基本多角形

数学では、種数が 0 より大きいすべてのコンパクト リーマン面に対して基本多角形を定義できます。基本多角形は、その基本群を通じて面の位相に関する情報をエンコードするだけでなく、共形同値性までリーマン面を決定します。均一化定理により、すべてのコンパクト リーマン面には、次のいずれかによって与えられる単連結な普遍被覆面があります。

• リーマン球面、
• 複素平面、
• 単位円Dまたは同等の上半平面H。

種数ゼロの最初のケースでは、表面はリーマン球面と共形的に同値です。

種数 1 の 2 番目のケースでは、表面はC内の何らかの格子 Λ に対するトーラスC /Λ と共形的に同値です。 Λ の基本多角形は、凸と仮定すると、周期平行四辺形または中心対称六角形のいずれかになる可能性があり、これは1891 年に Fedorovによって初めて証明されました。

種数g > 1の最後のケースでは、リーマン面はH /Γ と共形的に同値です。ここで、 Γ はメビウス変換のフックス群です。 Γ の基本領域は、 H上の双曲計量の凸多角形によって与えられます。これらはディリクレ多角形で定義でき、辺の数が偶数です。基本群 Γ の構造は、このような多角形から読み取ることができます。準等角写像の理論とベルトラミ方程式を用いると、フリッケによって最初に定義された 4 つのg辺を持つ標準的な凸基本多角形が存在することが示されます。これは、 2 つのg生成元a ₁、b ₁、a ₂、b ₂、 ...、a _g、b _gを持つ群としてのΓ の標準的な表現と、単一の関係 [ a ₁、b ₁ ][ a ₂、b ₂ ] ⋅⋅⋅ [ a _g、b _g ] = 1 （ただし、[ a、b ] = a b a ⁻¹ b ^{−1 ）}に対応します。

向き付けられた閉 2 次元多様体 M上の任意のリーマン計量は、 M上の複素構造を定義し、M をコンパクトなリーマン面とする。基本多角形の使用により、2 つの向き付けられた閉 2 次元多様体は、その種数、つまりアーベル群 Γ/[Γ,Γ] の階数の半分、ここで Γ = π ₁ ( M ) によって分類される。さらに、準等角写像の理論から、2 つのコンパクトなリーマン面が微分同相である場合に限り、それらが同相であることもわかる。したがって、2 つの向き付けられた閉 2 次元多様体が同相である場合に限り、それらが微分同相である。このような結果は、微分位相幾何学の方法を使用して証明することもできる。^{[1] [2]}

種数 1 の場合、R ² = C上のΛ = Z a ⊕ Z bの変換による作用に対して、基本的な凸多角形が求められます。ここで、aとb はR上で線型独立です。( R ²上で実線型変換を実行した後、必要に応じて Λ = Z ² = Z + Z iと仮定できます。種数 1 のリーマン面の場合、 Λ = Z ² = Z + Z ω (Im ω > 0) の形を取ることができます。)基本領域は、 0 < s、t < 1に対して平行四辺形s x + t yで与えられます。ここで、xとy はΛ の生成元です。

C が基本凸多角形の内部である場合、 x がΛ 上を走るので、並進C + xはR ^{2 を}覆う。したがって、 Cの境界点は交点C ∩ ( C + x )で形成される。これらは ∂ C内のコンパクトな凸集合であり、したがってCの頂点またはCの辺のいずれかである。したがって、Cのすべての閉じた辺は、このように記述できる。 − xで並進すると、C ∩ ( C − x ) もCの辺である。したがって、 Cの辺は等しい長さの平行なペアで発生する。このような等しい長さの 2 つの平行線分の端点は、交差するように結合でき、交差は端点を結合する線分の中点で発生する。したがって、このような線分の交点はすべて同じ点で発生する。その点を原点に並進すると、多角形は中心対称である、つまり点z が多角形内にある場合、点 − zも多角形内にある。

中心対称の凸六角形を平行移動することで平面がモザイク状になることは容易にわかります。A が六角形の点である場合、格子は変位ベクトルABおよびACによって生成されます。ここで、 BおよびC は、 Aに隣接しておらず、Aの反対側でもない 2 つの頂点です。実際、 2 番目の図は、六角形が、線分ABおよびACで切り取られた 2 つの三角形を変位させることによって得られる平行四辺形と等価であることを示しています。同様に、最初の図は、平行四辺形によるタイリングを六角形のタイリングと一致させる別の方法を示しています。六角形の中心が 0 で、頂点の順序がa、b、c、 − a、 − b、 − cである場合、 Λ は生成元がa + bおよびb + cであるアーベル群です。

