微分形式

数学において、微分形式は曲線、曲面、立体、高次元多様体上の積分関数を定義する統一的なアプローチを提供します。微分形式の現代的な概念はエリー・カルタンによって開拓されました。特に幾何学、位相幾何学、物理学において多くの応用があります。

例えば、式f ( x ) dx は1形式の一例であり、fの定義域に含まれる区間[ a , b ]にわたって積分することができます。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

同様に、式f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dzは、曲面S上で積分できる2形式です。

${\displaystyle \int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).}$

記号∧ は、 2 つの微分形式の外積(ウェッジ積と呼ばれることもあります)を表します。同様に、 3形式 f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz は、空間領域にわたって積分できる体積要素を表します。一般に、 k形式はk次元多様体上で積分できるオブジェクトであり、座標微分においてk次同次です。n次元多様 体では、最上位次元形式 ( n形式) は体積形式と呼ばれます。 ${\displaystyle dx,dy,\ldots .}$

微分形式は交代代数を形成します。これは、 およびを意味します。この交代特性は積分領域の 方向を反映しています。${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$${\displaystyle dx\wedge dx=0.}$

外微分は、k形式が与えられた場合に( k +1)形式を生成する微分形式に対する演算です。この演算は、関数の微分を拡張します(関数は0形式と見なすことができ、その微分は です)。これにより、微積分学の基本定理、発散定理、グリーンの定理、およびストークスの定理を、単一の一般的な結果である一般化ストークスの定理の特殊なケースとして表現することができます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle d\varphi .}$${\displaystyle df(x)=f'(x)dx}$

微分1 -形式は、当然、微分可能多様体上のベクトル場と双対であり、ベクトル場と1 -形式とのペアリングは、内積によって任意の微分形式に拡張されます。微分形式の代数と、その上で定義された外微分は、 2 つの多様体間の滑らかな関数の下での引き戻しによって保存されます。この機能により、幾何学的に不変な情報が微分形式で表現されている限り、その情報を 1 つの空間から別の空間に引き戻しによって移動できます。たとえば、積分の変数変換式は、積分が引き戻しの下で保存されるという単純なステートメントになります。

微分形式は微分幾何学の分野の一部であり、線型代数の影響を受けている。微分の概念はかなり古いが、微分形式の代数的構成の最初の試みは、1899年の論文を参照してエリー・カルタンによるものとされることが多い。 ^{[1]微分形式の}外積代数のいくつかの側面は、ヘルマン・グラスマンの1844年の著作「線型拡大の理論、数学の新分野」に登場している。

微分形式は、座標に依存しない多変数微分積分へのアプローチを提供します。

微分k形式は、 k次元の有向多様体上で積分できます。微分1形式は、無限小の有向長さ、または 1 次元の有向密度を測定するものと考えることができます。微分2形式は、無限小の有向面積、または 2 次元の有向密度を測定するものと考えることができます。などなど。

微分形式の積分は、向きのある 多様体上でのみ明確に定義されます。1次元多様体の例としては区間[ a , b ]があり、区間には向きを与えることができます。つまり、 a < bであれば正の向き、そうでない場合は負の向きになります。a < bの場合、微分1形式f ( x ) dxの区間[ a , b ]での積分（自然な正の向き）は、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

これは、同じ微分形式の同じ区間での積分を、逆の向きで積分したものの負の値です。つまり、

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

これは、区間の方向が反転すると符号が変わるという、1 次元積分の慣例に幾何学的な背景を与えます。1 変数積分理論における標準的な説明は、積分の限界が逆の順序 ( b < a ) の場合、増分dx は積分の方向で負になるというものです。

より一般的には、m形式はm次元の有向多様体上で積分できる有向密度です。(たとえば、1形式は有向曲線上で積分でき、2形式は有向面上で積分できます。) Mが有向m次元多様体で、M ′ が反対方向の同じ多様体で、ωがm形式である場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$

これらの慣習は、積分関数を微分形式として解釈し、鎖上で積分することに対応しています。対照的に、測度論では、積分関数を測度μに関する関数fとして解釈し、方向の概念なしにサブセットA上で積分します。サブセットA上の積分を示すために と書きます。これは 1 次元では小さな違いですが、高次元の多様体ではより微妙になります。詳細については以下を参照してください。 ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

方向付けられた密度の概念、つまり微分形式の概念を明確にするには、外積代数が必要です。座標の集合dx ¹、...、dx ⁿの微分は、すべての1形式の基底として使用できます。これらはそれぞれ、多様体上の各点における共ベクトルを表し、対応する座標方向の小さな変位を測定するものと考えることができます。一般的な1形式は、多様体上のすべての点におけるこれらの微分の線形結合です。

