ティアン・ガン

田氏は、ケーラー幾何学、特にケーラー・アインシュタイン計量の研究への貢献でよく知られています。シン・トン・ヤウ氏は、有名なカラビ予想の解決において、非正の第1チャーン類を持つ閉じたケーラー多様体のケースを解決しました。連続性の法を適用する彼の研究は、ケーラーポテンシャルのC ⁰制御が、正の第1チャーン類を持つ閉じたケーラー多様体（「ファノ多様体」としても知られる）上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を証明するのに十分であることを示しました。田氏とヤウ氏は、ヤウ氏のカラビ予想の解析を非コンパクトな設定に拡張し、部分的な結果を得ました。^[TY90]また、彼らは研究を拡張して、オービフォールド特異点を許容するようにしました。^[TY91]

Tian は「α不変量」を導入しました。これは、最大値が 0 の Kähler ポテンシャルに適用した場合のMoser-Trudinger 不等式の最適定数です。彼は、 α不変量が十分に大きい場合 (つまり、十分に強い Moser-Trudinger 不等式が成り立つ場合)、 Yau の連続性法でC ⁰制御が達成できることを示しました。^[T87b]これは、Kähler-Einstein 曲面の新しい例を示すために適用されました。Kähler 曲面のケースは、1990 年に Tian によって再検討され、その文脈で Kähler-Einstein 問題の完全な解決が主張されました。^[T90b]主な手法は、Gromov-Hausdorff 収束によって検出可能な、Kähler-Einstein 計量のシーケンスの可能な幾何学的退化を研究することでした。 Tian は、ヤン・ミルズ接続用に開発されたKaren Uhlenbeckの多くの技術的革新を、ケーラー計量の設定に適用しました。リーマン設定での同様の影響力のある研究は、1989 年と 1990 年にMichael Anderson、Shigetoshi Bando、Atsushi Kasue、およびHiraku Nakajimaによって行われました。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}しかし、後に Tian の論文には重大な欠陥があることが判明しました。特に、最もデリケートな次数 1 の場合、Odaka-Spotti-Sun ^{[ 10 ]} (例 5.8 を参照) は、明示的な反例を示すことにより、Tian の論文の命題 6.2 が偽であることを説明しました。この命題は、次数 1 の Gromov-Hausdorff 極限の場合、線形システム |-2K| は基点を持たず、曲面は特定のタイプの非正準特異点を最大 1 つ持つと主張していました。^{[ 10 ]}では、ゴレンシュタイン指数が3である明示的なトーリックケーラー・アインシュタイン極限が存在することが示されており、これらの主張が成り立たないことが分かります。したがって、ティアンの戦略が次数1の場合の処理​​に使用できるかどうかは不明のままです。

田のケーラー・アインシュタイン問題への最も有名な貢献は1997年に行われた。ヤウは1980年代に、ドナルドソン・ウーレンベック・ヤウの定理との類推に基づいて、ケーラー・アインシュタイン計量の存在は、ある意味で幾何学的不変理論における基礎となるケーラー多様体の安定性に対応するはずだと予想していた。特に二木明人^{[ 11 ]}の研究以降、正則ベクトル場の存在はケーラー・アインシュタイン計量の存在に対する障害として作用するはずだと一般的に理解されていた。田と魏岳丁は、この障害はケーラーオービフォールドのクラス内では十分ではないことを明らかにした。^[DT92] 1997年の論文で、Tianは、正則ベクトル場もケーラー・アインシュタイン計量も持たないケーラー多様体（オービフォールドではなく）の具体的な例を挙げ、望ましい基準はより深いところにあることを示した。^[T97] Yauは、多様体自体の正則ベクトル場ではなく、射影空間上の正則ベクトル場によるケーラー多様体の射影埋め込みの変形を研究することが重要であると提案した。この考えはTianによって修正され、 K-安定性の概念が導入され、任意のケーラー・アインシュタイン多様体はK-安定でなければならないことが示された。^[T97]

サイモン・ドナルドソンは2002年に、ティアンのK安定性の定義を修正および拡張した。^{[ 12 ]} K安定性があればケーラー・アインシュタイン計量の存在が保証されるという予想は、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想として知られるようになった。2015年、陳秀雄、ドナルドソン、孫宋は予想の証明を発表し、その業績によりオズワルド・ヴェブレン幾何学賞を受賞した。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}ティアンも同年、予想の証明を発表したが、陳、ドナルドソン、孫はティアンの論文に関して学術的および数学的な不正行為を非難している。^{[T15] [ 16 ] [ 17 ] [T15]}のセクション 6 で 、Tian は定理 1.1 (主定理) の証明を完了するための 2 つのアプローチの概要を示しました。2 番目のアプローチは^{[ 15 ]}で使用されているものと同様で、1 番目のアプローチは CM 安定性を含む Tian の以前の研究^[T97]に従っています。1 番目のアプローチには現在、ギャップがあることが知られています。具体的には、定理 6.6 は K 安定性が CM 安定性を意味すると主張しています。証明は、S. Paul のプレプリント作品で主張されているペアの一般化された数値基準に依存しています。^{[ 18 ] [ 19 ]}しかし、その後、Paul の一般化された数値基準の証明にギャップがあることが観察されました ( ^{[ 20 ]}のセクション 5.3 を参照)。いくつかの後続の研究がこのギャップを修正しようと試みました。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}しかし、最近では、Paul、Sun、Zhang ^{[ 26 ]が一般化された数値基準に対する明示的な反例を構築し（ [ 26 ]}の定理 1.3 および注釈 1.4 を参照）、基準が当初述べられたとおりに偽であることを示した。その結果、 ^[T15]の定理 6.6 を確立する議論は もはや有効ではない。

