実射影平面

数学において、実射影平面は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$または⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} _{2}}$と表記され、2 次元の 射影空間であり、多くの点でよく知られているユークリッド平面に似ていますが、距離、円、角度、平行性の概念はありません。これは平面射影幾何学の舞台であり、射影変換によってオブジェクト間の関係が変化するとは見なされません。射影という名前は透視図法に由来しています。ある平面から別の平面に画像を投影し、いずれかの平面の外側の点から見た画像、たとえば平面の絵画を斜めから撮影することは、射影変換です。

射影平面における基本的な対象は点と直線であり、ユークリッド幾何学と同様に、点のペアごとに、その点と点を通る唯一の直線が決定されますが、ユークリッドの場合とは異なり、射影幾何学では、線分のペアごとに、その交点に唯一の点が決定されます (ユークリッド幾何学では、平行線が交差することはありません)。曖昧さのない文脈では、単に射影平面と呼ばれます。複素射影平面や有限射影平面などの他の射影平面と区別するために、「実」という修飾語が追加されます。

実射影平面の一般的なモデルの 1 つは、特定の原点を通過する3 次元ユークリッド空間内の直線の空間です。このモデルでは、原点を通る直線は射影平面の「点」と見なされ、原点を通る平面は射影平面内の「線」と見なされます。これらの射影点と線は、原点を通らない任意の平面と交差させることで 2 次元で表すことができます。この場合、原点を通過する平行平面(射影「線」) は無限遠直線と呼ばれます。(以下の § 同次座標を参照してください。)

位相幾何学では、実射影平面という名前は、位相的に実射影平面と同値な任意の面に適用されます。位相的には、実射影平面はコンパクトで向きが不可能 (片側) です。3次元ユークリッド空間に、交差せずに埋め込むことはできません。オイラー標数は1 であるため、半種数 (向きが不可能な種数、オイラー種数) は 1 です。

位相的な実射影平面は、メビウスの帯の（単一の）辺を正しい方向に接着するか、その辺を円板に接着することによって構築できます。あるいは、図に示すように、正方形の反対側の辺の各ペアを反対方向に特定することによって、実射影平面を構築することもできます。（3 次元空間でこれらの操作のいずれかを実行すると、表面が交差します。）

射影幾何学は必ずしも曲率に関係しているわけではなく、実際の射影平面はさまざまな方法でねじれてユークリッド平面または3次元空間に配置されます。^[1]より重要な例のいくつかを以下に説明します。

射影平面は、 3 次元ユークリッド空間に埋め込むことはできません(つまり、交差しません) 。射影平面が 3 次元ユークリッド空間に埋め込まれないことの証明は、次のようになります。埋め込まれると仮定すると、一般化されたジョルダン曲線定理により、3 次元ユークリッド空間内のコンパクトな領域が境界付けられます。外向きの単位法線ベクトル場は境界多様体の向きを与えますが、境界多様体は向き付け不可能な射影平面になります。これは矛盾であり、埋め込まれるという仮定は間違っていたに違いありません。

球面を考え、球面の大円を「線」、対心点のペアを「点」とします。この系が射影平面に求められる公理に従っていることは簡単に確認できます。

• 任意の異なる大円のペアは、対心点で交わる。
• 任意の 2 つの異なる対蹠点のペアは、単一の大円上にあります。

球面上の各点をその対蹠点と同一視すると、実射影平面の表現が得られ、その表現では、射影平面の「点」は実際に点である。つまり、射影平面は、球面を同値関係 ~ の下で同値類に分割することによって得られる球面の商空間である。ここで、y = xまたはy = − xの場合、x ~ y となる。球面のこの商空間は、R ³の原点を通るすべての直線の集合と同相である。

球面から実射影平面への商写像は、実際には2枚のシート（つまり2対1）の被覆写像です。したがって、実射影平面の基本群は位数2の巡回群、つまり2を法とする整数になります。上の図のループABを生成元として考えることができます。

球面は実射影平面を2度覆うため、平面は閉じた半球面として表すことができ、その周囲に対点が同一視される。^[2]

射影平面は3 次元空間に浸漬できます(ソース空間の局所近傍は自己交差を持ちません)。ボーイの表面は浸漬の例です。

多面体の例では少なくとも9つの面が必要です。^[3]