${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$

ここで、f _k = f _k ( x ¹、...、x ⁿ )はすべての座標の関数です。微分1形式は、線積分として有向曲線に沿って積分されます。

式dx ⁱ ∧ dx ^j （ i < j ）は、多様体上のあらゆる点においてすべての2形式の基底として使用できます。これは、 x ⁱ – x ^j平面に平行な無限小の有向正方形と考えることができます。一般的な2形式は、多様体上のあらゆる点におけるこれらの線形結合です。これは、面積分のように積分されます。 ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

微分形式上で定義される基本的な演算は外積（記号はくさび ∧ ）である。これは交代積であるという点でベクトル解析の外積に似ている。例えば、

${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$

なぜなら、第 1 辺がdx ¹で第 2 辺がdx ²である正方形は、第 1 辺がdx ²で第 2 辺がdx ¹である正方形とは向きが逆であるとみなされるからです。このため、 i < jである式dx ⁱ ∧ dx ^jを合計するだけで済みます。たとえば、次のようになります。a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^j 。外積により、低次微分形式から高次微分形式を構築できます。これは、ベクトル解析の外積により、2 つの辺を指すベクトルから平行四辺形の面積ベクトルを計算できるのとほぼ同じです。交代は、 dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 であることも意味します。これは、平行ベクトルの外積（その大きさは、それらのベクトルが張る平行四辺形の面積）が 0 であるのと同じです。より高次元では、インデックスi ₁、...、i _mのいずれか 2 つが等しい場合はdx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0であり、これは、エッジ ベクトルが線形従属する平行四辺形によって囲まれた「体積」が 0 であるのと同じです。

基本的なk形式のウェッジ積の一般的な表記は、いわゆるマルチインデックス表記です。n次元のコンテキストで、 に対して、を定義します。 ^{[2]もう 1 つの便利な表記は、長さ}kのすべての厳密に増加するマルチインデックスの集合を、 n次元の空間で定義し、 と表記することによって得られます。すると、局所的に (座標が適用される場所ではどこでも)、は、 n次元の多様体M上の微分k形式の空間を、 M上の滑らかな関数の環C ^∞ ( M )上のモジュールとして見た場合に張ります。 のサイズを組合せ論的に計算すると、 n次元多様体上のk形式のモジュール、およびn次元ベクトル空間上のk共ベクトルの一般的な空間は、 n  choose  k :です。これはまた、基礎となる多様体の次元よりも大きい次数の非ゼロ微分形式が存在しないことも示しています。 ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1},i_{2},\cdots <i_{k},\leq n}$${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{2},\cdots <i_{k}\leq n\}}$${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

外積に加えて、外微分演算子dもあります。微分形式の外微分は、関数の微分を一般化したものです。つまり、f ∈ C ^∞ ( M ) = Ω ⁰ ( M )の外微分は、まさにfの微分です。より高次の形式に一般化した場合、ω = f dx ^Iが単純なk形式であれば、その外微分dωは、係数関数の微分をとることで定義される( k + 1)形式です。

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

線型性を通して一般のk形式に拡張される： の場合、その外微分は ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$

R ³では、ホッジスター演算子を使用すると、外微分は勾配、回転、発散に対応しますが、この対応は外積と同様に高次元には一般化されないため、注意して扱う必要があります。

外微分自体は任意の有限次元に適用され、微分幾何学、微分位相幾何学、および物理学の多くの分野で広く応用されている柔軟で強力なツールです。注目すべきことに、上記の外微分の定義は局所座標に関して定義されていますが、微分形式の外積分代数上の次数 1 の反微分として、完全に座標フリーな方法で定義することもできます。このより一般的なアプローチの利点は、多様体上で積分するための自然な座標フリーなアプローチが可能になることです。また、多様体上の積分理論の中心的な結果である (一般化)ストークスの定理と呼ばれる微積分の基本定理の自然な一般化も可能になります。

U をR ⁿの開集合とする。微分0形式 (「ゼロ形式」) は、U上の滑らかな関数fとして定義され、その集合はC ^∞ ( U )と表記される。vがR ⁿ内の任意のベクトルである場合、fには方向微分∂ _v f があり、これはU上の別の関数であり、点p ∈ Uでの値はv方向のfの変化率 ( pにおける)である。

${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$

(この概念は、定義の 点pでv を評価することによって、 v がU上のベクトル場である場合に点ごとに拡張できます。)

特に、v = e _jがj番目の座標ベクトルである場合、∂ _v fはj番目の座標ベクトルに関するfの偏微分、つまり∂ f / ∂ x ^jであり、ここでx ¹、x ²、...、x ^{n は}Uの座標ベクトルです。定義上、偏微分は座標の選択に依存します。新しい座標y ¹、y ²、...、y ⁿが導入された場合、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$