菱形の辺をさまざまな方法で識別することによって作成できるトポロジは、正確に 4 つあります。これらは、正方形上の方向性エッジ A と B として、AABB または ABAB シーケンスとして以下に示されています。

フェドロフの定理は、1891年にロシアの結晶学者エフグラフ・フェドロフによって確立され、平行四辺形と中心対称六角形だけが基本領域となる凸多角形であると主張している。^[4]この定理にはいくつかの証明があり、最近のものには、ブルン・ミンコフスキーの不等式など、凸性理論、数の幾何学、円充填の結果に関連するものがある。^{[5]ここでは、} HSMコクセターとボロノイ による2つの基本的な証明を紹介する。^{[6] [7]}

Coxeter の証明は、 2 m辺の中心対称凸多角形Cがあると仮定して進められます。次に、N ^{2 個}の基本平行四辺形から形成される大きな閉じた平行四辺形が、大きな平行四辺形の辺を超えるCの平行移動によってタイル張りされます。これにより、トーラスC / N Λ 上のタイル張りが誘導されます。v 、e 、f を、このタイル張りの頂点、辺、面の数とします (商空間での識別を考慮)。次に、トーラスの オイラー・ポアンカレ特性が 0 であるため、

${\displaystyle v-e+f=0.}$

一方、各頂点は少なくとも3つの異なる辺上にあり​​、すべての辺は2つの頂点の間にあるため、

${\displaystyle 3v\leq 2e.}$

さらに、すべての辺はちょうど2つの面上にあるため、

${\displaystyle 2e=2mf.}$

したがって

${\displaystyle mf=e\leq 3(ev)=3f.}$

となることによって

${\displaystyle m\leq 3,}$

必要に応じて。

ボロノイの証明は、 Cのすべての辺が Λ の元xに対応するという観察から始まります。実際、辺は、 0 からxまでの半径の直交二等分線です。したがって、 0 から各辺への垂線の足は、各辺の内部にあります。y が任意の格子点である場合、 1/2 y はCには存在しません。なぜなら、もし存在するとすると、 –1/2 yもCに存在することになり、C がΛ の基本領域であることと矛盾するからです。 ± x ₁、...、± x _{m を}、 Cの辺に対応する Λ の2 m個の異なる点とします。Λ の生成元aとb を固定します。したがって、 x _i = α _i a + β _i b となります。ここで、 α _iと β _{i は整数です。 α i}と β _{i の}両方が偶数になることはあり得ません。そうでなければ、 ± 1/2 x _{i は}Λ の辺上の点となり、C が基本領域であることと矛盾するからです。したがって、整数のペア (α _i、 β _i ) を法とする 2 には、(0,1)、(1,0)、(1,1) の 3 つの可能性があります。したがって、m > 3 の場合、 i ≠ jとなるx _iとx _jが存在し、 x _i − x _jの座標は両方とも偶数になります。つまり、1/2 ( x _i + x _j ) は Λ 内にあります。しかし、これは 2 つの辺の内部点を結ぶ線分の中点であるため、多角形の内部であるC内にあります。これもまた、 C が基本領域であるという事実と矛盾します。したがって、背理法m ≤ 3 が主張どおりになります。

C = R ²の格子 Λ に対して、 Cの共形構造を使用して基本領域を標準的に定義できます。 Cの共形変換の群は、a ≠ 0の複素アフィン変換g ( z ) = az + bによって与えられることに注意してください。これらの変換は、ユークリッド計量d ( z , w ) = | z − w |を係数まで保存し、方向も保存します。これは、点を∞に固定するメビウス群の部分群です。計量構造を使用して、 C = { z : d ( z , 0) < d ( z , λ )（Λ 内のすべてのλ ≠ 0 について）}によって標準基本領域を定義できます。 (定義から、これが基本領域であることは明らかです。) これはディリクレ領域またはボロノイ図の例です。複素変換はアーベル群を形成し、Λ の作用と可換であるため、これらの概念は一致します。Im ω > 0 の場合の Λ = Z + Z ω の標準基本領域は、中心0を持つ対称凸平行四辺形または六角形です。等角同値により、周期ω はさらに制限され、| Re ω | ≤ 1/2および| ω | ≥ 1を満たすことができます。ディリクレが示したように (「ディリクレの六角形定理」、1850 年)、ほとんどすべてのωに対して、基本領域は六角形です。Re ω > 0 の場合、辺の中点は ±1/2、± ω /2、および±( ω – 1)/2で与えられます。実際、最初の頂点は、xとyが実数である(1 + ix )/2とω (1 + iy )/2の形を持たなければなりません。したがって、ω = a + ibであれば、a – by = 1、x = b + ayとなります。したがってy = ( a – 1)/ bかつx = ( a ² + b ² – a )/ bである。したがって6つの頂点は± ω (1 – iy )/2かつ±(1 ± ix )/2である。^[8]