シュタイナーのローマ曲面は、クロスキャップを含む、射影平面の 3 次元空間へのより退化した写像です。

多面体の表現としては、四半六面体^[4]があり、ここに示すシュタイナーのローマ曲面と同じ一般的な形をしています。

反対方向に見ると、半立方体、半十二面体、半二十面体といった抽象的な正多面体は、射影平面上の正多面体として構築することができます。射影多面体も参照してください。

射影平面の様々な平面（平坦）投影や写像が記述されている。1874年にクラインは次のような写像を記述した。^[1]

${\displaystyle k(x,y)=\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\binom {x}{y}}}$

射影半球面を平面に中心射影すると、以下に説明する通常の無限射影平面が得られます。

閉じた表面は、ディスクをクロスキャップに接着することによって得られます。この表面は、次の式によってパラメトリックに表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=r\,(1+\cos v)\,\cos u,\\Y(u,v)&=r\,(1+\cos v)\,\sin u,\\Z(u,v)&=-\operatorname {tanh} \left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,\end{aligned}}}$

ここで、uとv は両方とも0 から 2 πの範囲です。

これらの方程式はトーラスの方程式と似ています。図 1 は閉じたクロスキャップ ディスクを示しています。

クロスキャップ ディスクには、2 点の線分を通る対称面があります。図 1 では、クロスキャップ ディスクは対称面z = 0 の上から見たものですが、下から見ても同じように見えます。

クロスキャップされたディスクは、その対称面に沿ってスライスすることができますが、二重点に沿って切断しないように注意してください。結果は図 2 に示されています。

この例外が作られると、図 3 に示すように、スライスされたクロスキャップ ディスクが自己交差ディスクと 同相であることがわかります。

自己交差円板は通常の円板と同相です。自己交差円板のパラメトリック方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=r\,v\,\cos 2u,\\Y(u,v)&=r\,v\,\sin 2u,\\Z(u,v)&=r\,v\,\cos u,\end{aligned}}}$

ここで、u は0 から 2 πの範囲であり、v は0 から 1 の範囲です。

自己交差ディスクを、二重点のみを通過する対称面（前述のパラメータ化では z = 0）に投影すると、結果はそれ自体を繰り返す（それ自体が重複する）通常のディスクになります。

平面z = 0 は、自己交差する円板を、互いに鏡映しとなる一対の円板に分割します。円板の中心は原点にあります。

ここで、円盤の縁 ( v = 1) について考えます。自己交差円盤の縁にある点は、平面z = 0に関して互いに反射するペアになります。

クロスキャップされたディスクは、これらの点のペアを同一視し、それらを互いに同値にすることで形成されます。つまり、パラメータ ( u , 1) と座標を持つ点は、座標が である点 ( u + π, 1)と同一視されます。ただし、これは (同値な) 通常のディスクの縁にある反対の点のペアが互いに同一視されることを意味します。これが、ディスクから実射影平面が形成される方法です。したがって、図 1 に示す表面 (ディスク付きクロスキャップ) は、実射影平面RP ²と位相的に同値です。 ${\displaystyle (r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)}$${\displaystyle (r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)}$

平面上の点は、同次座標で表すことができます。点は同次座標 [ x : y : z ] を持ちます。ここで、座標 [ x  :  y  :  z ]と [  tx  :  ty : tz  ] は 、  tが0以外のすべての値である場合に、同じ点を表すものと見なされます。座標 [ x  :  y : 1]の点は、 通常の実平面であり、射影平面の有限部分と呼ばれます。座標 [ x  :  y  : 0] の点は、無限遠点ま​​たは理想点と呼ばれ、無限遠直線と呼ばれる直線を構成します。(同次座標 [0 : 0 : 0] は、どの点も表しません。)

平面上の直線は、同次座標で表すこともできます。R ³の平面ax + by + cz = 0に対応する射影直線は、同次座標 ( a  :  b  :  c ) を持ちます。したがって、これらの座標は、 dのすべての非ゼロ値に対して同値関係 ( a  :  b  :  c ) = ( da  :  db  :  dc ) を持ちます。したがって、同じ直線dax  +  dby  +  dcz  = 0 の別の方程式は、同じ同次座標を与えます。点 [ x  :  y  :  z ] は、 ax  +  by  +  cz = 0の場合、直線 ( a  :  b  :  c ) 上にあります 。したがって、aと bが両方とも 0 ではない座標 ( a  :  b  :  c ) を持つ直線は、無限遠にない点を含むため、通常の実平面上の直線に対応します。座標 (0 : 0 : 1) の線は無限遠の線です。この線上にある点は z  = 0 の点だけだからです。

