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数学において、シストリック幾何学とは、チャールズ・ローナーによって最初に構想され、ミハイル・グロモフ、マイケル・フリードマン、ピーター・サルナック、ミハイル・カッツ、ラリー・ガスらによって、算術的、エルゴード的、位相的な形で発展させられた、多様体や多面体のシストリック不変量の研究である。
コンパクト距離空間Xのシストールは、 Xの距離不変量であり、 X内の非縮約ループ(つまり、 Xの周囲空間内の点に縮約できないループ)の最小長として定義されます。より専門的な言葉で言えば、Xの基本群の非自明な共役類を表す自由ループの長さを最小化します。X がグラフの場合、この不変量は、 WT Tutteによる 1947 年の girth に関する論文以来、通常girthと呼ばれます。[ 1 ] Tutte の論文に触発されたと思われる Loewner は、1940 年代後半に曲面上のシストールの問題について考え始め、その結果、彼の学生であるPao Ming Puが1950 年に論文を発表しました。実際の「シストール」という用語自体は、25 年後にMarcel Bergerによって造語されました。
この研究の流れは、1961年から1962年の学年度にストラスブール大学の図書館でベルガーと会話していたルネ・トムの発言によって、さらに勢いを増したようだ。これは、R. アッコラ[ 2 ]とC. ブラッター[ 3 ]の論文が発表された直後のことだった。トムはこれらの収縮期血圧の不平等について言及し、「Mais c'est fondamental!」（これらの結果は根本的に重要だ！）と叫んだと伝えられている。
その後、ベルガーは一連の記事や書籍でこのテーマを普及させた。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
シストリック幾何学とトポロジーのウェブサイトの参考文献には、160 を超える記事があります。シストリック幾何学は急速に発展している分野であり、主要なジャーナルに最近多くの論文が掲載されています。たとえば、シストリック圏とルステルニク-シュニレルマン圏の関連性が明らかになりました。[ 7 ]このような関連性の存在は、シストリックトポロジー の定理と考えることができます。
R 3内のすべての凸中心対称多面体P は、対向する (対蹠) 点のペアと、それらを結ぶ長さ L の経路を持ち、Pの境界 ∂ P上にあり、以下の条件を満たす。
別の定式化は次のとおりである。表面積Aの任意の中心対称凸体は、長さの輪に通すことができる。球体が最もぴったりとフィットする。この性質は、初期の収縮期不等式の1つであるプーの不等式（下記参照）の特殊な場合と同等である。
この分野の雰囲気をざっくりと把握するために、次のような考察をしてみよう。上記で引用したトムがベルガーに述べた発言の要点は、次のとおりと思われる。幾何学的不変量に関する不等式に遭遇した場合、それ自体が興味深い現象である。特に、その不等式が厳密（すなわち最適）であればなおさらである。古典的な等周不等式はその良い例である。
曲面に関する収縮期の問題では、積分幾何学的恒等式が特に重要な役割を果たします。大まかに言えば、一方では面積、他方では適切なループ族のエネルギーの平均を関連付ける積分恒等式が存在します。コーシー・シュワルツの不等式によれば、エネルギーは長さの二乗の上限であるため、面積と収縮期の二乗の間の不等式が得られます。このようなアプローチは、レーヴナーの不等式にも適用できます。
トーラス の場合、等号が成立するのは、デッキ変換がアイゼンシュタイン整数の格子を形成する平坦なトーラスである。
そして、実射影平面P 2 ( R ) に対する Pu の不等式は次のようになります。
等号は一定のガウス曲率を持つ計量を特徴づける。
分散の計算式を適用すると、実際には等収縮欠陥を伴うローナーのトーラス不等式の次のバージョンが得られます。[ 8 ]
ここで、fはその共形クラス内の単位面積平坦計量に対する計量の共形因子である。この不等式は、等周不等式を強化した、等周欠陥を伴うボンネセンの不等式に類似していると考えることができる。
この種の新たな不等式が近年数多く発見されており、その中には普遍的な体積下限も含まれる。詳細は「曲面のシストール」を参照のこと。
この分野で最も深い結果は、本質的なn次元多様体Mのホモトピー 1-シストールに対するグロモフの不等式です。