Tianは最初の論文の1つで、ケーラー多様体上のカラビ・ヤウ計量の空間を研究した。^[T87a]彼は、カラビ・ヤウ構造の任意の無限小変形が1パラメータ族のカラビ・ヤウ計量に「積分」できることを示した。これは、与えられた多様体上のカラビ・ヤウ計量の「モジュライ空間」が滑らかな多様体の構造を持つことを証明する。これは以前にもアンドレイ・トドロフによって研究されており、その結果はTian-Todorovの定理として知られている。^{[ 27 ]}応用として、Tianは周期写像を用いてカラビ・ヤウ計量のモジュライ空間上のワイル・ペーターソン計量の公式を見つけた。^{[T87a] [ 28 ]}

ケーラー・アインシュタイン問題とヤウのベルグマン計量に関する予想に触発され、ティアンは次の問題を研究した。ケーラー多様体M上の線束をLとし、曲率形式がM上のケーラー形式であるエルミート束計量を固定する。十分大きなmに対して、線束L ^{⊗ m}の正則切断の正規直交集合がMの射影埋め込みを定義すると仮定する。フビニ・スタディ計量を引っ張って、 mの増加に伴ってM上の計量の列を定義することができる。ティアンはこの列のある種の再スケーリングがC ²位相において元のケーラー計量に必ず収束することを示した。^[T90a]この列の洗練された漸近性は、他の著者による影響力のある後続論文で取り上げられ、特にサイモン・ドナルドソンの極値計量に関するプログラムにおいて重要である。 ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}射影埋め込みから誘導されるケーラー計量によるケーラー計量の近似可能性は、上記のように、ヤウのヤウ・ティアン・ドナルドソン予想の図式にも関連している。

Xiuxiong ChenとTianは、非常に専門的な論文で、極値ケーラー計量の幾何学の研究への応用を伴う、ある種の複素モンジュ・アンペール方程式の正則性理論を研究した。 ^[CT08]彼らの論文は非常に広く引用されているが、Julius RossとDavid Witt Nyströmは2015年にChenとTianの正則性結果に対する反例を発見した。 ^{[ 34 ]}

擬正則曲線は、 1985 年にミハイル・グロモフによってシンプレクティック幾何学における強力なツールであることが示されました。^{[ 35 ]} 1991 年にエドワード・ウィッテンは、グロモフの理論を用いて列挙不変量を定義することを予想しました。^{[ 36 ]}ティアンとヨンビン・ルアンは、このような構成の詳細を発見し、擬正則曲線の像のさまざまな交点が多くの選択に依存せず、特に特定のシンプレクティック多様体のホモロジー上の結合多重線形写像を与えることを証明しました。^[RT95]この構造は量子コホモロジーとして知られています。同時期に同様に影響力のあるアプローチは、ドゥサ・マクダフとディートマー・サラモンによるものです。^{[ 37 ]}ルアンとティアンの結果は、やや一般的な設定です。

田はジュン・リーと共に、これらの結果を代数多様体の設定に純粋に代数的に適用した。^[LT98b]これはカイ・ベーレンドとバーバラ・ファンテキが別のアプローチを用いて同時期に行ったものである。^{[ 38 ]}

李と田はその後、代数幾何学の研究をシンプレクティック多様体の解析的設定に戻し、阮と田の以前の研究を拡張した。^[LT98a]田と劉剛はこの研究を利用して、ハミルトン微分同相写像の不動点の数に関する有名なアーノルド予想を証明した。^[LT98c]しかし、シンプレクティック・グロモフ・ウィッテン理論に関する李田と劉田のこれらの論文は、ドゥサ・マクダフとカトリン・ヴェールハイムによって不完全または不正確であると批判されており、李と田の論文^[LT98a]は特定の点について「ほとんどすべての詳細が欠けている」こと、劉と田の論文^[LT98c]には「深刻な解析的誤りがある」ことなどが指摘されている。^{[ 39 ]}

