トラクトリクス

幾何学において、トラクトリクス（ラテン語の trahere 「引っ張る、引きずる」に由来、複数形はtractrices）とは、水平面上で物体と引っ張る人との間の最初の直線に対して直角に微小な速度で動く引っ張り点（トラクター）に接続された線分によって引っ張られたときに、摩擦の影響を受けて物体が動く曲線である。したがって、これは追跡曲線である。これは1670年にクロード・ペローによって初めて導入され、後にアイザック・ニュートン（1676年）とクリスティアーン・ホイヘンス（1693年）によって研究された。^[1]

数学的導出

物体が $(a, 0)$ (または右の例では $(4, 0) ) に配置され、引き手が$ 原点にあると仮定すると、 $a は$ 引っ張る糸の長さ (右の例では 4) になります。次に、引き手は $y$ 軸に沿って正の方向に動き始めます。すべての瞬間に、糸は物体によって描かれる曲線 $y$ $=$ $y$ $($ $x$ $)に$ 接するため、引き手の動きによって完全に決定されます。数学的には、物体の座標が $($ $x$ $,$ $y$ $)$ である場合、引き手の $y$ 座標はピタゴラスの定理によりとなります。糸の傾きが曲線の接線の傾きに等しいと書き表すと、微分方程式が導かれます。 $y+\operatorname {sign} (y){\sqrt {a^{2}-x^{2}}},$

{\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}

初期条件は $y (a) = 0$ である。その解は

y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\pm \!\left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right),

ここで、符号 $\pm は$ 、プーラーの動きの方向 (正または負) によって決まります。

この解の最初の項は次のようにも書ける。

a\operatorname {arsech} {\frac {x}{a}},

ここで、 $arsech は$ 逆双曲正割関数です。

解の前の符号は、プラーが上向きに動くか下向きに動くかによって異なります。両方の枝はトラクトリクスに属し、カスプポイント $(a 、 0)$ で出会います。

トラクトリクスの基礎

トラクトリックスの本質的な特性は、曲線上の点 $Pと、$ $P$ における接線と曲線の漸近線との交点との間の距離が一定であることです。

トラクトリックスはさまざまな方法で考えることができます。

直線上を滑ることなく回転する双曲螺旋の中心の軌跡です。
これは懸垂線関数のインボリュートであり、重力場の影響を受ける2点に接続された完全に柔軟で非弾性な均質な弦を表します。懸垂線の方程式は $y$ $($ $x$ $) =$ $a$ $cosh$ $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}x/1つの⁠$ .
一定の速度と一定の方向（最初は車両に対して垂直）でロープによって引っ張られる自動車の後部車軸の中央によって決定される軌道。
$これは、 x$ 軸を中心とする直線上を転がる $半径$ a の円が常に垂直に交差する(非線形) 曲線です。

$この関数は水平漸近線を許容する。曲線はy$ 軸に対して対称である。曲率半径は $r = a cot ⁠ x / ええ ⁠$ .

トラクトリクスの大きな意味は、その漸近線を回る回転面、すなわち擬球の研究でした。1868年にエウジェニオ・ベルトラミによって研究された^{[2]擬球は、一定の負の}ガウス曲率の面として、双曲幾何学の局所モデルです。このアイデアはカスナーとニューマンの著書『数学と想像力』でさらに発展し、おもちゃの列車が懐中時計を引っ張ってトラクトリクスを生成する様子が示されています^{[3] 。}

プロパティ

この曲線は式^[4]によってパラメータ化できる。 $x=t-\tanh(t),y=1/{\cosh(t)}$
幾何学的に定義された方法により、トラクトリックスは、漸近線と接点の間の接線の長さ a が一定であるという $特性$ を持ちます。
$x$ $=$ $x$ $1$ と $x$ $=$ $x$ $2$ $の間の$ 1つの枝の弧の長さは $ln$ $⁠$ $11 / 2 年 ⁠$ .
トラクトリクスとその漸近線の間の面積は $⁠$ $π 2 は / 2 ⁠$ 、これは積分またはマミコンの定理を使用して見つけることができます。
トラクトリックスの法線の包絡線（つまり、トラクトリックスの縮閉線）は、 $y$ $=$ $a$ $cosh$ $⁠$ で与えられる懸垂線（または鎖曲線）です。 $x / 1つの ⁠$ .
漸近線を中心に軌道を回転させることによって作られる回転面は擬球面です。
トラクトリックスは超越曲線であり、多項式方程式では定義できません。

