定値行列

1${\displaystyle n\times n}$対称実数行列${\displaystyle M}$は、正定値であると言われます。${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$すべての非ゼロに対して${\displaystyle \mathbf {x} }$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$正式には、 $${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

1${\displaystyle n\times n}$対称実数行列${\displaystyle M}$正半定値または非負定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \mathbf {x} }$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$正式には、 $${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

1${\displaystyle n\times n}$対称実数行列${\displaystyle M}$負定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$すべての非ゼロに対して${\displaystyle \mathbf {x} }$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$正式には、 $${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

1${\displaystyle n\times n}$対称実数行列${\displaystyle M}$負半正定値または非正定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \mathbf {x} }$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$正式には、 $${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

1${\displaystyle n\times n}$正定値でも負定値でもない対称な実数行列は不定値と呼ばれます。

以下の定義はすべて、用語を含んでいます。${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$これは、任意のエルミート正方行列に対して常に実数であることに注意してください。${\displaystyle M.}$

1${\displaystyle n\times n}$エルミート複素行列${\displaystyle M}$は、正定値であると言われます。${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$すべての非ゼロに対して${\displaystyle \mathbf {z} }$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$正式には、

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

1${\displaystyle n\times n}$エルミート複素行列${\displaystyle M}$正半定値または非負定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \mathbf {z} }$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$正式には、

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

1${\displaystyle n\times n}$エルミート複素行列${\displaystyle M}$負定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$すべての非ゼロに対して${\displaystyle \mathbf {z} }$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$正式には、

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

1${\displaystyle n\times n}$エルミート複素行列${\displaystyle M}$負半正定値または非正定値であるとは、${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$すべての人々のために${\displaystyle \mathbf {z} }$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$正式には、

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

1${\displaystyle n\times n}$正定値でも負定値でもないエルミート複素行列は不定値と呼ばれます。

すべての実数行列は複素数行列でもあるため、これら2つのクラスの「正定値性」の定義は一致しなければならない。

複素行列の場合、最も一般的な定義は次のとおりである。${\displaystyle M}$正定値であるのは、${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$は、ゼロでないすべての複素列ベクトルに対して実数かつ正の値をとる。${\displaystyle \mathbf {z} .}$ この条件は、${\displaystyle M}$はエルミート行列である（つまり、その転置行列は共役行列と等しい）ので、${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$実数であるため、その共役転置に等しい。${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$すべての${\displaystyle \mathbf {z} ,}$これはつまり${\displaystyle M=M^{*}.}$

この定義によれば、正定値実数行列は${\displaystyle M}$はエルミート行列であり、したがって対称である。${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$ゼロでないすべての実数列ベクトルに対して正の値をとる。${\displaystyle \mathbf {z} .}$ しかし、最後の条件だけでは十分ではない${\displaystyle M}$正定値であること。例えば、 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$

すると任意の実ベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {z} }$エントリー付き${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$我々は持っています${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$これは常にプラスです${\displaystyle \mathbf {z} }$はゼロではありません。ただし、${\displaystyle \mathbf {z} }$は、要素1と を持つ複素ベクトルです。${\displaystyle i}$⁠、

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$

それは現実ではない。したがって、${\displaystyle M}$正定値ではない。

一方、対称な実数行列の場合${\displaystyle M,}$条件「${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$すべての非ゼロ実ベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {z} }$「は、${\displaystyle M}$複素数の意味での正定値である。

エルミート行列の場合${\displaystyle M}$正半定値である場合、次のように書くこともある。${\displaystyle M\succeq 0}$そしてもし${\displaystyle M}$正定値である。${\displaystyle M\succ 0.}$示すために${\displaystyle M}$負半定値の場合、次のように書きます。${\displaystyle M\preceq 0}$そして、${\displaystyle M}$負定値の場合、次のように書きます。${\displaystyle M\prec 0.}$

この表記法は、正定値半正定値行列が正の演算子を定義する関数解析に由来します。2 つの行列が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$満足する${\displaystyle B-A\succeq 0,}$非厳密な半順序を定義することができる${\displaystyle B\succeq A}$それは反射的、反対称的、推移的である。しかし、それは全順序ではない。${\displaystyle B-A,}$一般的には、不定である可能性があります。また、次の点にも注意してください。${\displaystyle \succeq }$そして${\displaystyle \succ }$非厳密な部分順序関係と厳密な部分順序関係の通常の対応関係を満たさないのは、${\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}$意味しない${\displaystyle B\succ A}$。

