フレームバンドル

数学において、フレームバンドルとは主ファイバーバンドルのことである。${\displaystyle F(E)}$任意のベクターバンドルに関連付けられています${\displaystyle E}$繊維${\displaystyle F(E)}$ある地点を超えて${\displaystyle x}$は、すべての順序付き基底またはフレームの集合です。${\displaystyle E_{x}}$一般線形群は自然に作用する${\displaystyle F(E)}$基底の変更により、フレームバンドルに主構造を与える${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$-バンドル（ここでkはランクです）${\displaystyle E}$)

滑らかな多様体のフレーム束は、その接束に対応するものです。そのため、接フレーム束と呼ばれることもあります。

させて${\displaystyle E\to X}$ランクの実ベクトル束である${\displaystyle k}$位相空間上${\displaystyle X}$ある地点でのフレーム${\displaystyle x\in X}$はベクトル空間の順序付き基底である${\displaystyle E_{x}}$同様に、フレームは線形同型写像と見なすこともできる。

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

すべてのフレームのセット${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle F_{x}}$一般線形群による自然な権利作用を持つ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$可逆の${\displaystyle k\times k}$行列：群要素${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$フレームに作用する${\displaystyle p}$構成を通して新しい枠組みを与える

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

この行動は${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$の上${\displaystyle F_{x}}$は自由かつ推移的である（これは、ある基底を別の基底に写す一意の可逆線形変換が存在するという標準的な線形代数の結果から導かれる）。位相空間として、${\displaystyle F_{x}}$は同相である${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$グループ構造は欠如しているが、「優先フレーム」は存在しない。${\displaystyle F_{x}}$と言われている${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$-トルソー。

フレームバンドル​${\displaystyle E}$、で示される${\displaystyle F(E)}$または${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$は、すべての の非交和です。${\displaystyle F_{x}}$:

${\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

各ポイント${\displaystyle F(E)}$ペアです${\displaystyle (x,p)}$、 どこ${\displaystyle x}$はポイントです${\displaystyle X}$そして${\displaystyle p}$フレームは${\displaystyle x}$自然な投影があります${\displaystyle \pi :F(E)\to X}$送信する${\displaystyle (x,p)}$に${\displaystyle x}$そのグループ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$行動する${\displaystyle F(E)}$右側は上記のとおりです。この動作は明らかに自由であり、軌道は単に繊維です。${\displaystyle \pi }$。

ベクターバンドル${\displaystyle E}$そしてそのフレームバンドル${\displaystyle F(E)}$関連するバンドルです。それぞれが他のバンドルを決定します。フレームバンドル${\displaystyle F(E)}$から構築できます${\displaystyle E}$上記のように、あるいはより抽象的にファイバー束構成定理を用いると、${\displaystyle F(E)}$同じ基底、構造群、自明化近傍、遷移関数を持つファイバーバンドルは、${\displaystyle E}$しかし抽象的な繊維で${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$構造群の作用${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ファイバー上で${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$それは左乗算です。

任意の線形表現が与えられた場合${\displaystyle \rho$ \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )} は ベクトル束である

${\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}$

関連する${\displaystyle F(E)}$これは積によって与えられる${\displaystyle F(E)\times V}$同値関係を法として${\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}$すべての人々のために${\displaystyle g}$で${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$同値類をで表す${\displaystyle [p,v]}$。

ベクターバンドル${\displaystyle E}$は自然に束と同型である${\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}$どこ${\displaystyle \rho }$定義的な表現は${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$の上$\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$同型写像は次のように与えられる。

${\displaystyle [p,v]\mapstop(v)}$

どこ${\displaystyle v}$はベクトルです$\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$そして${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$フレームは${\displaystyle x}$このマップが適切に定義されていることは簡単に確認できます。

関連付けられた任意のベクターバンドル${\displaystyle E}$上記の構成により、 を与えることができる。例えば、の双対束は${\displaystyle E}$は${\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}$どこ${\displaystyle \rho ^{*}}$は基本表現の双対です。テンソル束${\displaystyle E}$同様の方法で構築できる。

滑らかな多様体の接線フレーム束（または単にフレーム束）${\displaystyle M}$は、接線束に関連付けられたフレーム束です。${\displaystyle M}$フレームバンドル${\displaystyle M}$しばしば表記される${\displaystyle FM}$または${\displaystyle \mathrm {GL} (M)}$それよりも${\displaystyle F(TM)}$物理学では、時として次のように表記される。${\displaystyle LM}$。 もし${\displaystyle M}$は${\displaystyle n}$-次元の場合、接束のランクは${\displaystyle n}$フレームバンドル${\displaystyle M}$校長先生です${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$バンドルオーバー${\displaystyle M}$。