すべてのコンパクト リーマン面Xには、単連結なリーマン面Xである普遍被覆面があります。Xの基本群は、 Xのデッキ変換として機能し、 Xの双正則同型群の部分群 Γ と同一視できます。したがって、群 Γ は、Xと同一視できるコンパクトな商空間X /Γ でXに自由に作用します。したがって、コンパクト リーマン面の分類は、可能な群 Γ の研究に還元できます。均一化定理により、 X は、リーマン球面、複素平面、または単位円板/上半平面のいずれかです。コンパクト リーマン面の最初の重要な不変量は種数です。これは、アーベル群Γ/[Γ, Γ]の階数の半分によって与えられる位相不変量です(これは、ホモロジー群H ₁ ( X、Z )と同一視できます)。被覆空間がリーマン球面の場合、種数は 0 です。被覆空間が複素平面の場合、種数は 1 です。単位円または上半平面の場合は1より大きい。^[9]

リーマン球面の双正則同型写像は単なる複素メビウス変換であり、対応する複素行列には常に少なくとも 1 つの非ゼロ固有ベクトルがあるため、すべての非恒等変換には少なくとも 1 つの不動点があります。したがって、 Xがリーマン球面の場合、X はリーマン球面、つまり種数 0 のリーマン面と単連結かつ双正則でなければなりません。Xが複素平面の場合、双正則同型写像の群はアフィン群、つまり複素メビウス変換を ∞ に固定したものなので、変換g ( z ) = az + bでa ≠ 0です。不動点のない非恒等変換は、a = 1かつb ≠ 0のもの、つまり非ゼロ変換です。したがって、群 Γ は、種数 1 の基本多角形のセクションで説明したように、 Cの格子 Λおよび商C /Λ を持つXと同一視できます。 3番目のケース、つまりXが単位円板または上半平面である場合、双正則同型群は単位円または実軸を固定した複素メビウス変換から構成される。前者の場合、変換は群SU(1, 1)/{± I }の元に対応し、後者の場合、変換は実メビウス変換、つまりSL(2, R )/{± I }の元に対応する。^[9]

コンパクト商を持つ単位円板または上半平面上で自由に作用する可能性のある群 Γ の研究と分類、つまり第一種フックス群の研究と分類は、以下に説明するように、それらの基本多角形を研究することによって達成できます。ポアンカレが観察したように、そのような多角形はそれぞれ特殊な特性、つまり凸であり、その辺の間に自然なペアリングがあります。これらは、群を復元できるだけでなく、生成元と関係による群の明示的な表現を提供します。逆に、ポアンカレは、そのような多角形はコンパクトなリーマン面を生じることを証明しました。実際、ポアンカレの多角形定理は、多角形が理想的な頂点を持つことが許されるより一般的な多角形に適用されましたが、彼の証明は、そのような頂点のないコンパクトなケースでのみ完全でした。多角形の凸性に関する仮定なしに、シーゲルのアイデアに基づいて、マスクィットとデ・ラムによって完全な証明が与えられており、ベアドン (1983)、イヴァーセン (1992)、スティルウェル (1992) に見ることができる。カラテオドリは、シュワルツ三角形によるタイル張り、すなわち、角度π / a、π / b、π / cを持ち、その和がπ未満である測地三角形によるタイル張りの存在について基本的な扱いを与えた。ここで、a、b、cは整数である。すべての角度がπ /2 gに等しいとき、これは正4g辺の双曲多角形によるタイル張りを確立し、したがって商空間として種数gの特定のコンパクトなリーマン面の存在を確立する。双同型対称性の巡回群Z _{2 g}を持つこの特別な例は、以下の展開で使用される。^[9]