微分形式につながる最初のアイデアは、 ∂ _v f ( p )がvの線形関数であるという観察です。

${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$

任意のベクトルv、wおよび任意の実数cに対して成り立ちます。各点pにおいて、R ⁿからRへのこの線型写像はdf _pと表され、pにおけるfの導関数または微分と呼ばれます。したがって、df _p ( v ) = ∂ _v f ( p )です。セット全体に拡張すると、オブジェクトdf は、 U上のベクトル場を取り、各点での値が関数fのベクトル場に沿った微分である実数値関数を返す関数と見ることができます。各pにおいて、微分df _{p は}実数ではなく、接ベクトル上の線型関数であり、微分1 -形式の典型的な例であることに注意してください。

任意のベクトルvはその成分の線形結合 Σ v ^j e _jなので、df は各jおよび各p ∈ Uに対してdf _p ( e _j )によって一意に決定されます。これらは、fのU上の偏微分です。したがって、df はfの偏微分をエンコードする方法を提供します。これは、座標x ¹、x ²、 ...、x ⁿ自体がU上の関数であり、微分1形式dx ¹、dx ²、 ...、dx ⁿを定義することに注意することでデコードできます。 f = x ⁱとします。 ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij、つまりクロネッカーのデルタ関数であるため、次のようになります 。

この式の意味は、任意の点pで両辺を評価することによって与えられます。右辺では、和は「点ごとに」定義されるので、

${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

両辺をe _jに適用すると、各辺の結果はpにおけるfのj番目の偏微分になります。pとj は任意なので、これは式(*)を証明します。

より一般的には、 U上の任意の滑らかな関数g _iとh _iに対して、点ごとに 微分1形式α = Σ _i g _i dh _iを定義する。

${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

それぞれのp ∈ Uに対して成り立つ。任意の微分1形式はこのようにして生じ、(*)を用いることで、 U上の任意の微分1形式α は座標で次のように表現できる。

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$

U上のいくつかの滑らかな関数f _iに対して。

微分形式につながる2つ目のアイデアは、次の疑問から生じます。U上の微分1形式αが与えられたとき、 α = dfとなるようなU上の関数f が存在するのはいつでしょうか。上記の展開により、この疑問は、関数 f _iが与えられたときに偏導関数∂ f / ∂ x ⁱがnに等しい関数fを探すという問題に帰着します。n > 1の場合、そのような関数は常に存在するわけではありません。任意の滑らかな関数fは次を満たします。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$

したがって、そのようなfを見つけるのは不可能です。

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$

すべてのiとjについて。

iとjの左辺の歪対称性は、微分1形式に反対称積∧ 、すなわち外積を導入することを示唆しており、これによりこれらの方程式を1つの条件にまとめることができる。

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$

ここで∧は次のように定義されます。

${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$

これは微分2形式の一例です。この2形式はα = Σの外微分 dαと呼ばれます。^ｎj _=
1 f _j dx ^jで与えられる。

${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

要約すると、dα = 0 は、 α = dfとなる関数fが存在するための必要条件です。

微分0形式、1形式、2形式は微分形式の特別な場合である。各kに対して、微分k形式の空間があり、これは座標で次のように表すことができる。

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

関数f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k}の集合に対して。2形式ですでに存在していた反対称性により、 i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _kとなるインデックスの集合に和を制限することが可能になる。

微分形式は外積を使って掛け合わせることができ、任意の微分k形式αに対して、 αの外微分と呼ばれる微分( k + 1)形式dαが存在します。

微分形式、外積、外微分は、座標の選択に依存しません。したがって、これらは任意の滑らかな多様体 M上で定義できます。これを行う 1 つの方法は、M を座標チャートで覆い、各チャート上の重なりが一致する微分k形式の族としてM上の微分k形式を定義することです。ただし、座標の独立性を明らかにするより本質的な定義が他にもあります。

M を滑らかな多様体とする。 k次の滑らかな微分形式は、Mの余接バ​​ンドルのk番目の外冪の滑らかな切断である。多様体M上のすべての微分k形式の集合はベクトル空間であり、しばしばΩ ^k ( M )と表記される。

微分形式の定義は次のように言い換えることができる。任意の点p ∈ Mにおいて、k形式β は要素を定義する。

${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

ここで、T _p M はpにおけるMの接空間であり、T _p ^* M はその双対空間である。この空間は、 Mの接バンドルのk番目の外冪の双対バンドルのpにおけるファイバーに自然に同型である^{[3] [説明が必要]}。つまり、βも線型汎関数であり、つまり、 k番目の外冪の双対は、双対の k番目の外冪に同型である。${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$

外冪の普遍的性質により、これは交代多重 線型写像と同値である。

${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$

その結果、微分k形式は、 Mの同じ点pへの接ベクトルの任意のk組に対して評価できます。たとえば、微分1形式α は、各点p ∈ MにT _p M上の線形関数α _pを割り当てます。 T _p M上の内積( M上のリーマン計量によって誘導される)がある場合、 α _{p は}接ベクトルX _pとの内積として表すことができます。微分1形式は、特に物理学の分野では、共変ベクトル場、共ベクトル場、または「双対ベクトル場」と呼ばれることがあります。

