エウジェニオ・ベルトラミ

エウジェニオ・ベルトラミ
エウジェニオ・ベルトラミ
生まれる	( 1835-11-16 )1835年11月16日 クレモナ、ロンバルディア、ロンバルディア＝ヴェネツィア王国、オーストリア帝国
死亡	1900年2月18日(1900-02-18)（64歳） ローマ、イタリア王国
国籍	イタリア語
母校	ギスリエリ大学、パヴィア(学位なし)
知られている	ベルトラミ方程式 ベルトラミ恒等式 ベルトラミの定理 ラプラス・ベルトラミ演算子 ベルトラミ ・ベクトル場 ベルトラミ・クラインモデル
科学者としてのキャリア
フィールド	数学者
機関	ボローニャ大学 ピサ大学 ローマ 大学 パヴィア大学
学術アドバイザー	フランチェスコ・ブリオスキ
博士課程の学生	ジョヴァンニ・フラッティーニ

エウジェニオ・ベルトラミ（ Eugenio Beltrami、1835年11月16日 - 1900年2月18日）は、微分幾何学と数理物理学に関する研究で知られるイタリアの数学者である。彼の研究は、特に説明の明快さで知られた。彼は、非ユークリッド幾何学の無矛盾性を、定曲率面である擬球面と、n次元単位球面の内部、いわゆるベルトラミ・クラインモデルでモデル化して証明した初めての人物である。彼はまた、行列の特異値分解を考案し、これはその後何度も再発見されている。ベルトラミが数理物理学の問題に微分積分学を用いたことは、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによるテンソル解析の発展に間接的な影響を与えた。

ベルトラミは1835年、当時はオーストリア帝国の一部で現在はイタリアの一部であるクレモナ（ロンバルディア州）で生まれた。両親はともに芸術家のジョヴァンニ・ベルトラミとヴェネツィア人のエリーザ・バロッツィであった。1853年にパヴィーア大学で数学を学び始めたが、 1856年に政治的意見（リソルジメントに共感的だった）のためにギスリエーリ大学から追放された。この間、フランチェスコ・ブリオスキに教えられ、影響を受けた。経済的困難のために学業を中断せざるを得なくなり、その後数年間はロンバルディア・ヴェネツィア鉄道会社の秘書として働いた。 1862年にボローニャ大学の教授に任命され、この年に最初の研究論文を発表した。生涯を通じて、ベルトラミはピサ大学、ローマ大学、パヴィーア大学で様々な職を歴任した。ベルトラミは1891年から生涯を終えるまでローマに住んでいた。 1898年にアカデミア・デイ・リンチェイの学長となり、 1899年には イタリア王国の上院議員となった。

1868年、ベルトラミはヤーノシュ・ボヤイとニコライ・ロバチェフスキーの非ユークリッド幾何学の無矛盾性と解釈を扱った2冊の回顧録（イタリア語で書かれ、1869年にJ.ホエルによるフランス語訳が出版された）を出版した。「非ユークリッド幾何学の解釈に関する論文」で、ベルトラミはこの幾何学が一定の負の曲率を持つ表面、擬球上で実現できると提案した。ベルトラミの概念では、幾何学の線は擬球上の測地線で表され、非ユークリッド幾何学の定理は通常の3次元ユークリッド空間内で証明でき、ロバチェフスキーとボヤイが以前に行っていたように公理的に導出することはできない。 1840年にフェルディナント・ミンディングは既に擬球面上の測地線三角形を考察し、対応する「三角法の公式」は球面三角法の対応する公式から通常の三角関数を双曲関数に置き換えることによって得られると述べている。これは1857年にデルフィーノ・コダッツィによってさらに発展させられたが、どうやら二人ともロバチェフスキーの研究との関連に気付いていなかったようだ。このようにして、ベルトラミは2次元の非ユークリッド幾何学が空間のユークリッド幾何学と同じくらい有効であること、特にユークリッドの平行線公理はユークリッド幾何学の他の公理から導くことができないことを証明しようとした。この証明は擬球面の特異点のために不完全であるとよく言われるが、これは測地線を無制限に拡張できないことを意味する。しかし、ジョン・スティルウェルは、ベルトラミはこの困難をよく知っていたに違いないと指摘している。この困難は、擬似球が位相的には円筒であり平面ではないという事実によっても明らかにされており、彼は回想録の一部をその回避策の考案に費やした。ベルトラミは、座標を適切に選択することで、擬似球上の計量を単位円板に転送する方法と、擬似球の特異点が非ユークリッド平面上のホロサイクルに対応することを示した。一方、回想録の序文で、ベルトラミは「ロバチェフスキーの理論の残りの部分」、すなわち空間の非ユークリッド幾何学をこの方法で正当化することは不可能であると述べています。

