展開可能な曲面

3次元空間で実現可能な展開可能な曲面には、以下のようなものがある。

• 円柱、より一般的には「一般化された」円柱。その断面は任意の滑らかな曲線であってもよい。
• 円錐、より一般的には円錐面。頂点から離れた方向
• オロイドとスフェリコンは、平面を転がり落ちる際に表面全体が発達する特殊な固体群に属する。
• 平面（自明なこと）は、断面が直線である円筒と見なすことができる。

定義される表面${\displaystyle F(x,y,z)=0}$^{[ 3 ] : 93}の場合、展開可能である。$${\displaystyle \left|{\begin{array}{llll}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{yx}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{zx}&F_{zy}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\end{array}}\right|=0,\quad F_{x}=\partial F/\partial x,{\text{など}}}$$

線織面を考えてみよう$${\displaystyle F(s,v)=c(s)+vd(s),\quad |d(s)|=1}$$と${\textstyle s}$支配パラメータと${\textstyle v}$各線に沿った座標。展開可能であるのは、線に沿って移動する際に接平面がねじれない場合、つまり接平面が${\textstyle F(s,v)}$すべて同じです${\textstyle v}$その修正により${\textstyle s}$数式では、次のように書かれています。$${\displaystyle \operatorname {det} \left(c^{\prime }(s),d(s),d^{\prime }(s)\right)=0,\quad \forall s}$$それが成り立つとき、無限に接近した裁断線が交差し、それらの包絡線として空間曲線が生成される。曲線は次のように描かれる。${\textstyle c(s)+v_{0}(s)d(s)}$、 どこ$${\displaystyle v_{0}(s)=-{\frac {\left\langle c^{\prime }(s),d^{\prime }(s)\right\rangle }{\left\langle d^{\prime }(s),d^{\prime }(s)\right\rangle }}}$$この曲線は元の曲面の回帰の境界であり、元の曲面は曲線の接線展開線である。${\textstyle r}$。

一般的に、各展開可能曲面は回帰エッジを1つだけ持ちます。このように、一般的な展開可能曲面の理論は、一般的な接線展開可能曲面の理論と同じです。

特殊な展開可能曲面には、平面、円柱、円錐など、回帰の「退化」エッジが存在する。

展開可能な曲面は、いくつかの一般的な定理を用いることで、無限の多様体として生成することができる。

前述のとおり、接線展開可能曲面は、空間曲線の接線を延長することによって構築されます。これは、曲線の接触平面の包絡面です。曲線自体は、展開可能曲面の回帰境界と呼ばれます。

微分可能な 1 パラメータ族の平面の包絡面は展開可能である。このようにして、次のタイプの任意の微分可能な関数は$\displaystyle \mathbb {R} \to {\text{\mathbb {R} ^{3}} 内の平面$展開可能な曲面を生成する。

極展開可能図形は次のように構築されます。滑らかな空間曲線が与えられた場合${\displaystyle \gamma }$各点に接円を描き、次に各円の中心を通る円の平面に垂直な直線を描きます。これらの直線が極線です。同様に、各点に法平面を描きます。無限に接近した2点の法平面は直線で交わります。これらの直線が極線です。極線は曲線の法平面の包絡面であるため、展開可能な曲面を描き出します。^{[ 4 ]}

例えば、らせんの極展開図は、平面内にない軸に沿って平面をねじることによって得られる。

一般的な空間曲線の場合、その極展開図の回帰境界は、曲線の接球の中心を結ぶ曲線である。多くの文献では、これは焦点曲線または曲線の球面回帰曲線とも呼ばれる。

空間曲線が与えられた場合${\displaystyle \gamma }$そしてもう一つの空間曲線${\displaystyle \mu }$私たちはこう言います${\displaystyle \mu }$進化曲線は${\displaystyle \gamma }$接線が${\displaystyle \mu }$交差する${\displaystyle \gamma }$直角に。これは平面曲線のエボリュートの概念に類似していますが、平面では曲線ごとにエボリュートは 1 つしかありませんが、空間では一般に曲線ごとに 1 つのパラメータ族のエボリュートが存在することに注意してください。すべてのエボリュート曲線は${\displaystyle \gamma }$極展開可能な測地線は${\displaystyle \gamma }$[ ^{5 ]​}

させて${\displaystyle \mu }$進化する${\displaystyle \gamma }$、 それから${\displaystyle \gamma }$接線展開可能${\displaystyle \mu }$、 そして${\displaystyle \gamma }$それは、その判決とは直交する。

極展開図が円筒であるのは、元の曲線が${\displaystyle \gamma }$平面上の曲線${\displaystyle P}$円筒の方向に対して直交する。この場合、それは、円筒の垂直方向に沿ってエヴォリュート曲線を平行移動することによって得られる。${\displaystyle P}$。

例えば、${\displaystyle \gamma }$円のインボリュートである。空間曲線とみなすと、${\displaystyle \gamma }$の極展開図は、円をその垂直方向に沿って移動させることによって生成される円筒です。${\displaystyle \gamma }$円筒上のらせんはすべて同じ尖点を通ります。${\displaystyle \gamma }$シリンダーに接触する。

極展開可能な曲線が円錐であるのは、元の曲線が円錐の頂点を中心とする球面上の曲線である場合に限る。

曲面が与えられたとき、その曲面の任意の曲率線に沿った法線は、展開可能な曲面を描き出す。このようにして、一般的な曲面は、直角に交わる2つの1パラメータ族の展開可能な曲面を生成する。これらがその曲面の法線展開可能曲面である。

これら2つの1パラメータ族のうちの1つを取ります。この族の各展開可能曲面には回帰エッジがあります。これらは回帰エッジの1パラメータ族全体を生成し、空間曲面を掃引します。もう一方の族は別の空間曲面を掃引します。これらは元の曲面の2つの焦点曲面です。

平面の測地線は直線であるため、展開可能な曲面の測地線は、まずそれを平面上に平らに転がし、直線を描き、次にそれを再び展開することによって得られる。これにより、すべての測地線の2パラメータ族が得られる。

球体は平面上に展開することができないため、いかなる計量においても展開可能な曲面ではない。

ヘリコイドは線織面の一種ですが、上述の線織面とは異なり、展開可能な曲面ではありません。

双曲放物面と双曲面は、わずかに異なる二重線織面であるが、上述の線織面とは異なり、どちらも展開可能な曲面ではない。

多くのグリッドシェル構造や引張構造、および類似の構造物は、（任意の）二重曲面形状を用いることで強度を高めることができる。