外積代数は交代写像によってテンソル代数に埋め込まれる。交代写像は写像として定義される。

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

点pにおけるテンソルについて、 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$

ここでS _kはk個の元を持つ対称群である。交代写像は対称2形式によって生成されるテンソル代数のイデアルの剰余類上で定数であり、したがって埋め込みに降下する。

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

この写像は、 β を階数kの完全に反対称な 共変 テンソル場として表す。 M上の微分形式は、このようなテンソル場と 1 対 1 に対応する。

ベクトル空間構造から生じるスカラー演算による加算と乗算の他に、微分形式にはいくつかの他の標準的な演算が定義されています。最も重要な演算は、 2 つの微分形式の外積、単一の微分形式の外微分、微分形式とベクトル場との内積、ベクトル場に関する微分形式のリー微分、および定義された接続を持つ多様体上のベクトル場に関する微分形式の 共変微分です。

k形式αとℓ形式βの外積はα ∧ βと表記され、 ( k + ℓ ) 形式です。多様体Mの各点pにおいて、形式αとβ はpにおける余接空間の外冪の要素です。外積代数をテンソル代数の商と見なすと、外積はテンソル積（外積代数を定義する同値関係を法として）に対応します。

外積代数に内在する反対称性は、α ∧ β を多重線型関数として見ると交代的であることを意味する。しかし、外積代数が交代写像によってテンソル代数の部分空間として埋め込まれると、テンソル積α ⊗ β は交代的でなくなる。この状況で外積を記述する明示的な式が存在する。外積は

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

をに埋め込むのが ではなく写像を介して行われる場合、外積は ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$${\displaystyle \operatorname {Alt} }$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

この記述は明示的な計算に便利です。たとえば、k = ℓ = 1の場合、α ∧ βは、点pにおける値が次のように定義される 交代双線型形式である2 -形式です。

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$

v、w ∈ T _p Mの場合。

外積は双線型である。α 、β 、 γが任意の微分形式であり、fが任意の滑らかな関数である場合、

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$

これは歪可換性（次数可換性としても知られる）であり、形式の次数に依存する反可換性の変種を満たすことを意味する。αがk形式でβがℓ形式の場合、

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$

段階的なライプニッツ則 もあります。

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

リーマン多様体、またはより一般的には擬リーマン多様体では、計量は接線束と余接束のファイバーごとの同型性を定義します。これにより、ベクトル場を余ベクトル場に変換したり、その逆を行ったりすることができます。また、ホッジスター演算子 や、次数−1で外微分dに随伴する余微分などの追加の演算の定義も可能になります。 ${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

擬リーマン多様体では、1形式はベクトル場と同一視できます。ベクトル場には追加の異なる代数構造があり、ここでは文脈上および混乱を避けるためにリストされています。

まず、各 (余) 接空間はクリフォード代数を生成します。クリフォード代数では、(余) ベクトルとそれ自身の積は、2 次形式 (この場合は、計量によって誘導される自然な形式) の値で与えられます。この代数は、微分形式の外積代数とは異なります。外積代数は、2 次形式が消えるクリフォード代数 (任意のベクトルとそれ自身の外積は 0 であるため) と見なすことができます。したがって、クリフォード代数は、外積代数の非反可換 (「量子」) 変形です。これらは、幾何代数で研究されます。

もう一つの選択肢は、ベクトル場を微分として考えることです。微分演算子の (非可換な) 代数はワイル代数であり、ベクトル場の 対称代数の非可換な (「量子」) 変形です。

外微分に関する重要な性質の1つは、d ² = 0であることです。これは、外微分が共鎖複体を定義することを意味します。

${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$

この複体はド・ラーム複体と呼ばれ、そのコホモロジーは定義によりMのド・ラームコホモロジーです。ポアンカレの補題により、ド・ラーム複体はΩ ⁰ ( M )を除いて局所的に正確です。 Ω ⁰ ( M )での核は、 M上の局所定数関数の空間です。したがって、複体は定数層Rの分解であり、これはド・ラームの定理の形式を意味します。つまり、ド・ラームコホモロジーはRの層コホモロジーを計算します。

f  : M → Nが滑らかであると仮定します。 fの微分は、MとNの接バンドル間の滑らかな写像df  : TM → TNです。この写像はf _∗とも表記され、プッシュフォワードと呼ばれます。任意の点p ∈ Mと任意の接ベクトルv ∈ T _p Mに対して、 T _{f ( p )} Nに明確に定義されたプッシュフォワードベクトルf _∗ ( v )が存在します。しかし、ベクトル場については同じことが当てはまりません。たとえばq ∈ Nに2つ以上の逆像があるためにfが単射でない場合、ベクトル場はT _q Nの2つ以上の異なるベクトルを決定することがあります。fが全射でない場合、 f _{∗ が}接ベクトルをまったく決定しない点q ∈ Nが存在することになります。 N上のベクトル場は定義によりNのあらゆる点で一意の接ベクトルを決定するため、ベクトル場の押し出しは常に存在するとは限りません。

