平均曲率

数学において、表面の平均曲率は、 微分幾何学から得られる曲率の外在的尺度であり、ユークリッド空間などの何らかの周囲空間に埋め込まれた表面の曲率を局所的に記述します。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

この概念は、ソフィー・ジェルマンが弾性理論の研究で使用しました。^{[1] [2]} ジャン・バティスト・マリー・ミュニエは、1776年に極小曲面の研究でこれを使用しました。これは、平均曲率がゼロである極小曲面の解析や、例えばヤング・ラプラス方程式によって静的流れで一定の平均曲率を持つ流体（石鹸膜など）間の物理的界面の解析において重要です。

を3 次元ユークリッド空間R ³内の面上の点とします。 を通る法線を含む各平面は、 (平面) 曲線に切断されます。単位法線の選択を固定すると、その曲線に符号付き曲率が得られます。平面が角度(常に法線を含む) だけ回転すると、その曲率は変化します。最大曲率と最小曲率は の主曲率として知られています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \kappa_{1}}$${\displaystyle \kappa_{2}}$${\displaystyle S}$

における平均曲率は、すべての角度における符号付き曲率の平均です。 ${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta }$。

オイラーの定理を適用すると、これは主曲率の平均に等しくなります (Spivak 1999、第 3 巻、第 2 章)。

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})。}$

より一般的には（Spivak 1999、第4巻、第7章）、超曲面の 平均曲率は次のように与えられる。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

より抽象的に言えば、平均曲率は第 2 基本形式のトレースをn (または同等の形状演算子)で割ったものです。

さらに、平均曲率は共変微分 を使って次のように表される。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

ガウス・ワインガルテン関係式を使用します。ここで、は滑らかに埋め込まれた超曲面、 は単位法線ベクトル、 は計量テンソルです。 ${\displaystyle X(x)}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle g_{ij}}$

表面が極小表面となる のは、平均曲率がゼロの場合のみです。さらに、表面の平均曲率の下で発展する表面は、平均曲率フロー方程式と呼ばれる熱型方程式に従うと言われています。 ${\displaystyle S}$

球面は、境界や特異点のない、一定の正の平均曲率を持つ唯一の埋め込み面です。ただし、「埋め込み面」という条件を「浸漬面」に弱めると、結果は正しくありません。^[3]

3D 空間で定義されたサーフェスの場合、平均曲率はサーフェスの 単位法線に関連します。

${\displaystyle 2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}}$

ここで、法線の選択は曲率の符号に影響します。曲率の符号は法線の選択に依存します。曲率は、表面が法線に向かって曲がっている場合、正です。上記の式は、単位法線の発散が計算できる限り、どのような方法で定義された 3D 空間の表面にも当てはまります。平均曲率も計算できます。

${\displaystyle 2H={\text{トレース}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))}$

ここで、I と II はそれぞれ第 1 および第 2 の二次形式行列を表します。

が曲面のパラメータ化であり、が パラメータ空間内の2つの線形独立ベクトルである場合、平均曲率は、、、、、、、、として第1および第2の基本形式で表すことが できます。[ 4 ^]${\displaystyle S(x,y)}$${\displaystyle u,v}$$${\displaystyle {\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}}$$${\displaystyle E=\mathrm {I} (u,u)}$${\displaystyle F=\mathrm {I} (u,v)}$${\displaystyle G=\mathrm {I} (v,v)}$${\displaystyle l=\mathrm {II} (u,u)}$${\displaystyle m=\mathrm {II} (u,v)}$${\displaystyle n=\mathrm {II} (v,v)}$

2つの座標の関数として定義される特殊な場合、例えば、上向きの法線を使用すると、（2倍の）平均曲率の式は次のようになります。 ${\displaystyle z=S(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

特に の点では、平均曲率は のヘッセ行列のトレースの半分になります。 ${\displaystyle \nabla S=0}$${\displaystyle S}$

さらに、面がと軸対称であることが分かっている場合、 ${\displaystyle z=S(r)}$

${\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}$

ここで はの導関数から来ます。 ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}}$${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

方程式で指定された表面の平均曲率は、勾配とヘッセ行列を使用して計算できます。${\displaystyle F(x,y,z)=0}$${\displaystyle \nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.}$

平均曲率は次のように与えられる: ^{[5] [6]}

${\displaystyle H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}}$

もう一つの形式は単位法線の発散である。単位法線は次のように表され、平均曲率は次のように表される。 ${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}}$

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).}$

流体力学では、2 の係数を避けるために、 別の定義が時々使用されます。

${\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,}$。

この結果、ヤング・ラプラス方程式によれば、平衡球状液滴内の圧力は表面張力の倍となり、2つの曲率は液滴の半径の逆数に等しい。 ${\displaystyle H_{f}}$

${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,}$。

極小曲面とは、すべての点で平均曲率がゼロである曲面です。典型的な例としては、カテノイド、ヘリコイド、エネパー面などがあります。最近発見されたものとしては、コスタの極小曲面やジャイロイドなどがあります。

極小曲面の考え方を拡張したものが平均曲率が一定な曲面である。双曲空間における平均曲率が単位一定な曲面はブライアント面と呼ばれる。^[7]

• ガウス曲率
• 平均曲率フロー
• 逆平均曲率フロー
• 面積公式の最初の変形
• ストレッチグリッド法

• スピヴァック、マイケル（1999）、微分幾何学の包括的な入門（第3-4巻）（第3版）、Publish or Perish Press、ISBN 978-0-914098-72-0、（第3巻）、（第4巻）。
• P.Grinfeld (2014).テンソル解析と移動面の計算入門. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9。