同年（1868年）に出版された2番目の回顧録「定曲率空間の基礎理論」で、ベルトラミはこの論理を継続し、任意の次元について双曲幾何学とユークリッド幾何学の等無矛盾性の抽象的な証明を与えた。彼は、現在ではベルトラミ-クラインのモデル、ポアンカレ円板モデル、ポアンカレ半平面モデルとして知られるいくつかの非ユークリッド幾何学のモデルと、それらを関連付ける変換を導入することでこれを達成した。半平面モデルについては、ベルトラミは、ガスパール・モンジュの微分幾何学に関する論文にあるジョゼフ・リウヴィルの注記を引用した。ベルトラミはまた、n次元ユークリッド幾何学が( n  + 1)次元双曲空間のホロスフィア上で実現されるため、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の無矛盾性の論理的関係が対称的であることを示した。ベルトラミは、ベルンハルト・リーマンの画期的な資格取得講義「幾何学の基礎となる仮説について」（1854年、死後1868年に出版） の影響を認めた。

今日ではベルトラミの「エッセー」は非ユークリッド幾何学の発展にとって非常に重要であると認識されているが、当時の反響はそれほど熱狂的ではなかった。ルイージ・クレモナは循環論法であるとみなして反対し、ベルトラミは「エッセー」の出版を1年遅らせざるを得なかった。その後、フェリックス・クラインは非ユークリッド幾何学の射影円板モデルの構築におけるベルトラミの優先性を認めなかった。この反応は、ベルトラミの推論が抽象多様体に関するリーマンの考えに似ていたという斬新さに一部起因している。J. ウーエルはロバチェフスキーおよびボヤイの著作のフランス語訳でベルトラミの証明を発表した。

• ベルトラミ、エウジェニオ（1868年）。 「非ユークリッド幾何学の解釈」。ジョルナーレ ディ マテマティケ。6 : 284–312。
• ベルトラミ、エウジェニオ（1868年）。 「テオーリア・フォンダメンタル・デッリ・スパツィイ・ディ・カーヴァトゥーラ・コスタンテ」。Annali di Matematica Pura ed Applicata。シリーズⅡ。2 : 232–255。土井：10.1007/BF02419615。S2CID  120773141。
• Sulla teoria dell'induzione Magneta Secondo Poisson (イタリア語)。ボローニャ。 1884年。{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク)
• Opere matematiche di Eugenio Beltrami pubblicate per cura della Facoltà di Science della r.ローマ大学 (1 ～ 2 巻) (U. Hoepli、ミラノ、1902 ～ 1920 年) ^[1]
• 同版、第1巻～第4巻

• スティルウェル、ジョン(1996)。双曲幾何学の源泉。数学史。第 10 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-0529-9. MR  1402697。
• ジェレミー・グレイ、ポアンカレとクライン - 群と幾何学。1830- 1930年：幾何学の世紀（L.ボイ、D.フラメント、J.-M.サランスキス編）、シュプリンガー、1992年、35-44
• ピロッタ (1839)。グリッソンズ・ナプヨン・パス。 Giornale crico-letterario、d'Arti、Teatri e Varieta (イタリア語)。ピロッタ。 p. 216.

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「エウジェニオ ベルトラミ」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのエウジェニオ・ベルトラミ
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