測地線

幾何学において、測地線( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ - , - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}は、曲面上の 2 点間、またはより一般的にはリーマン多様体上の 2 点間の局所的に^{[ a ]}最短^{[ b ]}経路 (弧) を何らかの意味で表す曲線です。この用語は、接続を持つ任意の微分可能多様体でも意味を持ちます 。これは「直線」の概念の一般化です。

名詞のgeodesicと形容詞のgeodetic は、地球の大きさや形を測定する科学であるgeodesyに由来しますが、その根底にある原理の多くは、あらゆる楕円体幾何学に適用できます。本来の意味では、測地線は地球表面上の 2 点間の最短経路でした。球状の地球の場合、それは大円の一部です(大円距離も参照)。この用語はその後、より抽象的な数学的空間に一般化されました。たとえば、グラフ理論では、グラフの2 つの頂点/ ノード間の測地線を考えることができます。

リーマン多様体または部分多様体において、測地線は測地曲率がゼロであるという性質によって特徴づけられる。より一般的には、アフィン接続が存在する場合、測地線は、その接ベクトルを沿って移動させたときに平行を保つ曲線として定義される。これをリーマン計量のレヴィ・チヴィタ接続に適用すると、前述の概念が再現される。

測地線は一般相対性理論において特に重要である。一般相対性理論における時間的測地線は、自由落下する試験粒子の運動を記述する。

曲がった空間（リーマン多様体であると仮定）内の 2 つの与えられた点間の局所的に最短の経路は^、曲線の長さ（R の開区間から空間への関数 f）の式を使用し、変分法を使用して点間のこの長さを最小化することによって定義できます^。最短経路をパラメータ化するさまざまな方法が無限次元空間に存在するため、これにはいくつかの小さな技術的な問題があります。曲線の集合を「一定速度」でパラメータ化されたもの 1 に制限する方が簡単です。これは、曲線に沿ったf ( s )からf ( t ) までの距離が | s − t | に等しいことを意味します。同等に、曲線のエネルギーと呼ばれる別の量を使用することもできます。エネルギーを最小化すると、測地線に対して同じ方程式が得られます（ここで「一定速度」は最小化の結果です）。直感的に言えば、この2番目の定式化は、2点間に張られたゴムバンドは幅が縮み、それによってエネルギーが最小化されることに注目すれば理解できる。結果として生じるバンドの形状は測地線となる。

球面上で正反対の位置にある2点間の場合のように、2点間の距離を最小にする曲線は複数存在する可能性がある。このような場合、これらの曲線はいずれも測地線となる。

測地線の連続した区間は、再び測地線となる。

一般的に、測地線は2点間の「最短曲線」とは異なりますが、この2つの概念は密接に関連しています。違いは、測地線は2点間の最短距離を局所的にのみ示し、「一定速度」でパラメータ化されている点です。球面上の2点間を大円に沿って「遠回り」することは測地線ではありますが、2点間の最短経路ではありません。$t→t²$実数直線上の単位区間からそれ自身への線は、0と1の間の最短経路となるが、対応する点の運動速度が一定ではないため、測地線ではない。

測地線は、リーマン幾何学、より一般的には計量幾何学の研究においてよく見られる概念です。一般相対性理論では、時空における測地線は、重力のみの影響下にある点粒子の運動を記述します。特に、落下する岩石、軌道を周回する衛星、惑星の軌道の形状はすべて、曲がった時空における測地線です^。より一般的には、サブリーマン幾何^学は、物体が自由ではなく、その運動が様々な方法で制約されている場合に、物体がたどる経路を扱います。

本稿では、リーマン多様体の場合における測地線の定義、発見、および存在証明に関わる数学的定式化について述べる。論文「レヴィ＝チヴィタの関連性」では、より一般的な擬リーマン多様体の場合について論じ、 「測地線（一般相対性理論）」では、一般相対性理論の特殊な場合についてより詳細に論じる。

例

最もよく知られた例は、ユークリッド幾何学における直線です。 球面上では、測地線の像は 大円です。球面上の点Aから点Bへの最短経路は、 AとBを通る大円の短い方の弧によって与えられます。AとBが対蹠点である場合、それらの間には無限に多くの最短経路が存在します。 楕円体上の測地線は、球面上の測地線よりも複雑な振る舞いをします。特に、一般には閉じていません (図を参照)。