ここで、C nはMの次元のみに依存する普遍定数です。ここで、ホモトピーシストール sysπ 1は定義により、 M内の非縮約ループの最小長です。多様体は、その基本クラス[M]がその基本群のホモロジーにおける非自明なクラスを表す場合に、本質的であると呼ばれます。証明には、グロモフによって導入された、次のように定義される充填半径と呼ばれる新しい不変量が含まれます。
Mが向き付け可能かどうかに応じて、係数環ZまたはZ 2をAで表す。このとき、コンパクトなn次元多様体Mの基本クラス[M]は、の生成子である。ユークリッド空間EへのMの埋め込みが与えられた場合、次のように設定します。
ここで、ι εは、 Mをその ε 近傍U ε MにEに含めることによって誘導される包含準同型です。
Mがリーマン計量gを備えている状況で絶対充填半径を定義するために、グロモフは次のように進めます。C. クラトフスキーによる埋め込みを利用します。M を、上限ノルムを備えた、M上の有界ボレル関数のバナッハ空間L ∞ ( M ) に埋め込みます。すなわち、点x ∈ M を、すべてのy ∈ Mに対して式 f x (y) = d(x,y) で定義される関数 f x ∈ L ∞ ( M )にマッピングします。ここで、 dは距離関数です。三角不等式により、次のようになります。したがって、埋め込みは、内部距離と周囲距離が一致するという厳密な意味で、強く等長である。周囲空間がヒルベルト空間である場合、Mがリーマン円であっても、このような強く等長な埋め込みは不可能である（対向点間の距離は2 ではなくπでなければならない！）。そこで、上記の式でE = L ∞ ( M ) と設定し、
すなわち、グロモフは収縮期と充填半径の関係に関する厳密な不等式を証明した。
すべての本質的多様体Mに対して有効であり、不等式も成り立つ。
すべての閉じた多様体Mに対して有効です。
S. Wenger による幾何学的測度論の最近の成果に基づき、L. Ambrosio と B. Kirchheim の以前の研究を発展させた証明の要約は、以下に参照する書籍「Systolic geometry and topology」のセクション 12.2 に掲載されています。Gromov の不等式の証明に対するまったく異なるアプローチが最近Larry Guthによって提案されました。[ 9 ]
1-収縮期不変量（ループの長さで定義される）と、より高次のk-収縮期不変量（サイクルの面積などで定義される）との間には大きな違いがあることを念頭に置いておく必要がある。1-収縮期を含む最適な収縮期不等式は数多く得られているが、純粋に高次のk-収縮期のみを含む最適な不等式は、グロモフの最適な安定2-収縮期不等式のみである。
複素射影空間の場合、最適な境界は対称フビニ・スタディ計量によって達成され、量子力学との関連性を示している。ここで、リーマン多様体Mの安定な 2-シストールは、次のように定義される。
どこは安定ノルムであり、λ 1は格子の非ゼロ要素の最小ノルムです。グロモフの安定不等式がどれほど例外的なものかは、最近になってようやく明らかになりました。つまり、予想に反して、四元数射影平面上の対称計量は、複素数の場合の 2-シストールとは対照的に、そのシストール的に最適な計量ではないことが発見されました。対称計量を持つ四元数射影平面は、中次元安定シストール比が 10/3 であるのに対し、複素射影4 空間の対称計量の類似比は 6 となり、これら両方の空間上の任意の計量のこのような比に対する利用可能な最良の上限は 14 です。この上限は、リー代数E7の性質に関連しています。例外的な Spin(7) ホロノミーと 4 番目のベッティ数 1 を持つ 8 多様体が存在する場合、値 14 は実際には最適です。Spin(7)ホロノミーを持つ多様体は、Dominic Joyceによって集中的に研究されてきた。
同様に、 k = 2のkシストールに対するほぼ唯一の非自明な下限は、ゲージ理論とJ 正則曲線に関する最近の研究から得られたものである。4 次元多様体の共形 2 シストールの下限の研究は、ジェイク・ソロモンによる周期マップの像の密度の簡略化された証明につながった。
シストールの最も印象的な応用例の1つは、P. BuserとP. Sarnakによるショットキー問題の文脈において、主に偏極したアーベル多様体の中からリーマン面のヤコビアンを区別し、シストール算術の基礎を築いたものである。
シストリックな問いを立てると、関連分野で新たな問いが生まれることがよくあります。そこで、多様体のシストリック圏の概念が定義され、研究されてきました。この概念は、ルステルニク・シュニレルマン圏（LS圏）との関連性を示しています。シストリック圏（およびLS圏）は、定義上、整数であることに注意してください。この2つの圏は、曲面と3次元多様体の両方で一致することが示されています。さらに、向き付け可能な4次元多様体の場合、シストリック圏はLS圏の下限となります。この関連性が確立されると、相互に影響し合います。LS圏に関する既知の結果がシストリックな問いを刺激し、その逆もまた然りです。
