測地線凸性

数学、特にリーマン幾何学において、測地線凸性は、集合や関数の凸性をリーマン多様体に自然に一般化したものである。一般的には、「測地線」という接頭辞を省略し、単に集合や関数の「凸性」と呼ぶことが多い。

( M , g )をリーマン多様体とする。 

• Mの部分集合Cは、 C内の任意の 2 点に対して、それら 2 点を結ぶ唯一の最小化測地線がC 内に存在する場合、測地的に凸な集合であると言われる。
• CをMの測地線凸部分集合とする。関数${\displaystyle f:C\to \mathbf {R} }$合成関数が(厳密に)測地線凸関数であると言われるのは、

${\displaystyle f\circ \gamma$ :[0,T]\to \mathbf {R} }

は、 Cに含まれるすべての単位速度測地線弧γ  :  [0, T ] → Mに対して、通常の意味での（厳密に）凸関数である。   

• 測地線的に凸な（aの部分集合である）リーマン多様体は、測地距離に関して凸な距離空間でもある。

• 通常の平坦な計量を持つn次元ユークリッド空間E ⁿの部分集合は、通常の意味で凸である場合に限り、測地線的に凸であり、関数についても同様である。
• 通常の計量を用いた2次元球面S2の「北半球」は測地線的に凸である。しかし、^S2の南緯⁴⁵度より北にある点からなる部分集合Aは、測地線的に凸ではない。なぜなら、 Aの南境界上の2つの異なる点を結ぶ最小測地線（大円）弧はAから出るからである（例えば、経度が180度離れた2点の場合、測地線弧は南極を通過する）。

• Rapcsák, Tamás (1997). R ⁿにおける滑らかな非線形最適化. 非凸最適化とその応用. 第 19 巻. ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4680-7. MR 1480415 . 

• Udriste, Constantin (1994).リーマン多様体上の凸関数と最適化手法. 数学とその応用. 第 297巻. ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3002-1。