コンパクト リーマン面の同相写像と微分同相写像までの分類は、閉じた有向2 次元多様体の同相写像と微分同相写像までの分類を意味します。つまり、同じ種数を持つ任意の 2 つの 2 次元多様体は微分同相です。実際、単位分割を使用すると、すべての閉じた有向 2 次元多様体はリーマン計量を持ちます。コンパクト リーマン面に対して、共形である共形計量も導入できるため、正則座標では計量はρ ( z ) | dz | ²という形式になります。この計量が選ばれると、局所的に双正則な写像は、正確には共形である向きを保存する微分同相写像、つまり計量を滑らかな関数でスケールする写像になります。等温座標の存在は、ラプラシアンの局所存在定理またはベルトラミ方程式のいずれかを使用して証明することができ、すべての閉じた有向リーマン2次元多様体はその計量と互換性のある複素構造を与えることができ、したがってコンパクトなリーマン面の構造を持つことを示しています。この構成は、閉じた有向2次元多様体の分類を微分同相写像または同相写像までコンパクトリーマン面の場合に還元できることを示している。^[10]

コンパクト リーマン面の同相写像と微分同相写像までの分類は、基本多角形を使用して行うことができます。実際、ポアンカレが観察したように、コンパクト リーマン面H /Γ の凸基本多角形は、ディリクレ法をユークリッド空間から双曲空間に適用することで構築できます。次に、ネヴァンリンナとヨストに従って、基本領域を段階的に変更して、頂点が Γ の単一の軌道にあり、辺が部分的に測地線である非凸多角形を得ることができます。辺のペアリング関係も、これらの各ステップで変更されます。各ステップでは、多角形の内部にある対角測地線分で多角形を切断し、ペアリングに含まれるメビウス変換の 1 つを使用して多角形を再構成します。最終的なペアリング関係では、ペアになった 2 つの辺が共通の頂点を持つことはできませんが、これは元の関係と同様の特性を満たします。この多角形は、内部の対角線状の区分測地線分で切断した後、多角形を再構成することで、連続的に修正することができます。最終的な多角形には、4つのg個の等価頂点があり、各辺は区分測地線です。辺は、対辺にメビウス変換を与える群元によってラベル付けされます。ラベル付けの順序は次のとおりです。

${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{1}^{-1},b_{1}^{-1},\dots ,a_{g},b_{g},a_{g}^{-1},b_{g}^{-1},}$

Γは、単一の関係に従う a _iとb _iによって生成される。

${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1.}$

• 
  種数ゼロの曲面（球）
• 
  種数 1 の面 (トーラス)
• 
  属2の表面
• 
  属3表面

交差数の理論を用いると、頂点を測地線で結ぶことによって得られる形状も、必ずしも凸である必要はなく、また対になる群の元と同じ基本領域である、という結果になる。これにより、測地線分で辺が与えられ、標準のラベル付けが施された基本多角形が得られる。 Γ のアーベル化、すなわち商群Γ/[Γ, Γ]は、2 つのg生成元を持つ自由アーベル群である。したがって、種数 g は位相不変量である。同じ種数を持つ 2 つのリーマン面は、4 つのg辺を持つ多角形 (クラインの模型におけるユークリッド多角形)の辺を、対になる辺間の微分同相写像で同一視することによって得られる位相空間であるため、同相であることは容易にわかる。^[11]この構成を正4辺gの多角形に適用すると、リーマン面をg個の穴を持つドーナツとして位相的に見ることができる。これは、位相幾何学の入門書で標準的な有向面の記述である。^{[12] [13]}

さらにいくつかの結果があります:

• 2 つの同相リーマン面は微分同相である。
• 種数gの任意の凸基本多角形には、4 g ≤ N ≤ 12 g – 6 となるN個の頂点があります。
• 種数gのディリクレ多角形には、密な開中心集合に対してちょうど12 個のg – 6個の頂点があります。
• 種数gのすべてのリーマン面には、フリッケ基本多角形、つまり辺の間に正規のペアリングがある凸多角形があります。(多角形は必ずしもディリクレ多角形である必要はありません。)
• 基本群の生成元を適切に正規化およびラベル付けすると、フリッケ多角形が一意に決定され、それを記述する6 g – 6実パラメータは、種数gのTeichmüller 空間の大域的実解析パラメータとして使用できます。