ベクトルバンドルの場合${\displaystyle E}$リーマン束計量を備えている場合、各ファイバーは${\displaystyle E_{x}}$これはベクトル空間であるだけでなく、内積空間でもある。したがって、すべての正規直交フレームの集合について議論することが可能である。${\displaystyle E_{x}}$. 正規直交フレーム${\displaystyle E_{x}}$は次の順序正規直交基底です${\displaystyle E_{x}}$あるいは、同等に線形等長変換

${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$

どこ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$標準ユークリッド計量を備えている。直交群${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$右合成によって、すべての正規直交フレームの集合に自由かつ推移的に作用する。言い換えれば、すべての正規直交フレームの集合は右${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$-トルソー。

直交フレーム束${\displaystyle E}$、と表記される${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$は、各点におけるすべての正規直交フレームの集合である。${\displaystyle x}$ベーススペース${\displaystyle X}$通常のフレームバンドルと全く同様の方法で構築できます。ランクの正規直交フレームバンドル${\displaystyle k}$リーマンベクトル束${\displaystyle E\to X}$校長先生です${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$-バンドルオーバー${\displaystyle X}$また、この構造は滑らかな表面のカテゴリーでも同様に機能します。

ベクトルバンドルが${\displaystyle E}$が向き付け可能であるならば、向き付けされた正規直交フレーム束を定義できる。${\displaystyle E}$、と表記される${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}$校長として${\displaystyle \mathrm {SO} (k)}$- 正の向きを持つすべての正規直交フレームの束。

もし${\displaystyle M}$は${\displaystyle n}$次元リーマン多様体の場合、正規直交フレーム束は${\displaystyle M}$、と表記される${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}$または${\displaystyle \mathrm {O} (M)}$は、 の接束に関連付けられた正規直交フレーム束である。${\displaystyle M}$（定義によりリーマン計量を備えている）。${\displaystyle M}$が向き付け可能であるならば、向き付けされた正規直交フレーム束も存在する。${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(M)}$。

リーマンベクトル束が与えられた場合${\displaystyle E}$直交フレームバンドルは主${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$-一般的な線形フレームバンドルのサブバンドル。言い換えれば、包含マップ

${\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}$

は主束マップである。${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$は、構造群の縮小である。${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$から${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$に${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$。

滑らかな多様体の場合${\displaystyle M}$追加の構造が付属しており、フルフレームバンドルのサブバンドルを検討するのが自然であることが多い。${\displaystyle M}$これは、与えられた構造に適合しています。たとえば、${\displaystyle M}$はリーマン多様体であり、上で見たように、の正規直交フレーム束を考えるのは自然である。${\displaystyle M}$直交フレームバンドルは、構造群の縮小にすぎない。${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$直交群へ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$。

一般的に、もし${\displaystyle M}$滑らかです${\displaystyle n}$-多様体と${\displaystyle G}$は、​${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$G構造を定義する${\displaystyle M}$構造群の縮小である${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$に${\displaystyle G}$具体的に言うと、これは原則です${\displaystyle G}$-バンドル${\displaystyle F_{G}(M)}$以上${\displaystyle M}$一緒に${\displaystyle G}$-同変バンドルマップ

${\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}$

以上${\displaystyle M}$。

この言語では、リーマン計量は${\displaystyle M}$は${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$-構造${\displaystyle M}$以下にその他の例をいくつか示します。

• すべての方向付けられたマニホールドには、方向付けられたフレームバンドルがあり、それは単に${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$-構造${\displaystyle M}$。
• ボリュームフォーム​${\displaystyle M}$決定する${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$-構造${\displaystyle M}$。
• A${\displaystyle 2n}$次元シンプレクティック多様体は自然な${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$-構造。
• A${\displaystyle 2n}$次元複素多様体またはほぼ複素多様体は自然な${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$-構造。

これらの事例の多くでは、${\displaystyle G}$-構造${\displaystyle M}$対応する構造を一意に決定します${\displaystyle M}$例えば、${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$-構造${\displaystyle M}$体積の形状を決定します${\displaystyle M}$しかし、シンプレクティック多様体や複素多様体などの場合には、追加の積分可能性条件が必要となる。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$-構造${\displaystyle M}$非退化2形式を一意に決定する${\displaystyle M}$しかし、${\displaystyle M}$シンプレクティックであるためには、この2形式も閉じていなければならない。

• 小林正七、野水勝己(1996) 『微分幾何学の基礎』第1巻 （新版 ）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF) , Springer-Verlag, 2017-03-30 にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み、2008-08-02 に取得
• スターンバーグ、S. (1983)、微分幾何学講義（第2 版）、ニューヨーク：チェルシー出版、ISBN 0-8218-1385-4