させて私 : M → P {\displaystyle i\colon M\to P} n 次元部分多様体M を、次元のリーマン多様体P に埋め込むものとする。n + p {\displaystyle n+p} プッシュフォワード により、 M の接束を P の接束に自然に包含することができ、余核は M の正規束 である。
0 → T x M → T x P | M → T x ⊥ M → 0. {\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.} このメトリックはこの短い正確なシーケンス を分割し、
T P | M = T M ⊕ T ⊥ M 。 {\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.} この分裂に関して、レヴィとチヴィタのつながり ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} P は接線成分と法線成分に分解されます。X ∈ T M {\displaystyle X\in TM} M 上のベクトル場 Y 、
∇ X ′ Y = ⊤ （ ∇ X ′ Y ） + ⊥ （ ∇ X ′ Y ） 。 {\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).} させて
∇ X Y = ⊤ （ ∇ X ′ Y ） 、 α （ X 、 Y ） = ⊥ （ ∇ X ′ Y ） 。 {\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).} ガウスの公式 [ 6 ] ∇ X {\displaystyle \nabla _{X}} M のレヴィ＝チヴィタ関係 は、α {\displaystyle \alpha } 対称 ベクトル値形式 です。これはしばしば第二基本形式 と呼ばれます。
その直接的な帰結として、曲率テンソルのガウス方程式 がある。X 、 Y 、 Z 、 W ∈ T M {\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}
⟨ R ′ （ X 、 Y ） Z 、 W ⟩ = ⟨ R （ X 、 Y ） Z 、 W ⟩ + ⟨ α （ X 、 Z ） 、 α （ Y 、 W ） ⟩ − ⟨ α （ Y 、 Z ） 、 α （ X 、 W ） ⟩ {\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle } どこR ′ {\displaystyle R'} はP のリーマン曲率テンソル であり、Rは M のリーマン曲率テンソルである。
ワインガルテン方程式 X ∈ T M {\displaystyle X\in TM} ξ {\displaystyle \xi } ξ {\displaystyle \xi } X 軸に沿って接線成分と法線成分に分解する：
∇ X ′ ξ = ⊤ （ ∇ X ′ ξ ） + ⊥ （ ∇ X ′ ξ ） = − A ξ （ X ） + D X （ ξ ） 。 {\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).} それから
ワインガルテンの式 ：⟨ A ξ X 、 Y ⟩ = ⟨ α （ X 、 Y ） 、 ξ ⟩ {\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle } D X は正規束における距離接続 である。したがって、 M の接束上で定義された ∇と、M の法束上で定義されたD という一対の接続が存在する。これらを組み合わせると、T M と T ⊥ M のコピーの任意のテンソル積上の接続が形成される。特に、これらは共変微分を定義する。α {\displaystyle \alpha }
（ ∇ ～ X α ） （ Y 、 Z ） = D X （ α （ Y 、 Z ） ） − α （ ∇ X Y 、 Z ） − α （ Y 、 ∇ X Z ） 。 {\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).} コダッツィ・マイナルディ方程式 は
⊥ （ R ′ （ X 、 Y ） Z ） = （ ∇ ～ X α ） （ Y 、 Z ） − （ ∇ ～ Y α ） （ X 、 Z ） 。 {\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).} すべてのイマージョン は特にローカル埋め込みであるため、上記の式はイマージョンにも適用されます。
古典方程式の記述 曲面の古典的な微分幾何学 では、コダッツィ・マイナルディ方程式は第2基本形式 （L 、M 、N ）を介して表現されます。
L v − M u = L Γ 1 12 + M （ Γ 2 12 − Γ 1 11 ） − N Γ 2 11 {\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}} M v − N u = L Γ 1 22 + M （ Γ 2 22 − Γ 1 12 ） − N Γ 2 12 {\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}} ガウスの公式は、ガウス曲率をどのように定義するかによって、トートロジーに なる可能性がある。それは次のように述べることができる。
K = L N − M 2 e g − f 2 、 {\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},} ここで、( e 、f 、g )は 第一基本形式 の構成要素である。
古典方程式の導出 ユークリッド3次元空間におけるパラメトリック曲面 を考えます。
r （ u 、 v ） = （ x （ u 、 v ） 、 y （ u 、 v ） 、 z （ u 、 v ） ） {\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))} ここで、3 つの成分関数は、uv 平面内の何らかの開領域U内の順序対 ( u , v ) に滑らかに依存します。この曲面は正則で あると仮定します。つまり、ベクトルr u r v は線形独立 です。曲面に垂直な単位ベクトル n を選択することにより、これを 基底 { r u , r v , n }に完成させます。r の 2 階偏微分(ベクトルR 3 {\displaystyle \mathbb {R^{3}} } クリストッフェル記号 と第二基本形式の要素を用いて表します。基底の最初の 2 つの成分は曲面に固有のものであり、ガウス曲率 の固有の性質を証明することを目的としているため、これらを選択します。基底の最後の項は外因性です。
r u u = Γ 1 11 r u + Γ 2 11 r v + L n {\displaystyle \mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} } r u v = Γ 1 12 r u + Γ 2 12 r v + M n {\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} } r v v = Γ 1 22 r u + Γ 2 22 r v + N n {\displaystyle \mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} } クレローの定理は 、偏微分が可換であることを述べている。
（ r u u ） v = （ r u v ） u {\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}} r uu を v で微分し、r uv を u で微分すると、次の式が得られます。
