{1+\alpha }}}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}}$${\displaystyle \textstyle \Delta _{\alpha }}$${\displaystyle \textstyle T_{s,t}}$${\displaystyle \textstyle s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}$

${\displaystyle x^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}<1.}$

さらに、集合の境界は対応する線分の族の包絡線である。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{2}}$${\displaystyle \textstyle \Delta _{\alpha }}$

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:\ {\frac {x}{s}}+{\frac {y}{t}}=1\right\}\ ,\qquad s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}$

（つまり、三角形の斜辺）であり、直交座標系である。

${\displaystyle x^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac {\alpha }{\alpha +1}}=1.}$

特に、値は例 2 の放物線の弧を与え、値(すべての斜辺が単位長さの線分であることを意味する)は小惑星を与えることに注意してください。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \alpha =2}$

運動するエンベロープの次の例を考えてみましょう。初期高度 0 で、初期速度v は一定だが仰角 θ が異なる発射体を空中に投げたとします。運動面の水平軸をx 、垂直軸をyとします。すると、運動は次の微分力学系を与えます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g,\;{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0,}$

これは4つの初期条件を満たします:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}{\bigg |}_{t=0}=v\cos \theta ,\;{\frac {dy}{dt}}{\bigg |}_{t=0}=v\sin \theta ,\;x{\bigg |}_{t=0}=y{\bigg |}_{t=0}=0.}$

ここでt は運動時間、 θ は仰角、g は重力加速度、vは一定の初期速度（速度ではない）を表します。上記のシステムの解は、暗黙的な形式を取ることができます。

${\displaystyle F(x,y,\theta )=x\tan \theta -{\frac {gx^{2}}{2v^{2}\cos ^{2}\theta }}-y=0.}$

包絡線方程式を見つけるには、必要な導関数を計算します。

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \theta }}={\frac {x}{\cos ^{2}\theta }}-{\frac {gx^{2}\tan \theta }{v^{2}\cos ^{2}\theta }}=0.}$

θ を消去すると、次の包絡線方程式に到達できます。

${\displaystyle y={\frac {v^{2}}{2g}}-{\frac {g}{2v^{2}}}x^{2}.}$

明らかに、結果として得られるエンベロープも凹状の 放物線になります。

3次元ユークリッド空間における1パラメータ面族は、一連の方程式で与えられる。

${\displaystyle F(x,y,z,a)=0}$

実パラメータaに依存します。^[2]たとえば、曲面上の曲線に沿った曲面の接平面はそのような族を形成します。

異なる値aとa'に対応する2つの面は、次のように定義される共通の曲線で交差します。

${\displaystyle F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^{\prime })-F(x,y,z,a) \over a^{\prime }-a}=0.}$

極限では、a'がaに近づくにつれて、この曲線はaの曲面に含まれる曲線に近づく。

${\displaystyle F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F \over \partial a}(x,y,z,a)=0.}$

この曲線は、aにおける族の特性と呼ばれます。aが変化すると、これらの特性曲線の軌跡は、曲面族の エンベロープと呼ばれる曲面を定義します。

サーフェス ファミリのエンベロープは、そのサーフェスの特性曲線に沿ってファミリ内の各サーフェスに接します。

滑らかな部分多様体の族のエンベロープという考えは自然に従います。一般に、余次元cの部分多様体の族がある場合、そのような部分多様体のcパラメータ族が少なくとも 1 つ必要です。たとえば、3 次元空間 ( c = 2) の 1 パラメータ曲線族には、一般的にはエンベロープがありません。

エンベロープは常微分方程式（ODE）の研究、特にODEの特異解の研究に関連しています。 ^{[3]たとえば、放物線}y = x ²の1パラメータ接線の族を考えてみましょう。これらは生成族F（t、（x、y））= t ² – 2 tx + yで与えられます。ゼロレベルセットF（t0、（x、y））= 0は_、点（ t0、t0 ₂ ）における放物線の接線の方程式を与えます。方程式t ² – 2 tx + y = 0は常に^xの関数としてy_について解くことができるので、次のように考えます。