この新しい不変量は、KatzとRudyakによって導入されました（下記参照）。この不変量はLusternik-Schnirelmanカテゴリー（LSカテゴリー）と密接に関連していることが判明したため、収縮期カテゴリーと呼ばれました。
多様体Mのシストリック カテゴリーは、 Mのさまざまなkシストールによって定義されます。大まかに言うと、その考え方は次のとおりです。多様体Mが与えられたとき、 Mの総体積の「曲率のない」下限を与えるシストールの最長積 (計量に依存しない定数) を探します。定義にMの被覆のシストリック不変量を含めることも自然です。このような「最長積」の因子の数は、定義によりMのシストリック カテゴリーとなります。
例えば、グロモフは、本質的なn次元多様体は、ホモトピー1-シストールのn乗で表される体積の下限を持つことを示した（上記のセクションを参照）。したがって、本質的なn次元多様体のシストール圏はまさにnである。実際、閉じたn次元多様体の場合、LS圏とシストール圏の最大値は同時に達成される。
2つのカテゴリー間に興味深い関係が存在することを示唆するもう一つの手がかりは、カップの長さと呼ばれる不変量との関係である。つまり、実際のカップの長さは、両方のカテゴリーの下限値となる。
シストリック圏は、2次元および3次元の多様体の場合を含め、多くのケースでLS圏と一致する。4次元の場合、シストリック圏はLS圏の下限であることが最近示された。
双曲曲面のシストールの大きな種数gに対する漸近挙動の研究は、いくつかの興味深い定数を明らかにします。したがって、 (2,3,7) 双曲三角形群の主合同部分群の塔によって定義されるフルヴィッツ曲面Σ gは、境界を満たします。
また、同様の境界はより一般的な算術フックス群にも適用されます。Katz、Schaps、およびVishneによるこの2007年の結果[ 10 ]は、 Peter BuserとPeter Sarnakの1994年の画期的な論文[ 11 ]から、Q上で定義された算術群の場合の結果を一般化したものです。
双曲幾何学におけるシストールに関する文献は現在40件に及ぶ。興味深い例としては、ボルツァ曲面、クライン四次曲面、マクベス曲面、第一フルヴィッツ三つ組などが挙げられる。
最適な収縮期不等式の族は、BuragoとIvanovの手法を適用し、以下のように定義される適切なAbel–Jacobi写像を利用することによって得られます。
M を多様体とし、π = π 1 ( M ) をその基本群、f : π → π abをそのアーベル化写像とする。torをπ abのねじれ部分群とする。g : π ab → π ab / torをねじれによる商群とする。明らかに、π ab / tor = Z bであり、b = b 1 ( M ) である。φ: π → Z b を合成準同型とする。
定義：カバー部分群 Ker(φ) ⊂ π に対応する多様体Mの は、普遍的 (または最大) 自由アーベル被覆と呼ばれます。
ここで、Mがリーマン計量を持つと仮定します。EをM上の調和 1 形式の空間とし、双対E * をH 1 ( M , R ) と正準的に同一視します。基点x 0 ∈ Mからの経路に沿って積分調和 1 形式を積分することにより、円R / Z = S 1への写像が得られます。
同様に、コホモロジーの基底を選択せずに写像M → H 1 ( M , R )/ H 1 ( M , Z ) Rを定義するために、次のように議論します。xを普遍被覆内の点とします。Mの。したがって、xはMの点と、x 0からその点への経路cによって表されます。経路cに沿って積分すると、線形形式が得られます。E上で。こうしてマップが得られます。さらに、それは地図へと降りていく
どこは普遍的な自由アーベル被覆です。
定義：Mのヤコビ多様体（ヤコビトーラス）は、トーラスJ 1 ( M )= H 1 ( M , R )/ H 1 ( M , Z ) Rである。
定義：アベル・ヤコビ写像これは、上記のマップから商を2つ引くことによって得られます。アーベル・ヤコビマップは、ヤコビトーラスの平行移動を除いて一意です。
例として、D. Burago、S. Ivanov、M. Gromovによる次の不等式を挙げることができる。
M を、第 1 ベッティ数nを持つn次元リーマン多様体とし、 Mからそのヤコビ トーラスへの写像の次数がゼロでないとする。このとき、M は最適安定収縮不等式を満たす。
