指数写像（リーマン幾何学）

リーマン幾何学において、指数写像は、リーマン多様体（または擬似リーマン多様体）Mの接空間T _p Mのサブセットから M 自身への写像である。（擬似）リーマン計量は標準アフィン接続を決定し、（擬似）リーマン多様体の指数写像はこの接続の指数写像によって与えられる。

M を微分可能多様体とし、p をMの点とする。M上のアフィン接続により、点p を通る直線の概念を定義することができる。^[1]

v ∈ T _p M を多様体のpにおける接ベクトルとする。すると、初期接ベクトルγ ′ _v (0) = vでγ _v (0 ) = p を満たす唯一の測地線γ _v :[0,1] → M が存在する。対応する指数写像はexp _p ( v ) = γ _v (1)で定義される。一般に、指数写像は局所的にのみ定義され、つまり、多様体のpの近傍までのT _p Mにおける原点の小さな近傍のみをとる。これは、指数写像が本質的に局所的な常微分方程式の存在と一意性の定理に依存しているためである。アフィン接続が完全であると言われるのは、指数写像が接束のすべての点で明確に定義されている場合である。

直感的に言えば、指数写像は、多様体への与えられた接線ベクトルを取り、その点から測地線に沿って走り、単位時間ごとにその方向に進みます。v は測地線の速度ベクトルに対応するため、実際の（リーマン）移動距離はそれに依存します。測地線を単位速度に再パラメータ化することもできるため、同等に exp _p ( v ) = β(| v |) と定義できます。ここで、 β は、 vの方向に進む単位速度の測地線（弧の長さによってパラメータ化された測地線）です。接線ベクトルv を変化させると、 exp _{p を}適用すると、ベースポイントpから一定の距離内にあるM上のさまざまなポイントが得られます。これは、多様体への接空間が多様体の一種の「線形化」であることを示す最も具体的な方法の 1 つかもしれません。

ホップ・リノウの定理は、多様体が計量空間として完備である場合に限り、指数写像を接空間全体に定義できると主張している（ この性質を持つ指数写像を持つ多様体に対して測地線完備という通常の用語が正当化される）。特に、コンパクト多様体は測地線完備である。しかし、 exp _{p が}接空間全体に定義されたとしても、一般には大域微分同相写像にはならない。しかし、接空間の原点におけるその微分は恒等写像であり、したがって逆写像定理によって、指数写像が埋め込みとなる T _p Mの原点の近傍を見つけることができる（すなわち、指数写像は局所微分同相写像である）。 exp _pを介して微分同相写像できる、 T _p Mの原点の周りの最大の球の半径は、pにおけるMの単射半径と呼ばれる。指数写像のカット軌跡は、大まかに言えば、指数写像が一意の最小値を持たないすべての点の集合です。

指数写像の重要な性質は、ガウスの次の補題（これもまたガウスの補題）である。 exp _pの定義域内の任意の接ベクトルvと、vの先端を基点とする別のベクトルw（したがって、w は実際には二重接空間T _v (T _p M ) 内にある）でvに直交する場合、指数写像を介して前方に押し出されたときにw はvに直交したままである。 これは特に、 T _p Mの原点の周りの小さな球の境界球が、それらのベクトルによって決定されるMの測地線に直交する（つまり、測地線は放射状）ことを意味する。 これが、リーマン多様体上の 測地線正規座標の定義の動機となっている。

指数写像は、曲率の抽象的な定義を、リーマン自身が最初に考えたより具体的な実現に関連付ける際にも役立ちます。断面曲率は、検討中の点pを通るある表面 (つまり、多様体を 2 次元部分多様体でスライスしたもの) のガウス曲率として直感的に定義されます。指数写像によって、断面曲率は、 T _p Mの 2 次元部分空間のexp _pによる像によって決定されるp を通る表面のガウス曲率として正確に定義できるようになりました。

双不変計量（左と右の両方の変換に対して擬似リーマン計量不変量）を持つリー群の場合、擬似リーマン構造の指数写像は、リー群の指数写像と同じである。一般に、リー群は双不変計量を持たないが、連結された半単純（または簡約）リー群はすべて双不変計量を持つ。双不変リーマン計量の存在は擬似リーマン計量の存在よりも強く、リー代数がコンパクト リー群のリー代数であることを意味する。逆に、任意のコンパクト（またはアーベル）リー群はそのようなリーマン計量を持つ。

「正直な」指数写像を与える例を見てみましょう。通常の乗算​​によるリー群である正の実数 R ^{+を考えてみましょう。すると、各接空間は}Rになります。点yにおけるRの各コピーに、 通常の実数として乗算する修正内積を導入します が、 y ²でスケーリングします(これがメトリックを左不変にするものです。係数による左乗算は、内積から 2 回引き出すだけなので、分母の平方がキャンセルされます)。 $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}}$$

点 1 ∈ R ⁺と、 1 における接空間の要素x ∈ Rについて考えます。1 から発する通常の直線、つまりy ( t ) = 1 + xt は、もちろん測地線と同じ経路をたどりますが、一定速度の曲線を得るために再パラメータ化する必要があります (「一定速度」は、この奇妙なメトリックを使用しているため、通常の一定速度ではないことに注意してください)。これを行うには、弧の長さ (修正されたメトリックによって誘導されるノルムの接線ベクトルの長さの積分) によって再パラメータ化します。${\displaystyle |\cdot |_{y}}$$${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|}$$

そして関数を反転してt をsの関数として得た後、代入して $${\displaystyle y(s)=e^{sx/|x|}}$$

ここで、単位速度の定義を使用して、 期待されるe ^xが得られます。 $${\displaystyle \exp_{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),}$$

これによって定義されるリーマン距離は単純に $${\displaystyle \operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.}$$

• 指数トピックのリスト

• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975)、Riemannian Geometry の比較定理、Elsevier第1章第2節および第3節を参照してください。
• do Carmo、Manfredo P. (1992)、リーマン幾何学、Birkhäuser、ISBN 0-8176-3490-8第3章を参照してください。
• 「指数写像」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ヘルガソン、シグルドゥル(2001)、「微分幾何学、リー群、対称空間」、数学大学院研究、第34巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2848-9、MR  1834454。
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。