ヤコビ体

リーマン幾何学において、ヤコビ場はリーマン多様体内の測地線に沿ったベクトル場であり、測地線と「無限に近い」測地線との差を記述します。言い換えると、測地線に沿ったヤコビ場は、すべての測地線の空間内で測地線への接空間を形成します。これらはカール・ヤコビにちなんで名付けられています。 ${\displaystyle \gamma}$

ヤコビ場は次のようにして得られる。の滑らかな1パラメータ測地線族を取り、 ${\displaystyle \gamma _{\タウ }}$${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

はヤコビ体であり、与えられた測地線の微小近傍における測地線の挙動を記述します。 ${\displaystyle \gamma}$

測地線に沿ったベクトル場J は、ヤコビ方程式を満たす場合、ヤコビ場と呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,}$

ここで、D はレヴィ-チヴィタ接続に関する共変微分、Rはリーマン曲率テンソル、接線ベクトル場、tは測地線のパラメータです。完全なリーマン多様体では、任意のヤコビ体に対して、その体を記述する測地線の族が存在します(前の段落のように)。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}$${\displaystyle \gamma _{\タウ }}$

ヤコビ方程式は、線型 2 階常微分方程式です。特に、の1 つの点におけると の値は、ヤコビ場を一意に決定します。さらに、与えられた測地線に沿ったヤコビ場の集合は、多様体の次元の 2 倍の次元の 実ベクトル空間を形成します。${\displaystyle J}$${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$${\displaystyle \gamma}$

ヤコビ体の自明な例として、と を考えることができます。これらはそれぞれ、次の再パラメータ化の族に対応します。および。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$

任意のヤコビ体は、 の和 として一意に表現できます。ここで、 は自明なヤコビ体の線形結合であり、すべての に対しては に直交します。この場合、体 は、パラメータ化が変更された と同じ測地線の変化に対応します。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle T+I}$${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

単位球面上では、北極を通る測地線は大円です。自然パラメータ を持つ2 つの測地線と、角度 で隔てられた測地線を考えます。測地線の距離 ${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma _{\タウ }}$${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$

は

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

これを計算するには測地線を知る必要があります。最も興味深い情報は

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,}$、任意の。${\displaystyle \tau}$

代わりに、 における の微分を考えることができます。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

測地線の交点が で検出されていることに注意してください。さらに、この導関数を計算するために、実際には を知る必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle t=\pi}$

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}$、

むしろ、方程式を解くだけでいいのです

${\displaystyle y''+y=0\,}$、

与えられた初期データに対して。

ヤコビ体は、この現象を任意のリーマン多様体に対して自然に一般化します。

とし、これを完成してにおける正規直交基底を得ます。これを平行移動して全体にわたって基底を得ます。これにより における正規直交基底が得られます。ヤコビ場はこの基底の座標で次のように表すことができ、したがって ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

そしてヤコビ方程式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

各 に対して となります。こうして線形常微分方程式 (ODE) が得られます。この ODE は滑らかな係数を持つため、すべての に対して および が与えられた場合、すべての に対しておよび の解が存在し、 は一意となります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle y^{k}(0)}$${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$${\displaystyle k}$

上記のように構築された平行直交フレームを持つ測地線を考えます。 ${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle e_{i}(t)}$${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$

• およびによって与えられるに沿ったベクトル場はヤコビ場です。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$
• ユークリッド空間（および断面曲率が一定でゼロの空間）では、ヤコビ場は単に で線型な場です。${\displaystyle t}$
• 一定の負の断面曲率を持つリーマン多様体の場合、任意のヤコビ体は、、およびの線形結合です。ここで、${\displaystyle -k^{2}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle i>1}$
• 一定の正の断面曲率を持つリーマン多様体の場合、任意のヤコビ体は、、、およびの線形結合です。ここで、${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$${\displaystyle i>1}$
• キリング ベクトル場を測地線に制限することは、任意のリーマン多様体におけるヤコビ場です。

• 共役点
• 測地偏差方程式
• ラウフの比較定理
• N-ヤコビ場

• マンフレド・ペルディゴン・ド・カルモ。リーマン幾何学。フランシス・フラハティによるポルトガル語第 2 版からの翻訳。数学: 理論と応用。ビルクハウザー・ボストン社、ボストン、マサチューセッツ州、1992 年。xiv+300 ページ。ISBN 0-8176-3490-8 
• ジェフ・チーガーとデイビッド・G・エビン。リーマン幾何学の比較定理。1975 年のオリジナルの改訂版。AMS チェルシー出版、プロビデンス、ロードアイランド州、2008 年。x+168 ページ。ISBN 978-0-8218-4417-5 
• 小林昭七、野水勝美。微分幾何学の基礎。第 2 巻。1969 年のオリジナルの復刻版。Wiley Classics Library。Wiley-Interscience 出版。John Wiley & Sons、Inc.、ニューヨーク、1996 年。xvi+468 ページ。ISBN 0-471-15732-5 
• バレット・オニール。半リーマン幾何学。相対論への応用。純粋および応用数学、103。Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]、ニューヨーク、1983年。xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1