閉じた測地線

微分幾何学と力学系において、リーマン多様体上の閉じた測地線とは、同じ接線方向で開始点に戻る測地線である。これは、測地線流の閉じた軌道を多様体の接空間に投影したものとして形式化できる。

リーマン多様体( M、g )において、閉じた測地線は計量gの測地線であり周期的な曲線です。 ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M}$

閉測地線は変分原理によって特徴づけられる。M 上の滑らかな1周期曲線の空間で表すと、周期1の閉測地線はエネルギー関数の臨界点とまったく同じであり、次のように定義される。 ${\displaystyle \Lambda M}$${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

が周期pの閉測地線である場合、再パラメータ化された曲線は周期 1 の閉測地線であり、したがってEの臨界点です。 がEの臨界点である場合、再パラメータ化された曲線（各 に対して）も で定義されます。したがって、 M上のすべての閉測地線は、エネルギーEの臨界点の無限列を生じます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma^{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \gamma^{m}(t):=\gamma(mt)}$

標準計量を持つ⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元単位球面上では、すべての測地線（大円）は閉じています。球面と位相的に同値な滑らかな表面上では、これは当てはまらないかもしれませんが、少なくとも 3 つの単純な閉じた測地線が常に存在します。これが3 測地線の定理です。すべての測地線が閉じている多様体は、数学の文献で徹底的に研究されてきました。基本群にねじれがないコンパクトな双曲面上では、閉じた測地線は、面のフックス群の元の非自明な共役類と 1 対 1 に対応します。

• リュステルニク-フェット定理
• 3測地線の定理
• 曲線短縮フロー
• セルバーグのトレースの式
• セルバーグゼータ関数
• ゾル表面

• Besse, A. : 「すべての測地線が閉じている多様体」、Ergebisse Grenzgeb. Math.、第 93 号、Springer、ベルリン、1978 年。