1995年、TianとWeiyue Dingは、2次元閉じたリーマン多様体から閉じたリーマン多様体Nへの調和写像熱流を研究した。^[DT95] 1982年のJonathan SacksとKaren Uhlenbeckの画期的な研究に続き、1985年の画期的な研究で、Michael Struweはこの問題を研究し、すべての正の時間に対して存在する弱解が存在することを示した。さらに、Struweは、解uが有限個の時空点から離れると滑らかであることを示した。解が滑らかで、与えられた特異点( p , T )に収束する任意の時空点の列が与えられた場合、いくつかのスケーリングを実行して、(順次)丸い2次元球からNへの有限個の調和写像を定義することができ、これらは「バブル」と呼ばれる。丁と田は、ある種の「エネルギー量子化」を証明した。これは、u ( T )のディリクレエネルギーと、 t が Tに近づくときのu ( t )のディリクレエネルギーの極限との間の欠損が、バブルのディリクレエネルギーの合計によって正確に測定されることを意味する。このような結果は、フランクル予想の証明におけるYum-Tong SiuとShing-Tung Yauの元のエネルギー量子化の結果に続いて、幾何学的解析において重要である。 ^{[ 40 ]}丁と田が調和写像の流れを考察したのとは対照的に、調和写像に関する同様の問題は、ほぼ同時期に Changyou Wang によって考察された。^{[ 41 ]}

Tian の主要な論文は、Yang–Mills 方程式を扱ったものである。^[T00a] Karen Uhlenbeckの解析の多くを高次元に拡張することに加えて、Yang–Mills 理論と較正された幾何学との相互作用を研究した。Uhlenbeck は 1980 年代に、一様に有界なエネルギーを持つ Yang–Mills 接続の列が与えられると、それらは少なくとも 4 の余次元の部分集合の補集合、いわゆる「特異集合」の補集合に滑らかに収束することを示した。Fanghua Lin が調和写像の研究で開発した手法^{[ 42 ]}を用いて、 Tian は特異集合が可測集合であることを示した。多様体に較正が備わっている場合、較正に対して自己双対である Yang–Mills 接続に関心を限定することができる。この場合、Tian は特異集合が較正されていると主張した。例えば、一様に有界なエネルギーを持つエルミートヤン・ミルズ接続の列の特異集合は正則サイクルになります。これは、ヤン・ミルズ接続の解析の重要な幾何学的特徴と見なされていました。しかし、後に、Tian の論文^[T00a]には重大な欠陥があることが判明しました。2004 年の後の論文で、Terence Taoと Tian ^{[ 43 ]はこれらの問題に取り組み、 [T00a]}で最初に主張されたイプシロン正則性定理の欠陥を埋める新しい証明を提供しました(これは、良いゲージの存在を暗黙のうちに仮定していました)。さらに、[T00a] で提示された特異集合の較正された性質の証明に^{も重大な欠陥があります。具体的には、 [T00a]}の命題 2.3.1 の証明は、自己双対性の仮定を利用しないため、誤りです。この仮定がない場合、この命題は偽であることが知られています。^{[ 44 ]}核心的な問題は、極限接続が位相的特異点に遭遇する可能性を排除していない点にある。また、^[T00a]で主張されている一般化インスタントンの空間のコンパクト性に関する問題もある。これは論文^{[ 45 ]}で指摘されている（注釈 1.15 を参照）。

2006年、TianとZhou Zhangは、閉じたケーラー多様体の特殊な設定でリッチフローを研究した。^[TZ06]彼らの主な成果は、最大存在時間が純粋にコホモロジー的な用語で特徴付けられることを示したことである。これは、与えられた幾何学的コンテキストから最大存在時間を（既知の）計算する方法がない通常のリッチフローよりも、ケーラー・リッチフローが著しく単純であることを示す一つの意味である。TianとZhangの証明は、ケーラー・リッチフロー自体にコホモロジー的な形式の線形変形によってパラメータ化されたケーラーポテンシャルの観点から、さまざまな幾何学的発展方程式に適用されるスカラー最大原理の使用から成る。Jian Songとの注目すべき研究で、Tianは特定の2次元複素多様体上のケーラー・リッチフローを解析した。[ ^ST07]

2002年と2003年に、グリゴリ・ペレルマンはarXivに3つの論文を投稿し、3次元幾何トポロジーの分野でポアンカレ予想と幾何化予想を証明したと主張した。^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}ペレルマンの論文は、斬新なアイデアと結果の多くで即座に称賛されたが、彼の議論の技術的な詳細の多くは検証が難しいと見なされた。ティアンはジョン・モーガンと共同で、2007年にペレルマンの論文の解説を出版し、多くの詳細を補足した。^[MT07]他にも広く研究されている解説は、Huai-Dong CaoとXi-Ping Zhu、およびBruce KleinerとJohn Lottによって書かれた。^{[ 49 ] [ 50 ]モーガンとティアンの解説は、ペレルマンの3番目の論文[ 48 ]}を扱っている3つのうち唯一のものであり、この論文は幾何化予想の分析には関係ないが、曲線短縮フローを使用してポアンカレ予想の特殊なケースについてより単純な議論を提供している。モーガンとティアンの著書の出版から8年後、アッバス・バハリは、進化方程式の誤った計算に依存していたため、この論文の解説の一部に誤りがあると指摘した。^{[ 51 ]}ペレルマンの論文にはない詳細に関するこの誤りは、その後すぐにモーガンとティアンによって修正された。^{[ 52 ]}

ティアンはナターシャ・シェシュムと共同で、ペレルマンがいかなる形でも発表しなかったケーラー多様体のリッチフローに関するペレルマンの研究についての解説も発表した。^{[ 53 ]}