二重剰余類

数学の一分野である群論において、二重剰余類は、2つの部分群から生じる対称性の下で同値である群元の集合であり、単一剰余類の概念を一般化したものである。^{[1] [2]}

G を群とし、HとK を部分群とする。H は Gに対して左乗法で作用し、 K はGに対して右乗法で作用する。 G内の各xに対して、xの( H , K )二重剰余類は集合

${\displaystyle HxK=\{hxk\colon h\in H,k\in K\}.}$

H = Kのとき、これはxのH二重剰余類と呼ばれる。同様に、HxK は同値関係におけるxの同値類である。

x ~ yであるためには、 Hにh が存在し、 Kにk が存在して、 hxk = yとなる必要があります。

すべての -double 剰余類の集合は次のように表される。${\displaystyle (H,K)}$${\displaystyle H\,\backslash G/K.}$

G が、それぞれ左乗法と右乗法で作用する部分群HとK を持つ群であると仮定します。G の ( H , K ) 二重剰余類は、 ( h , k ) ⋅ x = hxk −1 によって G に作用する積群 H × K の軌道として同等に記述できます。二重剰余類の基本的な特性の多くは 、それらが^軌道であるという事実から直接導かれます。しかし、Gは群であり、HとK は乗法で作用する部分群であるため、二重剰余類は任意の群作用の軌道よりも構造化されており、より一般的な作用では偽である追加の特性を持っています。

• 2 つの二重剰余類HxKとHyK は、互いに素であるか同一であるかのいずれかです。
• G はその二重剰余類の互いに素な和集合です。
• 2つの二重剰余類空間H \ G / KとK \ G / Hの間には、 HxKをKx ⁻¹ Hと同一視することで1対1の対応関係が存在します。
• H = {1}の場合、H \ G / K = G / Kです。K = {1}の場合、H \ G / K = H \ Gです。
• 二重剰余類HxKはHの右剰余類とKの左剰余類の和集合である。具体的には、

  ${\displaystyle {\begin{aligned}HxK&=\bigcup _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\,\in \,H\backslash HxK}Hxk,\\HxK&=\bigcup _{h\in H}hxK=\coprod _{hxK\,\in \,HxK/K}hxK.\end{aligned}}}$

• ( H , K )二重剰余類の集合は、軌道H \ ( G / K )と一対一であり、また、それぞれおよびのマッピングの下で​​軌道( H \ G ) / Kとも一対一である。${\displaystyle HgK\to H(gK)}$${\displaystyle HgK\to (Hg)K}$
• Hが正規ならば、H \ G は群であり、この群に対するKの右作用はH \ HKの右作用を​​介して因数分解されます。したがって、H \ G / K = G / HKとなります。同様に、Kが正規ならば、H \ G / K = HK \ Gとなります。
• H がGの正規部分群である場合、H二重剰余類は左（および右） H剰余類と 1 対 1 に対応します。
• HxK を右H剰余類のK軌道の和集合として考えます。右H剰余類Hxk ∈ H \ HxKのKの右作用に対する安定化因子はK ∩ ( xk ) ⁻¹ Hxkです。同様に、左K剰余類hxK ∈ HxK / KのHの左作用に対する安定化因子はH ∩ hxK ( hx ) ⁻¹です。
• したがって、 HxKに含まれる^Hの右剰余類の数はインデックス[ K  : K∩x − 1Hx ]であり、HxKに含まれるKの左剰余類の数はインデックス[ H  : H∩xKx − ¹ ]である。したがって 、

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&=[H:H\cap xKx^{-1}]|K|=|H|[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[H:H\cap xKx^{-1}].\end{aligned}}}$

• G、H、Kが有限であれば 、

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&={\frac {|H||K|}{|H\cap xKx^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|H|}{|H\cap xKx^{-1}|}}.\end{aligned}}}$

• Gのx を固定し、( H × K ) _{x が}二重安定群{( h , k ): hxk = x } を表すものとします。このとき、二重安定群はH × Kのサブグループです。
• Gは群なので、 HのhごとにGのg が1 つ存在し、 hxg = x、つまりg = x −1 ^h −1 ^xとなる。ただし、g はKに含まれない可能性がある。同様に、 KのkごとにGのg ′ が1 つ存在し、 g ′ xk = xとなる。ただし、g ′ はHに含まれない可能性がある。したがって、二重安定子は次の記述を持つ。

  ${\displaystyle (H\times K)_{x}=\{(h,x^{-1}h^{-1}x)\colon h\in H\}\cap H\times K=\{(xk^{-1}x^{-1},k)\colon k\in K\}\cap H\times K.}$

• （軌道安定定理） HxKと（H × K）/（H × K）_xの間には一対一の関係があり、hxkは（h、k ⁻¹）（H × K）_xに対応する。従って、G、H、Kが有限であれば、

  ${\displaystyle |HxK|=[H\times K:(H\times K)_{x}]=|H\times K|/|(H\times K)_{x}|.}$