三角形

測地線三角形は、与えられた曲面上の3点のうちの2点を測地線で結んで形成されます。球面上では、測地線は大円弧となり、球面三角形を形成します。

計量幾何学において、測地線とは、あらゆる点で局所的に距離を最小化する曲線のことである。より正確には、実数区間Iから計量空間Mへの曲線γ  : I → Mは、定数v ≥ 0が存在し、任意のt ∈ Iに対して、任意のt ₁ , t ₂ ∈ Jに対して、次の条件が満たされるI内のtの近傍Jが存在する場合に測地線となる。

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

これはリーマン多様体に対する測地線の概念を一般化したものである。しかし、計量幾何学では、考慮される測地線はしばしば自然なパラメータ化を備えている。すなわち、上記の恒等式ではv  =  1 であり、

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

最後の等式がすべてのt ₁、t ₂ ∈ Iに対して満たされる場合、測地線は最小化測地線または最短経路と呼ばれます。

一般に、距離空間には定数曲線を除いて測地線が存在しない場合がある。その反対に、長さ距離空間内の任意の2点は、可測経路の最小化列によって結ばれるが、この最小化列は測地線に収束するとは限らない。距離ホップ・リノウの定理は、長さ空間が自動的に測地空間となる状況を示している。

測地距離空間の一般的な例としては、多様体ではないものが多く、距離グラフ、（局所的にコンパクトな）距離多面体複合体、無限次元のプレヒルベルト空間、実数木などが挙げられる。

リーマン多様体において${\displaystyle M}$メトリックテンソル付き${\displaystyle g}$長さ${\displaystyle L}$連続的に微分可能な曲線${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to M} は次のように定義されます。

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

距離${\displaystyle d(p,q)}$2点間${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$の${\displaystyle M}$は、すべての連続的で区分的に連続的に微分可能な曲線の長さの下限として定義される。${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to M} で、${\displaystyle \gamma (a)=p}$そして${\displaystyle \gamma (b)=q}$リーマン幾何学では、すべての測地線は局所的に距離を最小化する経路ですが、その逆は成り立ちません。実際には、局所的に距離を最小化し、かつ弧長に比例してパラメータ化される経路のみが測地線となります。

リーマン多様体上の測地線を定義するもう一つの同等の方法は、次の作用またはエネルギー汎関数の最小値として定義することです。

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

すべての最小値${\displaystyle E}$は最小値でもある${\displaystyle L}$、 しかし${\displaystyle L}$は、最小値となるパスであるため、より大きなセットです。${\displaystyle L}$は任意に再パラメータ化できる（長さは変更しない）が、最小値は${\displaystyle E}$できません。${\displaystyle C^{1}}$曲線（より一般的には、${\displaystyle W^{1,2}}$曲線）コーシー・シュワルツの不等式は

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(ba)E(\gamma )}$

等号は、${\displaystyle g(\ガンマ ',\ガンマ ')}$は定数 ae に等しく、経路は一定速度で移動する必要があります。 の最小化は、${\displaystyle E(\gamma )}$また、最小限に抑える${\displaystyle L(\gamma )}$なぜなら、それらはアフィンパラメータ化され、不等式は等式になるからである。このアプローチの有用性は、最小値を求める問題が${\displaystyle E}$はより頑健な変分問題である。実際、${\displaystyle E(\gamma )}$は「凸関数」である${\displaystyle \gamma }$したがって、「妥当な関数」の各同位体クラス内では、最小化関数の存在、一意性、および正則性が期待されるはずである。対照的に、関数の「最小化関数」は${\displaystyle L(\gamma )}$一般的に、それらはあまり規則的ではない。なぜなら、任意の再パラメータ化が許容されるからである。

関数のオイラー・ラグランジュ運動方程式${\displaystyle E}$ローカル座標では次のように表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

どこ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$これらは計量のクリストッフェル記号です。これは測地線方程式であり、以下で説明します。

滑らかな多様体上の測地線${\displaystyle M}$アフィン接続で${\displaystyle \nabla }$曲線として定義される$\displaystyle \gamma (t)$曲線に沿った平行移動は曲線の接線ベクトルを保存するので、