対照的に、微分形式を引き戻すことは常に可能です。N上の微分形式は、各接空間上の線型関数と見なすことができます。この関数を微分df  : TM → TNと前置すると、 Mの各接空間上の線型関数が定義され、したがってM上の微分形式が定義されます。引き戻しの存在は、微分形式の理論の重要な特徴の 1 つです。これは、ド・ラーム・コホモロジーにおける引き戻し準同型など、他の状況での引き戻しマップの存在につながります。

形式的には、f  : M → N を滑らかにし、ω をN上の滑らかなk形式とします。すると、 M上にはωの引き戻しと呼ばれる微分形式f ^∗ ωがあり、これはfに対するωの挙動を捉えます。引き戻しを定義するには、Mの点pと、 pにおけるMの接線ベクトルv ₁、...、v _{k を}固定します。 ωの引き戻しは、次の式で定義されます。

${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$

この定義をより抽象的に見る方法がいくつかあります。ωがN上の1形式である場合、それはNの余接バ​​ンドルT ^∗ Nの切断として見ることができます。双対写像を表すために^{∗ を使用すると、} fの微分への双対は( df ) ^∗  : T ^∗ N → T ^∗ Mです。ωの引き戻しは合成として定義できます 。

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$

これはMのコタンジェントバンドルの切断であり、したがってM上の微分1 -形式である。完全に一般化して、を微分への双対写像のk番目の外冪と表す。すると、 k -形式ωの引き戻しは合成である。 ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

プルバックを抽象的に見るもう一つの方法は、k形式ωを接空間上の線型関数として見ることである。この観点から、ωはベクトル束の射である。

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$

ここで、N × R はN上の自明なランク 1 バンドルです。合成写像

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$

はMの各接空間上に線型汎関数を定義し、したがってそれは自明バンドルM × Rを介して因数分解されます。このようにして定義されたベクトルバンドル射はf ^∗ ωです。 ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

プルバックはフォーム上のすべての基本操作を尊重します。ωとηがフォームでcが実数の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$

形の引き戻しは座標でも表すことができます。x ¹、...、x ^mがM上の座標、y ¹、...、y ⁿがN上の座標であり、これらの座標系がすべてのiに対してy ⁱ = f _i ( x ¹、...、x ^m )という式で関係付けられているとします。 N上で局所的に、ω は次のように表すことができます 。

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$

ここで、 i ₁ , ..., i _kの各選択に対して、ω _{i 1 ⋅⋅⋅ i k}はy ¹ , ..., y ⁿの実数値関数である。プルバックの線形性と外積との互換性を用いると、 ωのプルバックは次の式で表される。

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$

各外微分df _{i は}dx ¹ , ..., dx ^mで展開できます。結果として得られるk形式は、ヤコビ行列を使用して記述できます。

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$

ここで、 は、、を要素とする行列の行列式を表します。 ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

微分k形式は、向き付けられたk次元多様体上で積分できます。 k形式がn > kであるn次元多様体上で定義されている場合、k形式は向き付けられたk次元部分多様体上で積分できます。k = 0の場合、向き付けられた 0 次元部分多様体上の積分は、それらの点の向きに従って、点で評価された被積分関数の合計にすぎません。k = 1、2、3、...の他の値は、線積分、表面積分、体積積分などに対応します。微分形式の積分を正式に定義する同等な方法はいくつかありますが、それらはすべてユークリッド空間の場合に簡約することに依存しています。

U をR ⁿの開集合とする。R n の標準配向を、U にその配向の制限を与える。U^上の任意の滑らかなn形式ωは、次の形式を持つ。

${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

何らかの滑らかな関数f  : R ⁿ → Rに対して、このような関数は通常のリーマンまたはルベーグの意味で積分を持ちます。これにより、 ωの積分をfの積分として定義できます。

${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

これをうまく定義するには、方向を固定する必要があります。微分形式の歪対称性は、たとえばdx ¹ ∧ dx ^{2の積分が}dx ² ∧ dx ¹の積分の負でなければならないことを意味します。リーマン積分とルベーグ積分では、座標の順序に対するこの依存性を認識できないため、積分の符号は未定のままになります。方向によってこの曖昧さが解決されます。

M をn多様体とし、ω をM上のn形式とする。まず、ユークリッド空間の開部分集合によるMのパラメータ化があると仮定する。つまり、微分同相写像が存在すると仮定する。