これらの結果は、同相写像と基本群の相互関係に結びついている。これは、リーマン面の写像類群（単位元に同相なものを法とするリーマン面H /Γ の準等角自己同型群）が、 Γ の外部自己同型群と同一視できることを反映している（デーン・ニールセン・ベールの定理）。^[14]この関係を見るには、f がX ₁ = H /Γ _1からX ₂ = H /Γ ₂への準等角同相写像である場合、f はHからそれ自身への準等角同相写像f_{に持ち上げられることに注目する。この持ち上げは、 Γ 1の元との事前合成および Γ 2} の元との事後合成まで一意である。π _{i が}H のX _i上への射影であるとき、f ∘ π ₁ = π ₂ ∘ fであり、 Γ _{i は}Hの同相写像gの群でπ _i ∘ g = π _iである。従って、 g が Γ 1 の Γ 2 上への群同型である場合、f g = _θ ( _g ) fが成り立つ。fの異なる選択は、_内部自己同型との合成によってθ を変える。このような同型は同値であると言われる。^[15]

2 つの同型θとθ ′ は、対応する同相写像fとf ′が同相である場合に限り、同値です。実際、曲面の準共形自己同相写像f が基本群の内部自己同型を誘導するのは、それが恒等写像に同相である場合に限り、ということを示せば十分です。言い換えると、 H /Γ の準共形自己同相群の Out Γ への同相写像は、それが入射する写像類群に移ります。実際、まずF ( t ) が、 F (0) = id およびF (1) = fである自己同相写像の連続パスであると仮定します。すると、 F (0) = idである連続リフトF ( t )が存在します。さらに、 Γ の各gに対して、F ( t ) ∘ g ∘ F ( t ) ^−1はt = 0に対してgに等しい Γ の連続的に変化する元です。したがって、 Γ の離散性により、この元は定数となり、したがってgに等しくなるため、F ( t ) は Γ と可換となり、F (1) は自明な自己同型を誘導します。一方、Fがfの準共形リフトでΓ の内部自己同型を誘導する場合は、必要に応じて元 Γ との合成後、F はΓ と可換であると仮定できます。Fは準共形であるため、円の準対称同相に拡張され、これも Γ と可換です。 Γ の各g ≠ id は双曲的であるため、円上に 2 つの不動点a _{±があり、他のすべての点}zに対して、n が無限大に向かうにつれてg ^{± n} ( z ) はa _±に向かいます。したがって、F はこれらの点を固定する必要があります。これらの点はg が変化すると円内に密になるため、 F は単位円を固定することになります。μ = F _z / F _zとすると、μは Γ 不変のベルトラミ微分になります。F ( t ) をベルトラミ方程式tμの解とします。を単位円上の3点に固定するように正規化する。するとF ( t ) は Γ と可換となり、F = F (1)の場合と同様に単位円上の恒等式となる。構成上、F ( t ) は恒等式とFの同位体となる。これにより単射性が証明される。^[15]

全射性の証明は、 D上の双曲計量と Γ 上の語長計量との比較に依存している。^{[16]一般性を失うことなく 0 が凸基本多角形}Cの内部にあり、gが Γ の元であると仮定すると、 0 からg (0)への光線、つまり双曲測地線は、Cの一連の平行移動を通過する。これらの各平行移動は、 Γ の生成元または生成元の固定積（連続する平行移動が頂点で出会う場合）を適用することによって、前の平行移動から得られる。したがって、 0 とg (0) 間の双曲距離は、 gの語長の4 g倍と基本多角形の直径の 2 倍を加えた値よりも小さい。したがって、語長L ( g ) によって定義されるΓ 上の計量d ₁ ( g , h ) = L ( h ⁻¹ g )は次を満たす。

${\displaystyle d(g(0),h(0))\leq a\,d_{1}(g,h)+b}$

正の定数aとbに対しては、逆に正の定数cとdがあり、

${\displaystyle d_{1}(g,h)\leq c\,d(g(0),h(0))+d.}$

上半平面H上の点と、上半平面上で自由に不連続に作用するPSL(2, R )の離散部分群Γ が与えられたとき、ディリクレ多角形を点の集合として 定義できる。${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle F=\{z\in \mathbf {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma ,g\neq 1\}}$