一般的な代替表記法は${\displaystyle M\geq 0,}$${\displaystyle M>0,}$${\displaystyle M\leq 0,}$そして${\displaystyle M<0}$それぞれ、正半定値行列と正定値行列、負半定値行列と負定値行列を表します。非負行列（または非正行列）もこのように表記される場合があるため、紛らわしいかもしれません。

分解は一意ではありません。${\displaystyle M=B^{*}B}$一部の人にとって${\displaystyle k\times n}$マトリックス${\displaystyle B}$そしてもし${\displaystyle Q}$ユニタリ​${\displaystyle k\times k}$マトリックス（意味）${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$）、 それから${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$のために${\displaystyle A=QB.}$

しかし、2つの分解が異なる可能性があるのはこの方法だけです。分解はユニタリ変換を除いて一意です。より厳密には、${\displaystyle A}$は${\displaystyle k\times n}$行列と${\displaystyle B}$は${\displaystyle \ell \times n}$行列${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$ すると${\displaystyle \ell \times k}$マトリックス${\displaystyle Q}$直交列（つまり${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$) のように${\displaystyle B=QA.}$^{[ 5 ]} いつ${\displaystyle \ell =k}$これはつまり${\displaystyle Q}$単一である。

この記述は、実際の場合には直観的な幾何学的解釈を持つ。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$ベクトルを${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$そして${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ 実ユニタリ行列は直交行列であり、ユークリッド空間の剛体変換（等長変換）を表す。${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$）0点を保持する（つまり、回転と鏡映のみで、平行移動は行わない）。したがって、ドット積は${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$そして${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$は、ある厳密な変換が${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ベクトルを変換する${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$に${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$（そして0から0へ）。

エルミート行列${\displaystyle M}$正半定値であるのは、正半定値行列が存在する場合に限る。${\displaystyle B}$ （特に${\displaystyle B}$はエルミート行列なので${\displaystyle B^{*}=B}$満足${\displaystyle M=BB.}$このマトリックス${\displaystyle B}$は一意であり、^{[ 6 ]}は非負の平方根と呼ばれます。${\displaystyle M,}$そして、で表されます${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$ いつ${\displaystyle M}$は正定値なので、${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$したがって、これは正の平方根とも呼ばれます。${\displaystyle M.}$

非負の平方根は、他の分解と混同してはならない。${\displaystyle M=B^{*}B.}$一部の著者は平方根 という名前を使用し、${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$このような分解、特にコレスキー分解、または次の形式の分解について${\displaystyle M=BB;}$ 他の人はそれを非負の平方根にのみ使用する。

もし${\displaystyle M\succ N\succ 0}$それから${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}$

エルミート正半定値行列${\displaystyle M}$次のように書くことができます${\displaystyle M=LL^{*},}$どこ${\displaystyle L}$非負の対角線を持つ下三角形（同等に${\displaystyle M=B^{*}B}$どこ${\displaystyle B=L^{*}}$は上三角行列です。これはコレスキー分解です。${\displaystyle M}$が正定値である場合、${\displaystyle L}$が正であり、コレスキー分解は一意である。逆に、${\displaystyle L}$対角線が非負の下三角三角形である場合${\displaystyle LL^{*}}$は正定値半正定値である。コレスキー分解は、効率的な数値計算に特に有用である。密接に関連する分解はLDL分解である。${\displaystyle M=LDL^{*},}$どこ${\displaystyle D}$は斜めで${\displaystyle L}$下側は単位三角形です。

どれでも${\displaystyle 2n\times 2n}$正定値エルミート実数行列${\displaystyle M}$シンプレクティック（実数）行列を介して対角化できます。より正確には、ウィリアムソンの定理はシンプレクティック行列の存在を保証します。${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$対角線上の実数は正の値${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$そのため${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$。

任意の正方行列の場合${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$私たちは書く${\displaystyle M\geq N}$もし${\displaystyle M-N\geq 0}$つまり、${\displaystyle M-N}$これは半正定値行列です。これにより、すべての正方行列の集合上に半順序が定義されます。同様に、厳密な半順序を定義することもできます。${\displaystyle M>N.}$この順序付けはローヴナー順序と呼ばれます。

すべての正定値行列は可逆であり、その逆行列も正定値である。^{[ 9 ]}もし${\displaystyle M\geq N>0}$それから${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$^{[ 10 ]}さらに、最小最大定理、k番目に大きい固有値は${\displaystyle M}$k番目に大きい固有値以上である${\displaystyle N.}$

もし${\displaystyle M}$正定値であり、${\displaystyle r>0}$が実数であれば、${\displaystyle rM}$正定値である。^{[ 11 ]}