• （コーシー・フロベニウスの補題）G ^{（h、k）は}（h、k）の作用によって固定された要素を表すものとする。すると

  ${\displaystyle |H\,\backslash G/K|={\frac {1}{|H||K|}}\sum _{(h,k)\in H\times K}|G^{(h,k)}|.}$

• 特に、G、H、およびKが有限である場合、二重剰余類の数は、グループ要素のペアごとに固定される点の平均数に等しくなります。

二重剰余類を単一剰余類で記述する同等の方法がある。HとK が両方ともGに対して右乗法で作用するとする。するとG は剰余類空間G / H × G / Kの積に対して左乗法で作用する。この作用の軌道はH \ G / Kと一対一に対応している。この対応により、 ( xH , yK )は二重剰余類Hx ⁻¹ yKと同一視される。簡単に言えば、これはすべてのG軌道が形式( H , xK )の代表を許容し、代表xはHの元による左乗法までしか決定されないためである。同様に、G はH \ G × K \ Gに対して右乗法で作用し、この作用の軌道は二重剰余類H \ G / Kと一対一に対応している。概念的には、これは二重剰余類空間H \ G / KをH剰余類とK剰余類の相対配置の空間と同一視する。さらに、この構成は任意の数のサブグループの場合に一般化されます。サブグループH ₁、...、H _nが与えられた場合、 ( H ₁、...、H _n )多重剰余類の空間は、 G / H ₁ × ... × G / H _nのG軌道の集合です。

二重剰余類に対するラグランジュの定理の類似は誤りである。これは、二重剰余類の大きさがGの位数を割り切る必要がないことを意味する。例えば、G = S _{3 を}3文字の対称群とし、HとK をそれぞれ転置(1 2)と(1 3)によって生成される巡回部分群とする。e が恒等置換を表す場合、

${\displaystyle HeK=HK=\{e,(12),(13),(132)\}.}$

これには4つの要素があり、4はS ₃の位数である6を割り切れません。異なる二重剰余類が同じサイズであるというのも誤りです。同じ例を続けると、

${\displaystyle H(23)K=\{(23),(123)\},}$

要素は 4 つではなく 2 つあります。

しかし、Hが正規であると仮定します。前述のように、この場合、二重剰余類空間は左剰余類空間G / HKに等しくなります。同様に、Kが正規である場合、H \ G / K は右剰余類空間HK \ Gです。左剰余類空間と右剰余類空間に関する標準的な結果から、次の事実がわかります。

• G内のすべてのxに対して| HxK | = | HK |です。つまり、すべての二重剰余類は同じ濃度を持ちます。
• Gが有限の場合、| G | = | HK | ⋅ | H \ G / K |となります。特に、| HK |と| H \ G / K |は| G |を割り切ります。

• G = S _{n を}対称群とし、集合{ 1, ..., n } の順列として考えます。nを安定させる部分群H = S _{n −1}を考えます。すると、S _{n −1} \ S _n / S _{n −1}は 2 つの二重剰余類から構成されます。そのうちの 1 つはH = S _{n −1}で、もう 1 つはn を固定しない任意の順列γに対してS _{n −1} γ S _{n −1}です。これは、各 である要素を持つS _n / S _{n −1}とは対照的です。${\displaystyle n}$${\displaystyle \gamma _{1}S_{n-1},\gamma _{2}S_{n-1},...,\gamma _{n}S_{n-1}}$${\displaystyle \gamma _{i}(n)=i}$
• G を群GL _n ( R )とし、B を上三角行列の部分群とする。二重剰余類空間B \ G / B はGのBruhat 分解である。二重剰余類はBwBとまったく同じであり、ここでw はすべてのn 行 n 列の置換行列にわたっている。たとえば、n = 2の場合、

  ${\displaystyle B\,\backslash \!\operatorname {GL} _{2}(\mathbf {R} )/B=\left\{B{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}B,\ B{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}B\right\}.}$

Gが群で、H、K、Lが部分群であるとする。ある有限条件の下で、( H、K )および( K、L )二重剰余類によって生成される自由アーベル群に、 ( H、L )二重剰余類によって生成される自由アーベル群の値を持つ積が存在する。これは、双線型関数が存在することを意味する。

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/K]\times \mathbf {Z} [K\backslash G/L]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/L].}$

簡単にするために、 Gは有限であると仮定する。積を定義するために、これらの自由アーベル群をGの群代数で次のように再解釈する。Z [ H \ G / K ]のすべての要素は、次の形式を持つ。

${\displaystyle \sum _{HxK\in H\backslash G/K}f_{HxK}\cdot [HxK],}$

ここで、{ f _HxK } はH \ G / Kの元でインデックス付けされた整数の集合である。この元はH \ G / K上のZ値関数、具体的にはHxK ↦ f _HxKとして解釈できる。この関数は、 x を二重剰余類HxKに送る射影G → H \ G / Kに沿って引き戻される。その結果、関数x ↦ f _HxKが得られる。この関数が構築された方法により、関数はHの下で左不変、 Kの下で右不変である。群代数Z [ G ]の対応する元は