P ²の直線は​​、方程式ax + by + cz = 0で表すことができます。 a、b、c を列ベクトルℓとして扱い、x、y、zを列ベクトルxとして扱うと、上記の方程式は行列形式で次のように表すことができます。

x ^T ℓ = 0 またはℓ ^T x = 0。

ベクトル表記を使用する場合は、代わりにx ⋅ ℓ = 0 またはℓ ⋅ x = 0 と書くこともできます。

方程式k ( x ^T ℓ ) = 0 (k はゼロでないスカラー) は、 R ³でゼロを通過する平面を描き、k ( x ) は再びゼロを通過する直線を描きます。平面と直線はR ³の線形部分空間であり、常にゼロを通過します。

P ²では、直線の方程式はax + by + cz = 0であり、この方程式にkを掛けることで、x、y平面に平行な任意の平面上の直線を表すことができます。

z = 1の場合、正規化された同次座標が得られます。z = 1のすべてのポイントは平面を作成します。その平面を ( z軸に沿ってさらに離れた位置から、原点に向かって振り返って) 見ていると仮定し、平面上に 2 本の平行線が引かれています。私たちが立っている場所 (視力を考慮すると) からは、平面の限られた部分しか見えません。これは、図の赤で囲まれた領域として表されます。z 軸に沿って平面から離れると(引き続き原点に向かって振り返っています)、平面のより多くの部分を見ることができます。私たちの視野では、元のポイントが移動しています。この移動を反映するには、同次座標を定数で割ることができます。隣接する画像では、2 で割ったため、z値は 0.5 になります。十分離れて歩くと、見ているものが遠くの点になります。離れるにつれて、平行線がどんどん見えてきます。線は、無限遠の線 (平面上のz = 0でゼロを通過する線) で交わります。z = 0 のときの平面上の線は理想点です。z = 0の平面は無限遠の線です。

同次点(0, 0, 0)は、平面を無限遠から見ている場合にすべての実点が行く場所であり、z = 0平面上の線は平行線が交差する場所です。

方程式x ^T ℓ = 0には、 2 つの列ベクトルがあります。どちらかを一定にして、もう一方を変化させることができます。点x を一定にして係数ℓ を変化させると、その点を通る新しい線が作成されます。係数を一定にして、方程式を満たす点を変化させると、線が作成されます。使用している軸はx、y、zであるため、 x を点と見なします。代わりにa、b、cでマークされた軸を使用して係数をプロットすると、点は線になり、線は点になります。x、y、zでマークされた軸にプロットされたデータを使用して何かを証明する場合、同じ議論をa、b、cでマークされた軸にプロットされたデータに使用できます。これが双対性です。

方程式x ^T ℓ = 0は、 2 つの列ベクトルの内積を計算します。2 つのベクトルが直交している場合、 2 つのベクトルの内積は 0 になります。 P ²では、点x ₁とx ₂を結ぶ線は、方程式x ₁ ^T ℓ = 0およびx ₂ ^T ℓ = 0 を満たす列ベクトルℓとして表すことができます。言い換えると、x ₁およびx ₂に直交する列ベクトルℓです。外積は、そのようなベクトルを見つけます。2 つの点を結合する線は、方程式x ₁ × x ₂で与えられる同次座標を持ちます。2 本の線の交点は、双対性を使用して、線を表すベクトルの外積ℓ ₁ × ℓ ₂と同じように見つけることができます。

射影平面は4次元ユークリッド空間に埋め込まれる。実射影平面P ² ( R )は2次元球面の 商である。

S ² = {( x , y , z ) ∈ R ³  : x ² + y ² + z ² = 1}

対心関係( x , y , z ) ~ (− x , − y , − z )によって表されます。( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y ² − z ² , 2 yz )によって与えられる関数R ³ → R ⁴を考えます。この写像は、定義域がS ²である写像に制限され、各要素が偶数次の同次多項式であるため、S ²上の任意の 2 つの対心点のそれぞれにおいてR ⁴で同じ値を取ります。これにより、写像P ² ( R ) → R ⁴が生成されます。さらに、この写像は埋め込みです。この埋め込みは、ローマ曲面であるR ³への射影を許容することに注意してください。

射影平面を連続的に接着することで、高次の半次元の向き付けできない曲面が得られます。接着のプロセスは、各面から小さな円盤を切り取り、境界円を特定 (接着) することから構成されます。2 つの射影平面を接着すると、クラインの壺が作成されます。

基本多角形に関する記事では、高次の非方向性曲面について説明します。

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