実用化

1927年、P. G. A. H. Voigt は、ホーンを通過する波面が一定半径の球状であるという仮定に基づいて、ホーンスピーカーの設計の特許を取得しました。このアイデアは、ホーン内での音の内部反射によって生じる歪みを最小限に抑えるというものです。結果として得られる形状は、トラクトリクスの回転面です。 ^[5]
重要な用途は、板金の成形技術です。特に、トラクトリクスプロファイルは、深絞り時に板金を曲げる金型の角に使用されます。^[6]

歯付きベルトプーリ設計は、歯にトラクトリックスカテナリー形状を使用することで、機械的な動力伝達の効率を向上させます。^[7] この形状は、動く歯が最小限の滑り接触で噛み合ったり外れたりするため、プーリと噛み合うベルトの歯の摩擦を最小限に抑えます。元のタイミングベルト設計では、より単純な台形または円形の歯の形状が使用されていましたが、これにより大きな滑りと摩擦が発生します。

描画機

1692年10月から11月にかけて、クリスティアーン・ホイヘンスは3つのトラクトリックス製図機について記述した。^[8]
1693年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、理論的にはあらゆる一次微分方程式を積分できる「万能牽引機械」を考案した。^[9] この概念は、牽引原理を実装したアナログ計算メカニズムであった。この装置は、ライプニッツの時代の技術では実現不可能であり、実現されることはなかった。
1706年にジョン・パークスは双曲求積法を実現するために牽引機械を製作した。^[10]
1729年にジョヴァンニ・ポレーニは対数関数を描くことを可能にする牽引装置を製作した。 ^[11]

これらの機械の歴史についてはHJM Bosの記事で見ることができます。^[8]

参照

ディニの表面
Tanh 、 $sech$ 、 $csch$ 、 $arcosh$ $の$ 双曲線関数
$ln$ の自然対数
$sgn$ の符号関数
sin 、 $cos$ 、 $tan$ 、 $arccot$ 、 $csc の$ $三角$ 関数

注記

^ スティルウェル、ジョン (2010)。数学とその歴史 (改訂第 3 版)。シュプリンガーサイエンス & ビジネスメディア。p. 345。ISBN 978-1-4419-6052-8。、345ページの抜粋
^ ベルトラミ、E. (1868)。「非ユークリッド幾何学の解釈」。ジョルナーレディマテマティケ。6：284。引用元: Bertotti, Bruno、Catenacci, Roberto、Dappiaggi, Claudio (2007)。「幾何学と物理学における擬球: ベルトラミからド・ジッターまで、そしてそれ以降」。19世紀の偉大な数学者。Eugenio Beltrami (1835–1900) を称える論文集 (イタリア語) 。Ist . Lombardo Accad. Sci. Lett. Incontr. Studio。Vol. 39。LED–Ed. Univ. Lett. Econ. Diritto 、ミラノ。pp. 165–194。arXiv : math/ 0506395。ISBN 978-88-7916-359-0. MR 2374676。
^ カスナー、エドワード、ニューマン、ジェームズ (2013)。「図 45(a)」。数学と想像力。ドーバー数学の本。クーリエコーポレーション。p. 141。ISBN 9780486320274。
^ オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「Tractrix」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
^ ホーンスピーカーの設計 pp. 4–5. (Wireless World、1974年3月号より転載)
^ Lange, Kurt (1985).金属成形ハンドブック. McGraw Hill Book Company. p. 20.43.
^ 「Gates Powergrip GT3 ドライブ設計マニュアル」(PDF)。Gates Corporation。 2014 年。p. 177 。2017 年11 月 17 日閲覧。GT 歯形は、tractix 数学関数に基づいています。エンジニアリングハンドブックでは、この機能は「摩擦のない」システムとして説明されています。 Schiele によるこの初期の開発は、懸垂線のインボリュート形式として説明されています。
^ ab Bos, H. J. M. (1989). 「認識と驚異 -ホイヘンス、牽引運動、そして数学の歴史に関するいくつかの考察」(PDF)。ユークリッド。63 : 65–76。
^ ミリチ、ピエトロ（2014年）。ロッリ、ガブリエーレ（編）。論理から実践へ：イタリア数学哲学研究。シュプリンガー。…特定の微分方程式を解くために研究された機械装置…ライプニッツの「万能牽引機械」を思い出さなければならない。
^ パークス、ジョン (1706)。「双曲線への新しい四線図の構築と特性」。哲学論文集。25 : 2253–2262。doi : 10.1098/rstl.1706.0017。JSTOR 102681。S2CID 186211499 。
^ ジョン・ポレーニ (1729)。Epistolarum mathematicanim fasciculus。 p.レターナンバー7.

