法線座標

微分幾何学において、対称アフィン接続を備えた微分可能多様体の点pにおける正規座標は、 pにおける接空間に指数写像を適用することによって得られるpの近傍における局所座標系である。正規座標系では、接続のクリストッフェル記号は点pで消えるため、局所計算が簡素化されることが多い。リーマン多様体のレヴィ・チヴィタ接続に関連付けられた正規座標では、さらに、計量テンソルが点pにおけるクロネッカーのデルタであり、pにおける計量の第 1偏導関数が消えるように設定できる。

微分幾何学の基本的な結果によれば、ある点における正規座標は、対称なアフィン接続を持つ多様体上に常に存在する。このような座標では、共変微分は偏微分（pのみ）に簡約され、pを通る測地線はt （アフィンパラメータ）の局所的に線形な関数である。このアイデアは、アルバート・アインシュタインによって一般相対性理論で基本的な方法で実装された。 同値原理は、慣性系を介して正規座標を使用する。リーマン多様体または擬リーマン多様体のレヴィ・チヴィタ接続では、正規座標が常に存在する。対照的に、一般に、フィンスラー多様体の正規座標を、指数写像が 2 回微分可能であるように 定義する方法はない（Busemann 1955）。

測地正規座標は、指数写像によって定義されるアフィン接続を持つ多様体上の局所座標である。

${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M}$

0の開近傍を持ち、同型 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M}$

固定された基点における接空間の任意の基底によって与えられる。リーマン計量の追加構造が課される場合、Eによって定義される基底は正規直交であることがさらに要求され、その結果生じる座標系はリーマン正規座標系と呼ばれる。 ${\displaystyle p\in M}$

正規座標は、 M内の点pの正規近傍上に存在します。正規近傍Uは、接空間T _p M内に原点の適切な近傍Vが存在するようなMの開部分集合であり、 exp _{p は}UとV間の微分同相写像として機能します。 M内のpの正規近傍Uでは、チャートは次のようになります。

${\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

同型性E 、したがってチャートは、決して一意ではありません。凸正規近傍 Uは、 U内のすべてのpの正規近傍です。これらの種類の開近傍 (位相基底を形成する) の存在は、対称アフィン接続に対して JHC ホワイトヘッドによって確立されています。

正規座標の特性により、計算が簡単になることがよくあります。以下では、が 内の点を中心とする正規近傍であり、 が上の正規座標であると仮定します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle U}$

• を からのベクトルとし、をおよびの測地線とします。次に、内にある限り、標準座標ではとなります。したがって、標準座標の放射状経路は を通る測地線とまったく同じです。${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle V^{i}}$${\displaystyle \gamma_{V}}$${\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}$${\displaystyle \gamma _{V}'(0)=V}$${\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$
• 点の座標は${\displaystyle p}$${\displaystyle (0,...,0)}$
• リーマン正規座標の点では、リーマン計量の成分は、つまり と簡略化されます。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \delta_{ij}}$${\displaystyle g_{ij}(p)=\delta _{ij}}$
• クリストッフェル記号は で消えます、つまり。リーマンの場合、 の 1 次偏微分も消えます、つまり。${\displaystyle p}$${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}$

局所直交座標系を備え 、リーマンテンソルが値をとる 任意の点の近傍では、から離れた 計量テンソルの成分が ${\displaystyle p=(0,\ldots 0)}$${\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)}$${\displaystyle x^{\mu}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^ {\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3})。}$

対応するレヴィ・チヴィタ接続のクリストッフェル記号は

${\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}R_{\lambda \nu \mu \tau }(0)+R_{\lambda \mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2}).}$

同様に、局所コフレームを構築することができる。

${\displaystyle e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),}$

スピン接続係数は次のような値を取る。

${\displaystyle {\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\tfrac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).}$

リーマン多様体では、 pにおける通常の座標系により、極座標として知られる球面座標系の導入が容易になります。これらは、ユークリッド空間T _p Mに標準球面座標系を導入することによって得られるM上の座標です。つまり、T _p Mに標準球面座標系 ( r ,φ) を導入します。ここで、 r  ≥ 0 はラジアルパラメータ、 φ = (φ ₁ ,...,φ _{n −1 ) は}( n −1) 球面のパラメータ化です。 ( r ,φ) とpにおける指数写像の逆写像の合成は極座標系です。

極座標はリーマン幾何学においていくつかの基本的なツールを提供します。ラジアル座標は最も重要なものです。幾何学的には、近傍点の pへの測地線距離を表します。ガウスの補題は、rの勾配は単に偏微分であると主張しています。つまり、 ${\displaystyle \partial /\partial r}$

${\displaystyle \langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}}$

任意の滑らかな関数ƒに対して、極座標上の計量はブロック対角形式 をとる。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.}$

• Busemann、Herbert (1955)、「フィンスラー空間の法線座標について」、Mathematische Annalen、129 : 417–423、doi :10.1007/BF01362381、ISSN  0025-5831、MR  0071075。
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• Chern, SS; Chen, WH; Lam, KS;微分幾何学に関する講義、World Scientific、2000

• ガウスの補題
• フェルミ座標
• ローカル参照フレーム
• シングの世界関数