${\displaystyle \sum _{x\in G}f_{HxK}\cdot [x],}$

そしてこの要素は、 Hによる左乗算とKによる右乗算に対して不変です。概念的には、この要素はHxK をそれに含まれる要素で置き換えることによって得られ、 Gの有限性により、合計が有限であることが保証されます。逆に、Hに対して左不変でKに対して右不変であるZ [ G ]のすべての要素は、 Z [ H \ G / K ]上の関数のプルバックです。 Z [ K \ G / L ]とZ [ H \ G / L ]についても同様のことが言えます。

Z [ H \ G / K ]、Z [ K \ G / L ]、およびZ [ H \ G / L ]の元がZ [ G ]の不変元として解釈される場合、上で存在が主張された積は、Z [ G ]における乗算とまったく同じです。実際、左H不変元と右L不変元の積が、左H不変かつ右L不変であり続けることは簡単に確認できます。積の双線型性は、 Z [ G ]における乗算の双線型性から直ちに導かれます。また、M がGの 4 番目の部分群である場合、 ( H、K ) -、( K、L ) -、および( L、M ) -二重剰余類の積は結合的であることも導かれます。 Z [ G ]における積はG上の関数の畳み込みに対応するため、この積は畳み込み積と呼ばれることもあります。

重要な特別なケースは、H = K = Lの場合である。この場合、積は双線形関数である。

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\times \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/H].}$

この積は、Z [ H \ G / H ]を、その単位元が自明な二重剰余類[ H ]の類である結合環に変換します。一般に、この環は非可換です。たとえば、H = {1}の場合、環は群代数Z [ G ]であり、群代数は、基礎となる群がアーベルである場合に限り、可換環です。

Hが正規で、 H の二重剰余類が商群G / Hの元と同じである場合、 Z [ H \ G / H ]上の積は群代数Z [ G / H ]内の積です。特に、これはG / H上の関数の通常の畳み込みです。この場合、環が可換であるためにはG / H がアーベルである必要があります。つまり、 H がGの交換子部分群を含む場合にのみ可換です。

Hが正規でない場合、 Gが非可換であってもZ [ H \ G / H ] は可換である可能性があります。古典的な例は、2つのヘッケ演算子の積です。これはヘッケ代数の積であり、群Gがモジュラー群であり、非可換であり、部分群が算術部分群であり、特に交換子部分群を含まない場合でも可換です。畳み込み積の可換性は、ゲルファント対と密接に関係しています。

群Gが位相群である場合、各二重剰余類の左剰余類と右剰余類の数が有限であるという仮定を弱めることができます。群代数Z [ G ]は、 L ² ( G )やC ^∞ ( G )などの関数の代数に置き換えられ、和は積分に置き換えられます。積は依然として畳み込みに対応します。たとえば、これは局所コンパクト群のヘッケ代数に対して発生します。

群が集合 に対して推移的な群作用を持つ場合、 の特定の二重剰余類分解を計算すると、の に対する作用の構造に関する追加情報が明らかになります。具体的には、 が何らかの要素 の安定化部分群である場合、 は のちょうど 2 つの二重剰余類として分解されるためには、が の異なるペアの集合に対して推移的に作用する必要があります。この作用の詳細については、 2 推移群を参照してください。${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (H,H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

二重剰余類は、 Hの表現がGの誘導表現を構築するために使用され、それがKに制限される場合、表現理論との関連で重要です。対応する二重剰余類構造は、結果として得られる表現がどのように分解されるかに関する情報を保持します。有限群の場合、これは Mackey の分解定理です。

これらは関数解析においても重要であり、いくつかの重要なケースでは、部分群Kによって左不変かつ右不変な関数が畳み込みの下で可換環を形成できます。ゲルファント対を参照してください。

幾何学において、クリフォード・クライン形式は二重剰余類空間Γ\ G / Hであり、ここでGは簡約リー群、Hは閉部分群、Γは同次空間G / H上で適切に不連続に作用する（Gの）離散部分群である。

数論において、モジュラー群の合同部分群Γに対応するヘッケ代数は、二重剰余類空間 の元によって張られます。代数構造は、上で説明した二重剰余類の乗算から得られるものです。特に重要なのは、二重剰余類またはに対応するヘッケ演算子(これらは、 mとNが互いに素であるかどうかによって異なる特性を持ちます) と、二重剰余類 によって与えられるダイヤモンド演算子(ただし、およびが必要です( a、b、cの選択は答えに影響しません)。 ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )/\Gamma }$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle \Gamma _{0}(N)g\Gamma _{0}(N)}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)g\Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle g=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&m\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \langle d\rangle }$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle d\in (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma _{0}(N)}$