参考文献

カスナー、エドワード、ニューマン、ジェームズ (1940)。『数学と想像力』サイモン＆シュスター、p.141-143。
ローレンス、J. デニス (1972)。特殊平面曲線カタログ。ドーバー出版。pp. 5、199。ISBN 0-486-60288-5。

外部リンク

オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「Tractrix」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
「 Tractrix」。PlanetMath 。
「有名な曲線」。PlanetMath。
MathWorldの Tractrix
モジュール: ライプニッツの懐中時計 ODE at PHASER

[1] スティルウェル、ジョン (2010)。数学とその歴史 (改訂第 3 版)。シュプリンガーサイエンス & ビジネスメディア。p. 345。ISBN 978-1-4419-6052-8。、345ページの抜粋

[2] ベルトラミ、E. (1868)。「非ユークリッド幾何学の解釈」。ジョルナーレディマテマティケ。6：284。引用元: Bertotti, Bruno、Catenacci, Roberto、Dappiaggi, Claudio (2007)。「幾何学と物理学における擬球: ベルトラミからド・ジッターまで、そしてそれ以降」。19世紀の偉大な数学者。Eugenio Beltrami (1835–1900) を称える論文集 (イタリア語) 。Ist . Lombardo Accad. Sci. Lett. Incontr. Studio。Vol. 39。LED–Ed. Univ. Lett. Econ. Diritto 、ミラノ。pp. 165–194。arXiv : math/ 0506395。ISBN 978-88-7916-359-0. MR 2374676。

[3] カスナー、エドワード、ニューマン、ジェームズ (2013)。「図 45(a)」。数学と想像力。ドーバー数学の本。クーリエコーポレーション。p. 141。ISBN 9780486320274。

[4] オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「Tractrix」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学

[5] ホーンスピーカーの設計 pp. 4–5. (Wireless World、1974年3月号より転載)

[6] Lange, Kurt (1985).金属成形ハンドブック. McGraw Hill Book Company. p. 20.43.

[7] 「Gates Powergrip GT3 ドライブ設計マニュアル」(PDF)。Gates Corporation。 2014 年。p. 177 。2017 年11 月 17 日閲覧。GT 歯形は、tractix 数学関数に基づいています。エンジニアリングハンドブックでは、この機能は「摩擦のない」システムとして説明されています。 Schiele によるこの初期の開発は、懸垂線のインボリュート形式として説明されています。

[bos-8] Bos, H. J. M. (1989). 「認識と驚異 -ホイヘンス、牽引運動、そして数学の歴史に関するいくつかの考察」(PDF)。ユークリッド。63 : 65–76。

[9] ミリチ、ピエトロ（2014年）。ロッリ、ガブリエーレ（編）。論理から実践へ：イタリア数学哲学研究。シュプリンガー。…特定の微分方程式を解くために研究された機械装置…ライプニッツの「万能牽引機械」を思い出さなければならない。

[10] パークス、ジョン (1706)。「双曲線への新しい四線図の構築と特性」。哲学論文集。25 : 2253–2262。doi : 10.1098/rstl.1706.0017。JSTOR 102681。S2CID 186211499 。

[11] ジョン・ポレーニ (1729)。Epistolarum mathematicanim fasciculus。 p.レターナンバー7.