曲線に沿った各点において、${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$は に関する導関数です${\displaystyle t}$より正確には、共変微分を定義するために${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$まず拡張する必要がある${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$開集合内の連続微分可能なベクトル場に。ただし、( 1 )の結果の値は拡張の選択に依存しない。

ローカル座標を使用して${\displaystyle M}$測地線方程式は（総和規約を用いて）次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

どこ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$曲線の座標は$\displaystyle \gamma (t)$そして${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$クリストッフェルはつながりの象徴である${\displaystyle \nabla }$これは座標に関する常微分方程式です。初期位置と初期速度が与えられれば、一意の解を持ちます。したがって、古典力学の観点から、測地線は多様体における自由粒子の軌跡と考えることができます。実際、この方程式は${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$これは、曲線の加速度ベクトルが表面方向の成分を持たないことを意味します（したがって、曲線の各点において表面の接平面に垂直になります）。つまり、運動は表面の曲がりによって完全に決定されます。これは、粒子が測地線上を運動し、その曲がりが重力によって引き起こされるという一般相対性理論の考え方とも一致します。

曲面上の最小測地線問題の効率的な解法には、組み合わせ波面伝播法、アイコナール方程式の直接数値解法、熱拡散に基づく方法など、いくつかの異なるアプローチがあります。以下の3つの方法は、網羅的なものではなく、代表的なものです。

リボン「テスト」は、物理的な表面上の測地線を見つける方法です。^{[ 9 ]}そのアイデアは、直線（リボン）の周りの紙片を、リボンを伸ばしたり潰したりせずに（内部の形状を変えずに）、曲面にできるだけぴったりと合わせることです。

例えば、リボンを円錐に輪状に巻き付けると、リボンは円錐の表面にぴったりと沿わず、突き出てしまうため、その円は円錐上の測地線にはなりません。リボンのすべての部分が円錐の表面に接するように調整すれば、測地線に近い形状が得られます。

数学的には、リボンテストは写像を見つけることとして定式化できる。${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$近隣の${\displaystyle N}$線${\displaystyle \ell }$平面から表面へ${\displaystyle S}$マッピング${\displaystyle f}$「周囲の距離は変わりません${\displaystyle \ell }$「かなり」、つまり距離が${\displaystyle \varepsilon }$から${\displaystyle l}$我々は持っています${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$どこ${\displaystyle g_{N}}$そして${\displaystyle g_{S}}$指標は​${\displaystyle N}$そして${\displaystyle S}$。

最短経路という概念は幾何学的な性質を持つものの、非常に普遍的なため、ほぼすべての科学分野、そして他のいくつかの分野でも広く応用されている。

• スピヴァク、マイケル（1999）、『微分幾何学の包括的入門（第2巻）』、ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish、ISBN 978-0-914098-71-3

• アドラー、ロナルド；バザン、モーリス；シファー、メナヘム（1975）、『一般相対性理論入門』（第2 版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-000423-8第2章を参照してください。
• アブラハム、ラルフ・H.、マースデン、ジェロルド・E. (1978)、『力学の基礎』、ロンドン：ベンジャミン・カミングス、書誌コード：1978fome.book.....A、ISBN 978-0-8053-0102-1セクション2.7を参照してください。
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-11.4節を参照してください。
• 小林正七、野水勝己（1996）『微分幾何学の基礎』第1巻 （新版 ）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• ランダウ、LD；リフシッツ、EM（1975）、『古典的体論』、オックスフォード：パーガモン、Bibcode：1975ctf..book.....L、ISBN 978-0-08-018176-9セクション87を参照してください。
• ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ、ウィーラー、ジョン・アーチボルド（1973）『重力』 WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0
• オルティン、トーマス (2004)、重力と弦、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82475-0特に7ページと10ページに注目してください。
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994]、「測地線」、数学百科事典、EMS Press。
• ワインバーグ、スティーブン（1972）『重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、書誌コード：1972gcpa.book.....W、ISBN 978-0-471-92567-5第3章を参照してください。

• 測地線の再考―測地線の方程式の導出方法を2つ紹介し、幾何学（球面上およびトーラス上の測地線）、力学（最速降下曲線）、光学（不均質媒体中の光線）への応用について解説します。
• 完全に測地線的な部分多様体2015年8月10日にWayback MachineのManifold Atlasにアーカイブされました