${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$

ここで、D ⊆ R ⁿである。φによって誘導される向きをM に与える。次に、 (Rudin 1976) は、 ωのM上の積分をφ ^∗ ωのD上の積分と定義する。座標では、これは次の式で表される。R ^IにおけるMの埋め込みを座標x ¹ , ..., x ^Iに固定する。次に、

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$

φが次のように定義される と仮定する。

${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$

すると積分は座標で次のように表される。

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$

どこ

${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$

はヤコビアンの行列式です。ヤコビアンが存在するのは、φ が微分可能であるためです。

一般に、n多様体はR ⁿの開集合によってパラメータ化することはできません。しかし、そのようなパラメータ化は常に局所的に可能であるため、任意の多様体上の積分を、局所パラメータ化の集合上の積分の和として定義することで定義できます。さらに、k < nに対してk次元部分集合のパラメータ化を定義することも可能であり、これによりk形式の積分を定義することができます。これを正確にするには、 R ^kの標準ドメインD (通常は立方体または単体) を固定すると便利です。kチェーンは、滑らかな埋め込みD → Mの形式的な和です。つまり、滑らかな埋め込みのコレクションであり、それぞれに整数重複が割り当てられています。各滑らかな埋め込みは、Mのk次元部分多様体を決定します。チェーンが

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$

すると、 k形式ωのc上の積分はcの項の積分の合計として定義される。

${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$

積分を定義するこのアプローチは、多様体M全体の積分に直接的な意味を割り当てるものではありません。ただし、すべての滑らかな多様体は本質的に一意の方法で滑らかに三角形に分割でき、 M上の積分は三角形分割によって決定されるチェーン上の積分として定義できるため、間接的にそのような意味を割り当てることは可能です。

(Dieudonné 1972) で説明されている別のアプローチがあり、これはM上の積分に直接意味を割り当てますが、このアプローチではMの向きを固定する必要があります。 n次元多様体上のn形式ωの積分は、チャートでの作業によって定義されます。まず、ω が単一の正の向きのチャートでサポートされているとします。このチャートでは、 R ⁿの開部分集合上のn形式に引き戻される場合があります。ここで、形式には以前と同様に明確に定義されたリーマン積分またはルベーグ積分があります。変数変換の公式とチャートが正の向きであるという仮定により、 ωの積分は選択したチャートに依存しないことが保証されます。一般的なケースでは、ω を、それぞれが単一の正の向きのチャートでサポートされているn形式の和として表すために 1 の分割を使用し、 ωの積分を1 の分割内の各項の積分の合計として定義します。

このより本質的なアプローチを使用して、向き付けられたk次元部分多様体上のk形式を積分することもできます。形式は部分多様体に引き戻され、積分は前と同じようにチャートを使用して定義されます。たとえば、パスγ ( t ) : [0, 1] → R ²が与えられた場合、パス上の1形式を積分することは、形式を[0, 1]上の形式f ( t ) dtに引き戻すだけであり、この積分は区間上の 関数f ( t )の積分です。 

フビニの定理は、積である集合上の積分は、積の 2 つの因数上の反復積分として計算できると述べています。これは、積上の微分形式の積分も反復積分として計算できるはずであることを示しています。微分形式の幾何学的柔軟性により、これは積だけでなく、より一般的な状況でも可能であることが保証されます。いくつかの仮説の下では、滑らかなマップの繊維に沿って積分することが可能であり、フビニの定理の類似物は、このマップが積からその因数の 1 つへの射影である場合です。

微分形式を部分多様体上で積分するには向きを固定する必要があるため、ファイバーに沿った積分を行うための前提条件は、それらのファイバー上に明確に定義された向きが存在することである。MとNをそれぞれ純粋な次元 m と n の2つの向き付け可能な多様体とする。f : M → N が射影沈み込みであると仮定する。これは、各 ファイバーf −1 ( y )^が( m − n )次元であり、M の各点の周りには、fが積からその因数の1つへの射影のように見えるチャートがあることを意味する。x ∈ Mを固定し、y = f ( x )とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$

そしてη _{y は}ゼロではない。Dieudonné 1972によれば、

${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

これはω _xのη _yに関するフィブラル部分と考えることができる。より正確には、j  : f ⁻¹ ( y ) → Mを包含として定義する。すると、σ _{x は}次の性質によって定義される。

${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

どこ

${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

は任意の( m − n ) -共ベクトルで あり、

${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$

σ _{x の}形式はω _x / η _yと表記されることもあります。

さらに、 y を固定すると、σ _{x は}xに関して滑らかに変化します。つまり、

${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$

は射影写像の滑らかな部分である。ωはf ⁻¹ ( y )に沿ったM上の滑らかな微分m形式であると言う。すると、 f ⁻¹ ( y )上の滑らかな微分( m − n )形式σが存在し、各x ∈ f ⁻¹ ( y )において、