${\displaystyle t^{2}-2tx+y(x)=0.\ }$

代用

${\displaystyle t=\left({\frac {dy}{dx}}\right)/2}$

常微分方程式を与える

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\!\!-4x{\frac {dy}{dx}}+4y=0.}$

当然のことながら、y  = 2 tx  −  t ²はすべてこの常微分方程式の解です。ただし、この 1 パラメータの直線族のエンベロープ、つまり放物線y  =  x ²もこの常微分方程式の解です。別の有名な例としては、クレローの方程式があります。

エンベロープは、より単純な解から、より複雑な一次偏微分方程式（PDE）の解を構築するために使用できます。 ^[4] F ( x , u ,D u ) = 0 を一次偏微分方程式とします。ここで、 xは開集合 Ω ⊂ R ⁿに値を持つ変数 、uは未知の実数値関数、 D uはuの勾配、F はD uに正則な連続微分可能関数です。 u ( x ; a ) がmパラメータの解の族であるとします。つまり、各固定されたa  ∈  A  ⊂  R ^mに対して、u ( x ; a ) は微分方程式の解です。微分方程式の新しい解は、まず（可能であれば）次を解くことで構築できます。

${\displaystyle D_{a}u(x;a)=0\,}$

a  = φ( x )はxの関数として定義される。関数族 { u (·, a )} _{a ∈ A}の包絡線は次のように定義される。

${\displaystyle v(x)=u(x;\varphi (x)),\quad x\in \Omega ,}$

また、微分方程式も解きます（連続的に微分可能な関数として存在する場合）。

幾何学的には、 v ( x )のグラフは、族u ( x ; a ) の何らかの要素のグラフにどこでも接している。微分方程式は 1 次なので、グラフの接平面に条件を課すだけであり、したがって、解にどこでも接する関数は必ず解でもある。同じ考え方が、1 次方程式の解をモンジュ円錐の積分として求めることの基礎となっている。^[5] モンジュ円錐は、各点で 1 次 PDE の接空間のエンベロープによって切り取られた( x、u ) 変数のR ^{n +1}内の円錐体である。したがって、PDE の解は円錐体のエンベロープである。

リーマン幾何学では、リーマン多様体の点P を通る滑らかな測地線族がエンベロープを持つ場合、Pには族の任意の測地線がエンベロープと交差する共役点が存在します。より一般的には変分法でも同じことが言えます。つまり、与えられた点P を通る汎関数の極値族がエンベロープを持つ場合、極値がエンベロープと交差する点はPの共役点です。

幾何光学において、コースティックとは光線群の包絡線です。この図には円弧が描かれています。光線 (青で表示) は無限遠にある光源から発せられるため、平行に到達します。光線が円弧に当たると、反射の法則に従って光線はさまざまな方向に散乱します。光線が円弧の一点に当たると、光はその点で円弧の接線に反射されたかのように反射されます。反射された光線は、平面内に 1 つのパラメータを持つ線群を形成します。これらの線の包絡線が反射コースティックです。反射コースティックは一般に、滑らかな点と通常の尖端点で構成されます。

変分法の観点から見ると、フェルマーの原理（現代版）は、光線が長さ関数の極値であることを意味している。

${\displaystyle L[\gamma ]=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}$

固定端点γ( a )とγ( b )を持つ[ a , b ]上の滑らかな曲線γの間の線。与えられた点P （画像では点は無限遠にある）によって決定される線は、 Pの共役点の集合である。^[6]

光は、光線の方向と開始位置に応じて、異なる速度で異方性不均質媒体を通過する場合があります。t 後に特定の点qから光が移動できる点の集合の境界は、 t後の波面として知られ、ここでは Φ _q ( t ) と表記されます。これは、光速で移動して t時間にqから到達できる点のみで構成されます。ホイヘンスの原理は、波面集合Φ _{q 0} ( s + t )が、 q  ∈ Φ _{q 0} ( t )に対する波面族Φ _q ( s )の包絡線であると主張しています。より一般的には、点q _{0 は、}空間内の任意の曲線、面、または閉集合に置き換えることができます。^[7]

• コースティック（数学）
• 封筒定理
• 罫線面

• Weisstein、Eric W.「Envelope」。MathWorld。
• MathCurve の「平面曲線族のエンベロープ」。