（ Γ 1 11 ） v r u + Γ 1 11 r u v + （ Γ 2 11 ） v r v + Γ 2 11 r v v + L v n + L n v {\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}} = （ Γ 1 12 ） u r u + Γ 1 12 r u u + （ Γ 12 2 ） u r v + Γ 2 12 r u v + M u n + M n u {\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}} 次に、上記の式を2階微分に代入し、 n の係数を等しくします。
M Γ 1 11 + N Γ 2 11 + L v = L Γ 1 12 + M Γ 2 12 + M u {\displaystyle M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}} この式を整理すると、最初のコダッツィ・マイナルディ方程式が得られる。
2番目の式も同様に導出できる。
平均曲率 M を ( m + k ) 次元の滑らかな多様体Pに埋め込まれた滑らかな m 次元多様体とする。 e 1 、 e 2 、 … 、 e k {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}} M に垂直なベクトル場の局所正規直交フレームを とする。すると、次のように書ける。
α （ X 、 Y ） = ∑ j = 1 k α j （ X 、 Y ） e j 。 {\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.} もし今、E 1 、 E 2 、 … 、 E m {\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}} がM の同じ開部分集合上の局所直交フレーム (接線ベクトル場) である場合、埋め込みの平均曲率を 次のように定義できます。
H j = ∑ 私 = 1 m α j （ E 私 、 E 私 ） 。 {\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).} 特に、Mが P の超曲面である場合、すなわちk = 1 {\displaystyle k=1} そうすれば、平均 曲率は 1 つしか存在しない。すべてのH j {\displaystyle H_{j}}
平均曲率は、任意の成分について、第2基本形式のトレース、つまり平均であることに注目してください。平均曲率は、右辺の合計にを掛けることによって定義される場合もあります。1 / m {\displaystyle 1/m}
ガウス・コダッツィ方程式は次のように書ける。
⟨ R ′ （ X 、 Y ） Z 、 W ⟩ = ⟨ R （ X 、 Y ） Z 、 W ⟩ + ∑ j = 1 k （ α j （ X 、 Z ） α j （ Y 、 W ） − α j （ Y 、 Z ） α j （ X 、 W ） ） 。 {\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).} 契約するY 、 Z {\displaystyle Y,Z}
リック ′ （ X 、 W ） = リック （ X 、 W ） + ∑ j = 1 k ⟨ R ′ （ X 、 e j ） e j 、 W ⟩ + ∑ j = 1 k （ ∑ 私 = 1 m α j （ X 、 E 私 ） α j （ E 私 、 W ） − H j α j （ X 、 W ） ） 。 {\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).} M が超曲面の場合、これは次のように簡略化されます。
リック ′ （ X 、 W ） = リック （ X 、 W ） + ⟨ R ′ （ X 、 n ） n 、 W ⟩ + ∑ 私 = 1 m h （ X 、 E 私 ） h （ E 私 、 W ） − H h （ X 、 W ） {\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)} どこn = e 1 、 {\displaystyle n=e_{1},} h = α 1 {\displaystyle h=\alpha _{1}} H = H 1 {\displaystyle H=H_{1}}
R ′ = R + 2 リック ′ （ n 、 n ） + ‖ h ‖ 2 − H 2 {\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}} どこR ′ {\displaystyle R'} R {\displaystyle R} P とM のスカラー曲率であり、
‖ h ‖ 2 = ∑ 私 、 j = 1 m h （ E 私 、 E j ） 2 。 {\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.} もしk > 1 {\displaystyle k>1} スカラー曲率 方程式は、より複雑になる可能性がある。
これらの式からいくつかの結論を導き出すことができます。例えば、球体への最小浸漬[ 7 ]は、 x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x m + k + 1 2 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}
Δ x j + λ x j = 0 {\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0} どこj {\displaystyle j} m + k + 1 {\displaystyle m+k+1}
Δ = ∑ 私 = 1 m ∇ E 私 ∇ E 私 {\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}} はM 上のラプラシアン であり、λ > 0 {\displaystyle \lambda >0}
参考文献 歴史的参考文献
教科書
ド・カルモ、マンフレド・P. 曲線と曲面の微分幾何学。 改訂増補第2版。ドーバー出版、ミネオラ、ニューヨーク、2016年。xvi+510ページ。ISBN 978-0-486-80699-0 、 0-486-80699-5 ド・カルモ、マンフレド・ペルディガオ。『リーマン幾何学』 フランシス・フラハティによるポルトガル語第2版からの翻訳。数学：理論と応用。バークハウザー・ボストン社、ボストン、マサチューセッツ州、1992年。xiv+300ページ。ISBN 0-8176-3490-8 小林正七 、野水勝己 。微分幾何学の基礎 。第II巻。Interscienceオニール、バレット。『半リーマン幾何学：相対性理論への応用』 純粋・応用数学、103。アカデミック・プレス社（ハーコート・ブレイス・ジョバノビッチ出版）、ニューヨーク、1983年。xiii+468ページ。ISBN 0-12-526740-1 トポノゴフ、ヴィクトル・アンドレーヴィチ（2006）。曲線と曲面の微分幾何学：簡潔な手引き 。ボストン：ビルクハウザー。ISBN 978-0-8176-4384-3 。 記事
高橋恒郎 (1966)「リーマン多様体の最小埋め込み」、日本数学会誌 、18 (4)、doi : 10.2969/jmsj/01840380 、S2CID 122849496 Simons, James.リーマン多様体における極小多様体. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105. 