${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$

この形式はω / η _yと表記される。 ωがファイバーの近傍のm形式である場合、同じ構成が機能し、同じ表記法が使用される。結果として、各ファイバーf ⁻¹ ( y )は向き付け可能である。特に、MとN上の向き付け形式を選択すると、 fのすべてのファイバーの向きが定義される。

フビニの定理の類似物は次のようになります。前と同様に、MとN は純粋な次元mとnの2つの向き付け可能な多様体であり、f  : M → Nは射影的な沈み込みです。MとNの向きを固定し、fの各ファイバーに誘導された向きを与えます。ω をM上のm形式とし、η をN上のn形式とし、 Nの向きに関してほぼどこでも正であるとします。すると、ほぼすべてのy ∈ Nに対して、形式ω / η _yはf ⁻¹ ( y )上の明確に定義された積分可能なm − n形式になります。さらに、 N上には次式で定義される 積分可能なn形式があります。

${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$

この形式を

${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

そして（Dieudonné 1972）は一般化されたフビニの公式を証明する。

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

沈み込みのファイバーに沿って他の次数の形式を積分することも可能です。前と同じ仮定を仮定し、α をM上のコンパクトに支えられた( m − n + k )形式とします。すると、 fのファイバーに沿ってα を積分した結果であるN上のk形式γが存在します。形式αは、各y ∈ Nにおいて、γ がyにおける各kベクトルvとどのようにペアになるかを指定することによって定義され、そのペアの値はα、v、およびMとNの向きのみに依存するf ⁻¹ ( y )上の積分です。より正確には、各y ∈ Nにおいて、同型

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$

内部積によって定義される

${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$

Nの方向における体積形式ζの任意の選択に対して。x ∈ f ⁻¹ ( y )の場合、yにおけるkベクトルv は、引き戻しによってxにおける( n − k )共ベクトルを決定します。

${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$

これらの共ベクトルはそれぞれαに対する外積を持つので、M上のf ⁻¹ ( y )に沿った( m − n )形式βv_は次のように定義される。

${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

この形式はNの向きに依存しますが、 ζの選択には依存しません。するとk形式γは次の性質によって一意に定義されます。

${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$

そしてγ は滑らかである (Dieudonné 1972)。この形式はα ^♭とも表記され、fのファイバーに沿ったαの積分と呼ばれる。ファイバーに沿った積分は、ド・ラーム・コホモロジーにおけるギシン写像の構築に重要である。

ファイバーに沿った積分は射影公式を満たす（Dieudonné 1972）。λがN上の任意のℓ形式であれば、

${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$

外微分と積分との間の基本的な関係はストークスの定理によって与えられる。ωがM上のコンパクトな台を持つ( n −1 )形式であり、∂MがMの誘導された向きを持つ境界を表す場合、

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

この重要な結果は、「相同鎖上の閉じた形式の積分は等しい」ということです。ωが閉じたk形式で、MとNが相同なk鎖（つまりM − Nが( k + 1)鎖Wの境界）である場合、差が積分であるため、となります。 ${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

たとえば、ω = dfが平面またはR ⁿ上のポテンシャル関数の導関数である場合、 aからbへのパス上のωの積分は、パスの選択に依存しません（積分はf ( b ) − f ( a )です）。これは、指定されたエンドポイントを持つ異なるパスがホモトピックであり、したがって相同であるためです（より弱い条件）。この場合は勾配定理と呼ばれ、微積分の基本定理を一般化します。このパスの独立性は、輪郭積分で非常に役立ちます。

この定理は、ド・ラーム・コホモロジーおよび鎖の ホモロジー間の双対性にも基礎を置いています。

一般的な微分可能多様体（追加の構造なし）上では、微分形式を多様体のサブセット上で積分することはできません。この区別は、鎖または向き付けられた部分多様体上で積分される微分形式と、サブセット上で積分される測度との区別の鍵となります。最も単純な例は、 1形式dx を区間[0, 1]上で積分しようとすることです。実数直線上の通常の距離（したがって測度）を想定すると、この積分は向きに応じて1または−1になります。一方、 です。対照的に、区間上の測度| dx |の積分は明確に1です（つまり、この測度に関する定数関数1の積分は1です）。同様に、座標の変更により、微分n形式はヤコビ行列式Jだけ変化しますが、測度はヤコビ行列式の絶対値| J |だけ変化します。これは、向きの問題をさらに反映しています。たとえば、直線上の写像x ↦ − xの下では、微分形式dx は− dxに戻り、方向が反転します。一方、ルベーグ測度(ここでは| dx |と表記) は| dx |に戻り、変化しません。 ${\displaystyle \textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}}$${\displaystyle \textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}}$

方向付けの追加データが存在する場合、 n形式（トップ次元形式）を多様体全体またはコンパクトな部分集合にわたって積分することが可能であり、多様体全体の積分は、形式を多様体の基本クラス[ M ]にわたって積分することに対応する。形式的には、方向付けが存在する場合、n形式を多様体上の密度と同一視することができ、密度は測度を定義するため、積分することができる（Folland 1999、第 11.4 節、361 ～ 362 ページ）。

