上半面

数学において、上半平面は、⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}},}$となるデカルト平面上の点⁠${\displaystyle (x,y)}$ ⁠の集合です。下半平面は、⁠ ⁠となる点⁠ ⁠の集合です。それぞれ 2 次元半空間の例です。 ${\displaystyle y>0.}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y<0}$

上半平面のアフィン変換に は、

1. シフト、、および${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
2. 拡大、${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$${\displaystyle \lambda >0.}$

命題: ⁠ ⁠${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle B}$境界上に中心を持つ上半平面の 半円とします。このとき、を にするアフィン写像が存在します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

証明: まず⁠ ⁠${\displaystyle A}$の中心を⁠ ⁠${\displaystyle (0,0).}$に移動します。次に${\displaystyle \lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)}$

そして拡張します。そして中心に移動します${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle B.}$

意味： 。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$

⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$⁠ ⁠ を中心とする半径⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$の円として、また極座標として認識できます。 ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

命題: ⁠ ⁠ ${\displaystyle (0,0),}$ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$および⁠ ⁠内の⁠ ⁠ は同一${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$線上の点です。 ${\displaystyle (1,\tan \theta )}$

実際、は単位円の直線の反転です。確かに、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への対角線の長さは の二乗なので、 は その長さの逆数です。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,\tan \theta )}$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

上半平面上の任意の 2 点⁠ ⁠${\displaystyle p}$と⁠ ⁠${\displaystyle q}$間の距離は、次のように一貫して定義できます。 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への線分の垂直二等分線は、境界と交差するか、境界に平行になります。後者の場合、⁠ ⁠と⁠ ⁠は境界に垂直な放射線上にあり、対数測度を使用して、膨張に対して不変な距離を定義できます。前者の場合、⁠ ⁠と⁠ ⁠ は、それらの垂直二等分線と境界の交点を中心とする円上にあります。上記の命題により、この円はアフィン運動によって ⁠ ⁠ ⁠ に移動できます。 ⁠ ⁠上の距離は、 ⁠ ⁠上の点との対応とこの放射線上の対数測度を使用して定義できます。結果として、上半平面は計量空間になります。この計量空間の一般名は双曲平面です。双曲幾何学のモデルでは、このモデルはポアンカレ半平面モデルと呼ばれることが多い。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$

数学者は、デカルト平面を複素平面と同一視することがあります。その場合、上半平面は、虚数部が正の複素数の集合に対応します。

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

この用語は、複素数を直交座標が与えられた平面上の点として一般的に視覚化することから生じています。軸が垂直に向いている場合、「上半平面」は軸の上側の領域に対応し、 となる複素数になります。 ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y>0}$

これは、複素解析、特にモジュラー形式における多くの興味深い関数の領域です。 ⁠ ⁠で定義される下半平面も同様に優れていますが、慣例的にはあまり使用されません。開単位円⁠ ⁠ (絶対値が1 未満のすべての複素数の集合) は、等角写像によって⁠ ⁠ ⁠と同等です (「ポアンカレ計量」を参照)。つまり、通常、 ⁠ ⁠ ⁠と⁠ ⁠の間を移動できます。${\displaystyle y<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

また、双曲幾何学においても重要な役割を果たしており、ポアンカレ半平面モデルは双曲運動を調べる方法を提供します。ポアンカレ計量は空間上の 双曲計量を提供します。

曲面の均一化定理は、上半平面が一定の負のガウス曲率を持つ曲面の普遍被覆空間であることを述べています。

閉じた上半平面は、上半平面と実軸の和集合です。これは上半平面の 閉包です。

微分幾何学における自然な一般化の 1 つは、一定断面曲率を持つ最大限に対称で単連結な-次元リーマン多様体である双曲的${\displaystyle n}$ -空間です。この用語では、上半平面は 実次元を持つため⁠ ⁠です⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$

数論において、ヒルベルト・モジュラー形式の理論は、上半平面のコピーの直積上の特定の関数の研究に関係しています。数論学者にとって興味深いもう1つの空間は、ジーゲル・モジュラー形式の${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$定義域であるジーゲル上 半空間です。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$

• カスプ地区
• 拡張複素上半平面
• フクシアングループ
• 基礎ドメイン
• ハーフスペース
• クライン群
• モジュラーグループ
• 楕円曲線のモジュライスタック
• リーマン面
• シュワルツ・アルフォース・ピック定理

• Weisstein、Eric W.「上半平面」。MathWorld。