ここで、d は上半平面上の双曲計量です。計量基本多角形は、通常、ディリクレ多角形と呼ばれます。

• この基本多角形は基本領域です。
• この基本多角形は、多角形の任意の 2 点を結ぶ測地線が多角形の内側に完全に含まれるという点で凸形です。
• Fの直径はH /Γの直径以下です。特に、Fの閉包はコンパクトです。
• Γ がH内に不動点を持たず、H /Γ がコンパクトである場合、F は有限個の辺を持ちます。
• 多角形の各辺は測地線弧です。
• 多角形の各辺sに対して、Γ 内の任意のgに対してgs = s ′となるような他の辺s ′ が 1 つだけ存在します。したがって、この多角形は偶数個の辺を持ちます。
• 辺を互いに結合している群の元gの集合は、 Γ の生成元です(ただし、この生成元の集合は必ずしも最小ではないことに注意してください)。
• 上半平面は、 Γ の作用によるFの閉包によって敷き詰められます。つまり、はFの閉包です。${\displaystyle H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}}$${\displaystyle {\overline {F}}}$

このセクションでは、任意のディリクレ多角形から始めて、Jost (2002) で詳しく説明されている、4 つのg等価頂点と辺の標準的なペアリングを持つ非凸多角形に多角形を修正する Nevanlinna (1953) の方法を説明します。この処理は、Seifert & Threlfall (1934) で提示された、方向付け可能な 2 次元多面体の古典的な位相分類の解析的対応物です。

種数gが1 より大きいリーマン面を与えられたとき、フリッケは別の基本多角形、フリッケ正準多角形を説明しました。これはディリクレ多角形の非常に特殊な例です。この多角形は、面の基本群の標準的な表現に関連しています。フリッケの元の構成は複雑で、フリッケとクライン (1897) で説明されています。アルフォースとバースの準等角写像の理論を使用して、キーン (1965) はフリッケの構成のより短く正確な新しいバージョンを示しました。フリッケ正準多角形には次の特性があります。

• フリッケ多角形の頂点には 4 つのg頂点があり、それらはすべて Γ の軌道上にあります。頂点とは、2 つの辺が交わる点を意味します。
• 辺は別個のペアで対応付けられているため、Γ の一意の要素が、ある辺をペアの辺に運び、向きを反転させます。Γ のアクションは向きを保存するため、片方の辺が と呼ばれる場合、ペアのもう一方の辺は反対の向き でマークできます。${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$
• 標準多角形の辺は、隣接する辺のリストが の形になるように配置することができます。つまり、辺のペアは、このように交互に配置されるように配置することができます。${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}}$
• 側面は測地線弧です。
• フリッケ多角形の各内角は厳密にπ未満であるため、多角形は厳密に凸であり、これらの内角の合計は 2 πです。

上記の構成は、多角形の各辺がリーマン面H /Γ内の閉じた（非自明な）ループであることを保証するのに十分である。したがって、各辺は基本群 の要素になり得る。特に、基本群には2 つのg生成元があり、定義制約は 1 つだけである。 ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )\equiv \Gamma }$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}$${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{g},B_{g}}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}=1}$。

リーマン面H /Γの種数はgです。

標準基本多角形の面積は、g がリーマン面の種数（つまり、4 g が多角形の辺の数）であるとき、次の式で表されます。標準多角形はH /Γ の代表であるため、リーマン面の総面積は標準多角形の面積に等しくなります。面積の公式はガウス・ボネの定理から導かれ、ある意味ではリーマン・フルヴィッツの公式によって一般化されます。 ${\displaystyle 4\pi (g-1)}$

回転対称性を持つ標準的な 4 g辺の多角形に対して、明示的な表現を与えることができます。この場合、g回転対称性を持つ種数リーマン面の群は、生成元によって与えられます。これらの生成元は、上半平面に作用する次の分数線形変換によって与えられます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle 2g}$${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)}$

について、パラメータは次のように与えられる。 ${\displaystyle 0\leq k<2g}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4g}}\left(2g-1\right)}$

そして

${\displaystyle \beta ={\frac {\pi }{4g}}}$

そして

${\displaystyle p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}}$

これらのジェネレータが制約に従うことが検証されるかもしれない

${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{2g-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2g-1}^{-1}=1}$

グループプレゼンテーションの全体を示します。

• ケーリーグラフ
• ユークリッド領域
• ボロノイ図

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• ベアドン、アラン F. (1983)、離散群の幾何学、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90788-8
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