• もし${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$正定値である場合、合計${\displaystyle M+N}$正定値でもある。^{[ 11 ]}
• もし${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$正半定値である場合、その和は${\displaystyle M+N}$正半定値行列でもある。
• もし${\displaystyle M}$正定値であり、${\displaystyle N}$正半定値である場合、その和は${\displaystyle M+N}$正定値でもある。

• もし${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$正定値である場合、積は${\displaystyle MNM}$そして${\displaystyle NMN}$も正定値です。${\displaystyle MN=NM,}$それから${\displaystyle MN}$も正定値である。
• もし${\displaystyle M}$正半定値である場合、${\displaystyle A^{*}MA}$任意の（長方形を含む）行列に対して正半定値である${\displaystyle A.}$もし${\displaystyle M}$正定値であり、${\displaystyle A}$列ランクが完全な場合、${\displaystyle A^{*}MA}$正定値である。^{[ 12 ]}

斜めのエントリ${\displaystyle m_{ii}}$正定値半正定値行列の は実数かつ非負である。結果として、トレース は、${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$さらに、^{[ 13 ]}すべての主小行列（特に2×2）は正半定値であるため、 $${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$ そして、${\displaystyle n\geq 1,}$$${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

1${\displaystyle n\times n}$エルミート行列${\displaystyle M}$次のトレース不等式を満たす場合、正定値である: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

もう一つの重要な結果は、任意の${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$正定値半行列、${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$これは、${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$マトリックス${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$これは正半定値行列であるため、非負の固有値を持ち、その和であるトレースも非負となる。

もし${\displaystyle M,N\geq 0,}$それでも${\displaystyle MN}$は必ずしも正半定値ではなく、アダマール積は、${\displaystyle M\circ N\geq 0}$（この結果はしばしばシューア積定理と呼ばれる。）^{[ 15 ]}

2つの正定値半正定値行列のアダマール積について${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$${\displaystyle N\geq 0,}$注目すべき不平等が2つある。

• オッペンハイムの不等式：${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$^{[ 17 ]}

もし${\displaystyle M,N\geq 0,}$それでも${\displaystyle MN}$必ずしも正半定値ではない、クロネッカー積${\displaystyle M\otimes N\geq 0.}$

もし${\displaystyle M,N\geq 0,}$それでも${\displaystyle MN}$必ずしも正半定値である必要はない、フロベニウス内積${\displaystyle M:N\geq 0}$（ランカスター＝ティスメネツキー著『行列の理論』218ページ ）

正定値対称行列の集合は凸である。つまり、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$が正半定値である場合、任意の${\displaystyle \alpha }$0から1の間、${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$も半正定値です。任意のベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

この性質により、半正定値計画問題はグローバル最適解に収束することが保証される。

行列の正定値性${\displaystyle A}$角度が${\displaystyle \theta }$任意のベクトル間${\displaystyle \mathbf {x} }$そしてそのイメージ${\displaystyle A\mathbf {x} }$いつも${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }$$間の角度${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle A\mathbf {x} .}$

1. もし${\displaystyle M}$は対称トープレッツ行列、すなわち要素は${\displaystyle m_{ij}}$それらは、絶対指数差の関数として与えられます。${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}$そして厳密な不平等${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$保持して、それから${\displaystyle M}$厳密に正定値である。
2. させて${\displaystyle M>0}$そして${\displaystyle N}$エルミート行列の場合。${\displaystyle MN+NM\geq 0}$（それぞれ、${\displaystyle MN+NM>0}$） それから${\displaystyle N\geq 0}$（それぞれ、${\displaystyle N>0}$[ ^{18 ]​}
3. もし${\displaystyle M>0}$が現実であれば、${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle M>\delta I,}$どこ${\displaystyle I}$は単位行列です。
4. もし${\displaystyle M_{k}}$先頭を示す${\displaystyle k\times k}$マイナー、${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$はLU分解中のk番目のピボットです。
5. 行列は、k次主小行列式が負である場合に負定値である。${\displaystyle k}$奇妙で、${\displaystyle k}$均等です。
6. もし${\displaystyle M}$が実数正定値行列であるならば、正の実数が存在する。${\displaystyle m}$すべてのベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$
7. エルミート行列は、その主小行列式がすべて非負である場合に限り、正定値半行列となります。ただし、対角成分が0と-1である行列で確認されるように、主小行列式だけを考慮するだけでは不十分です。 

ポジティブな${\displaystyle 2n\times 2n}$行列はブロックによって定義することもできます。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$