どこは古典的なエルミート定数です。
大きな種数を持つ曲面の収縮期における漸近現象は、興味深いエルゴード現象や、算術群の合同部分群の性質と関連していることが示されている。
グロモフが1983年に発表したホモトピー・シストールに関する不等式は、特に、非球面の面積をそのシストールで表す際の均一な下限を示唆している。このような下限は、最適とは言えないものの、ローヴナーとプーの不等式を一般化したものである。
グロモフの1983年の画期的な論文には、収縮期と面積の関係を示す漸近的な境界も含まれており、これは（すべての次元で有効な）一様境界を改善するものである。
最近発見された（下記のKatzとSabourauの論文を参照）。体積エントロピーhは、A. Katokのhに対する最適不等式とともに、大きな種数の表面の収縮比に対するM. Gromovの漸近的限界の明快な証明における「適切な」中間体である。
A. Katok の古典的な結果によれば、負のオイラー標数を持つ閉曲面M上のすべての計量は、エントロピーと面積の関係を示す最適な不等式を満たす。
閉曲面の最小エントロピーは、その最適収縮比と関連付けられることがわかった。すなわち、収縮極値曲面のエントロピーには、その収縮比に関して上限が存在する。この上限を、体積に関するカトクの最適下限と組み合わせることで、種数が大きい曲面の最適収縮比に関するグロモフの漸近推定の、より簡潔な別の証明が得られる。さらに、このようなアプローチは、グロモフの定理における乗法定数を改善する。
応用例として、この方法は、種数が20以上の曲面上のすべての計量がローナーのトーラス不等式を満たすことを示唆している。これは、グロモフの推定値から得られた以前の最良の推定値50を改善するものである。
グロモフの充填領域予想は、超楕円空間の設定において証明されている（下記のバンガートらの文献を参照）。
充填面積予想とは、長さ2πのリーマン円を強い等長性を持つ曲面で充填できるすべての可能な方法の中で、円形の半球が最小の面積を持つというものである。ここでリーマン円とは、総体積が2π、リーマン直径がπである唯一の閉じた1次元リーマン多様体を指す。
この予想を説明するために、まず単位2球面S 2 ⊂ R 3の赤道円が長さ2π、直径πのリーマン円S 1であるという事実から始めます。
より正確には、 S 1のリーマン距離関数は、周囲のリーマン距離を球面上に制限したものです。この性質は、単位円をユークリッド平面に標準的に埋め込んだ場合には満たされません。標準では、対向する2点間の距離はπではなく2になります。
S 1を曲面で埋める場合、その曲面の境界として円を含めることで定義される制限された計量が、長さ 2π の円のリーマン計量となるような曲面をすべて考えます。この円を境界として含めることを、円の強等長埋め込みと呼びます。
1983年、グロモフは、あらゆる塗りつぶし面の中で、円形の半球が円を塗りつぶす「最良の」方法であると推測した。
単連結充填の場合、プーの不等式と同等である。最近、種数-1充填の場合も肯定的に解決された（下記のバンガートらの文献を参照）。すなわち、積分幾何学におけるJ.ハーシュによる半世紀前の公式を利用できることが判明した。具体的には、赤道に自己交点を持つサッカーボール上の8の字ループの族を考える（記事冒頭の図を参照）。ハーシュの公式は、サッカーボールの共形クラスにおける計量の面積を、その族の8の字ループのエネルギーの平均として表す。リーマン面の超楕円商にハーシュの公式を適用すると、この場合の充填面積予想が証明される。
超楕円率によるその他の収縮期への影響は、第2種で確認されている。
ローヴナーの不等式の強化版の説明は、この記事の他の部分よりもやや専門的です。完全性を期すために、ここに含めておく価値があると思われます。強化版は次の不等式です。
ここで Var は確率的分散であり、fはgの共形クラスにおける単位面積の平坦な計量で計量gを表す共形因子である。証明は分散の計算式とフビニの定理の組み合わせから得られる。[ 8 ]
この分野の調査研究としては、M. Bergerの調査（1993年）、Gromovの調査（1996年）、Gromovの著書（1999年）、Bergerの概説書（2003年）、そしてKatzの著書（2007年）などが挙げられる。これらの文献は、この分野に初めて触れる人にとって参考になるだろう。また、これらの文献には、取り組むべき未解決問題も含まれている。
![{\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dfe4fcd3f5693d2100f1b8ceac79d7377e43c5)