向き付け可能だが向き付けされていない多様体では、向き付けの選択肢が 2 つあります。どちらの選択肢でも、コンパクトな部分集合上でn形式を積分できますが、2 つの選択肢は符号が異なります。向き付け不可能な多様体では、n形式と密度を同一視することはできません。特に、トップ次元形式はどこかで消えなければなりません (向き付け不可能な多様体には体積形式はありません) が、どこにも消えない密度は存在しません。したがって、コンパクトな部分集合上で密度を積分することはできますが、 n形式を積分することはできません。代わりに、トップ次元擬似形式を持つ密度を同一視することができます。

配向が存在する場合でも、k < nの部分集合に対してk形式を積分する意味のある方法は一般にありません。これは、周囲の配向を使用してk次元の部分集合を配向する一貫した方法がないためです。幾何学的には、 k次元の部分集合をその場で回転させて、反対の配向を持つ同じ部分集合を生成することができます。たとえば、平面の水平軸は 180 度回転できます。n 次元空間の k ベクトルの集合のグラム行列式を比較してください。これは、nベクトルの行列式とは異なり、常に正であり、2 乗数に対応します。したがって、 k部分多様体の配向は、周囲の多様体からは導出できない追加データです。

リーマン多様体では、任意のk (整数または実数)に対してk次元ハウスドルフ測度を定義し、これを多様体のk次元部分集合にわたって積分することができます。関数にこのハウスドルフ測度を掛けたものをk次元部分集合にわたって積分すると、 k形式の積分に対する測度論的な類似が得られます。n次元ハウスドルフ測度は、上記のように密度を生成します。

超関数または一般化関数の微分形式アナログはカレントと呼ばれます。M 上のkカレントの空間は、適切な微分k形式の空間の双対空間です。カレントは、チェーンに似ていますが、チェーンよりも柔軟性が高い、一般化された積分領域の役割を果たします。

微分形式はいくつかの重要な物理的文脈で出現する。例えば、マクスウェルの電磁気学理論では、ファラデー2形式、つまり電磁場の強さは、

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$

ここで、f _{ab は}電磁場とから形成されます。たとえば、f ₁₂ = E _z / c、f ₂₃ = − B _z、または同等の定義です。 ${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

この形式は、電磁気学と一般ゲージ理論の両方を記述できるU(1)主束上の曲率形式の特殊なケースである。主束の接続形式は、あるゲージで表現されるベクトルポテンシャルであり、通常はAで示される。すると、

${\displaystyle {\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.}$

現在の3フォームは

${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$

ここで、j ^{a は}電流密度の 4 つの成分です。(ここでは慣例により、 f _abではなくF _ab (つまり大文字) と書き、j ^aではなくJ ^aと書きます。ただし、ベクトルまたはテンソル成分と上記の形式は物理的な次元が異なります。さらに、国際純粋応用物理学連合の国際委員会の決定により、磁気分極ベクトルは数十年にわたって J と呼ばれており、出版社によってはJと呼ばれています。つまり、同じ名前が異なる量に使用されています。) ${\displaystyle {\vec {J}}}$

上記の定義を用いると、マクスウェル方程式は次のように 非常に簡潔に幾何単位で記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}}$

ここで、はホッジスター演算子を表します。同様の考察により、ゲージ理論の幾何学が一般的に説明されます。 ${\displaystyle \star }$

ファラデー形式の双対である2形式は、マクスウェル 2 形式とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

電磁気学はU(1) ゲージ理論の一例である。ここでリー群はU(1)、つまり 1 次元ユニタリ群であり、特に可換である。リー群が可換でないゲージ理論、例えばヤン・ミルズ理論がある。その場合、ここで説明したものと同様の関係が得られる。そのような理論におけるフィールドFの類似物は接続の曲率形式であり、ゲージではリー代数 1 値形式Aで表される。ヤン・ミルズフィールドFは次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

電磁気学のようなアーベルの場合、A ∧ A = 0ですが、これは一般には成り立ちません。同様に、ゲージ群の 構造方程式により、場の方程式はAとFの外積を含む追加の項によって修正されます。

複素解析多様体に関する極小性の結果の多くは、2 形式に対する Wirtinger 不等式に基づいています。簡潔な証明は、 Herbert Federerの古典的なテキスト「幾何学的測度論」に記載されています。Wirtinger 不等式は、シストリック幾何学における複素射影空間に対する Gromov の不等式の重要な要素でもあります。

• 閉じた正確な微分形式
• 複素微分形式
• ベクトル値微分形式
• 同変微分形式
• 多様体上の微積分
• 多重線形形式
• 多項式微分形式
• プレシンプレクティックフォーム

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