擬似球

幾何学において、擬似球とは一定の負のガウス曲率を持つ表面のことである。

半径Rの擬球は、各点で曲率−1/ R ²を持つ表面です。その名前は、曲率 1/ R ²の表面である半径Rの球との類似性に由来しています。この用語は、エウジェニオ・ベルトラミが 1868 年に双曲幾何学のモデルに関する論文で導入しました。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

同じ面は、トラクトリクスをその漸近線を中心に回転させた結果としても記述できます。このため、擬似球はトラクトロイドとも呼ばれます。例として、（半）擬似球（半径1）は、トラクトリクスの回転面であり、^{[2]によってパラメータ化されます。}

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

これは特異空間（赤道が特異点）ですが、特異点から離れると、一定の負のガウス曲率を持ち、したがって双曲面に対して局所的に等長になります。

「擬似球」という名前は、球が一定の正のガウス曲率を持つ表面を持つのと同じように、擬似球が一定の負のガウス曲率を持つ2 次元 表面を持つことに由来しています。球がすべての点で正に曲がったドーム形状を持つのと同じように、擬似球全体のすべての点は負に曲がった鞍形状を持ちます。

1693年には早くもクリスティアーン・ホイヘンスは、擬球の体積と表面積は有限であることを発見した^[3] 。これは、擬球が回転軸に沿った形状の広がりが無限であるにもかかわらずである。与えられたエッジ半径 Rに対して、面積は球の場合と同様に4π R ²であるが、体積は⁠2/3⁠ π R ³であり、したがってその半径の球の半分である。 ^{[4] [5]}

擬似球は数学的な織物芸術と教育学における重要な幾何学的先駆者である。^[6]

曲率 −1 の半擬球は、ホロサイクルの内部で覆われている。ポアンカレ半平面モデルでは、半平面のy ≥ 1の部分を選択するのが便利である。^[7] このとき、被覆写像は周期 2 πのx方向に周期的であり、ホロサイクルy = c を擬球の子午線に、垂直測地線x = c を擬球を生成するトラクトスに取る。この写像は局所等長写像であり、擬球の普遍被覆空間として上半平面のy ≥ 1の部分を示す。正確な写像は

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}}$

どこ

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

上記の tractrix のパラメーター化です。

双曲面の双曲面モデルを使用するいくつかの資料では、双曲面は擬球と呼ばれています。^{[8]この用語の使用法は、双曲面が}ミンコフスキー空間に埋め込まれた虚半径の球体と考えられる ためです。

擬球面は擬球を一般化したものです。一定の負の曲率で部分的に滑らかに浸された表面は擬球面です。トラクトロイドは最も単純な例です。他の例としては、ディニ面、ブリーザー面、クエン面など があります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

擬球面は、サイン・ゴードン方程式の解から構築できます。^[9]概略的な証明は、トラクトロイドを座標で再パラメータ化することから始まります。座標では、ガウス・コダッツィ方程式がサイン・ゴードン方程式として書き直すことができます。

特に、トラクトロイドの場合、ガウス-コダッツィ方程式は静的ソリトン解に適用されるサイン-ゴードン方程式であるため、ガウス-コダッツィ方程式は満たされます。これらの座標では、第 1および第 2 の基本形式は、サイン-ゴードン方程式の任意の解に対してガウス曲率が -1 であることを明確にするように記述されます。

次に、サイン ゴードン方程式の任意の解を使用して、ガウス-コダッツィ方程式を満たす第 1 および第 2 の基本形式を指定できます。このような初期データの任意のセットを使用して、少なくとも局所的に 内の浸漬面を指定できるという定理があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

サイン・ゴードン解とそれに対応する表面のいくつかの例を以下に示します。

• 静的1ソリトン:擬似球
• 移動する1ソリトン: ディニ面
• ブリーザーソリューション:ブリーザー表面
• 2-ソリトン: クエン面

• ヒルベルトの定理（微分幾何学）
• ディニの表面
• ガブリエルの角笛
• 双曲面
• 双曲面構造
• 準球
• サイン・ゴードン方程式
• 球
• 革命の表面

• スティルウェル、ジョン(1996)。双曲幾何学の源泉。アメリカ数学会およびロンドン数学会。ISBN 0-8218-0529-0。
• Henderson, DW; Taimina, D. (2006). 「幾何学を体験する: 歴史のあるユークリッドと非ユークリッド」 美学と数学(PDF)。Springer-Verlag。
• カスナー、エドワード、ニューマン、ジェームズ (1940)。『数学と想像力』、サイモン＆シュスター、pp. 140、145、155。

• 非ユークリッド
• 双曲面のかぎ針編み: デイビッド・ヘンダーソンとダイナ・タイミナへのインタビュー
• ノーマン・ワイルドバーガー講義 16、数学の歴史、ニューサウスウェールズ大学。YouTube。2012 年 5 月。
• 仮想数学博物館の擬似球面。