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ミハイル・レオニドヴィチ・グロモフ（ミハイル・グロモフ、マイケル・グロモフ、ミーシャ・グロモフとも表記。ロシア語: Михаи́л Леони́дович Гро́мов 、1943年12月23日生まれ）は、幾何学、解析学、群論の分野での業績で知られるロシア系フランス人の数学者。フランスの高等科学研究所の常任研究員であり、ニューヨーク大学の数学教授でもある。
グロモフは数々の賞を受賞しており、2009年には「幾何学への革新的な貢献」によりアーベル賞を受賞している。
ミハイル・グロモフは1943年12月23日、ソビエト連邦のボクシトゴルスクで生まれた。父親のレオニード・グロモフはロシア人で、母親のレアはユダヤ系の家系だった。両親はともに病理学者だった。[ 1 ]母親は世界チェスチャンピオンのミハイル・ボトヴィニクや数学者のイサーク・モイセーヴィチ・ラビノヴィチのいとこだった。[ 2 ]グロモフは第二次世界大戦中に生まれ、ソビエト軍の医師として働いていた母親は、彼を出産するために前線を離れなければならなかった。[ 3 ]グロモフが9歳のとき、[ 4 ]母親はハンス・ラデマッハーとオットー・トプリッツの『数学の楽しみ』という本を彼に与えた。この本は彼の好奇心を刺激し、彼に大きな影響を与えた。[ 3 ]
グロモフはレニングラード国立大学で数学を学び、1965年に修士号、1969年に博士号を取得し、1973年に博士研究員論文を提出した。彼の論文指導教官はウラジーミル・ロフリンであった。[ 5 ]
グロモフは1967年に結婚した。1970年には、フランスのニースで開催された国際数学者会議で講演するよう招待された。しかし、彼はソ連を出国することを許されなかった。それでも、彼の講演は会議の議事録に掲載された。[ 6 ]
ソ連の体制に反対していた彼は、14歳の頃から移住を考えていた。1970年代初頭、イスラエルへの移住申請に有利になることを期待して、出版活動を停止した。[ 4 ] [ 7 ]彼は母親の姓に改名した。[ 4 ]ソ連から脱出できれば、ストーニーブルック大学に就職先が用意されているという暗号の手紙を受け取った。1974年に申請が認められると、彼はすぐにニューヨークに移り、ストーニーブルック大学で働き始めた。[ 6 ]
1981年にストーニーブルック大学を離れ、パリ第6大学の教員となり、1982年には高等科学研究所の常勤教授となり、現在もそこに在籍している。同時に、1991年から1996年までメリーランド大学カレッジパーク校、 1996年からはニューヨークのクーラント数理科学研究所で教授を務めている。 [ 8 ]彼は1992年にフランス国籍を取得した。[ 9 ]
2026年にエプスタイン文書が公開されると、グロモフが2008年の有罪判決後もエプスタインと連絡を取っていたことが明らかになった。[ 10 ]
グロモフの幾何学のスタイルは、漸近的または大規模な性質を分析する「粗い」または「柔らかい」視点を特徴としていることが多い。[G00]彼はまた、数理生物学[ 11 ]、脳の構造と思考プロセス、科学的アイデアの進化の仕方にも関心を持っている。 [ 6 ]
ナッシュとカイパーの等長埋め込み定理と、モリス・ハーシュとスティーブン・スメールによる埋め込みの結果に触発されて、[ 11 ]グロモフはさまざまな定式化でh 原理を導入した。ハーシュ・スメール理論の特殊な場合をモデルにして、彼はマイクロフレキシブル層の一般理論を導入および発展させ、それらが開多様体上の h 原理を満たすことを証明した。[G69]その結果 (他の結果の中でも)、彼は任意の開多様体上に正曲率および負曲率のリーマン計量が存在することを確立することができた。彼の結果は、正または負の曲率の測地線完備リーマン多様体上のよく知られた位相的制約 (チーガー・グロモールの魂の定理やカルタン・アダマールの定理など) とは対照的である。この初期の研究の後、彼はヤコフ・エリアシュベルクと共同で、ナッシュとカイパーの定理やナッシュ・モーザーの陰関数定理に基づく研究を含め、h 原理をさらに発展させた。彼の成果には、シンプレクティック幾何学や接触幾何学における正確なラグランジュ埋め込みや同様の対象の存在に関する位相条件など、多くの応用がある。[ 12 ] [ 13 ]彼の有名な著書『偏微分関係』には、これらの問題に関する彼の研究のほとんどがまとめられている。[G86]後に彼は、その方法を複素幾何学に適用し、連続写像を正則写像に変形する岡原理の特定の例を証明した。[G89]彼の研究は、1950 年代に導入された岡-グラウエルト理論の再研究のきっかけとなった。[ 14 ] [ 15 ]
グロモフとヴィタリ・ミルマンは、測度集中現象の定式化を行った。[GM83]彼らは、「レヴィ族」を、漸近的にゼロでない任意の集合列を計量的に厚くしてほぼすべての点を含むことができる正規化された計量測度空間の列として定義した。これは大数の法則の現象をよく模倣しており、実際、大数の法則はレヴィ族の枠組みに当てはめることができる。グロモフとミルマンはレヴィ族の基本理論を発展させ、いくつかの例を特定した。最も重要なのは、リッチ曲率の下限またはラプラス・ベルトラミ作用素の最初の固有値が無限大に発散するリーマン多様体の列から得られる例である。彼らはまた、任意の連続関数列が漸近的にほぼ定数でなければならないというレヴィ族の特徴を強調した。これらの考察は、ミシェル・タラグランなどの他の著者によってさらに発展させられている。[ 16 ]
1964 年にJames EellsとJoseph Sampson が調和写像に関する画期的な論文を発表して以来、調和写像の存在定理と、（特定の）調和写像は完全に測地的または正則でなければならないという消滅定理を組み合わせることで、さまざまな剛性現象が導き出されてきた。[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Gromov は、このプログラムを距離空間への写像の設定に拡張すると、 Margulis の超剛性に続いて、離散群に関する新しい結果が得られるという洞察を持っていた。Richard Schoen は、調和写像理論を距離空間の設定に拡張するための解析作業を行った。これはその後、Nicholas Korevaar と Schoen によってより体系的に行われ、標準的なSobolev 空間理論のほとんどの拡張が確立された。[ 20 ]グロモフとシェーンの手法の応用例として、四元数双曲空間の等長変換群の格子が算術的であるという事実が挙げられる。[GS92]
1978 年、グロモフはほぼ平坦な多様体の概念を導入した。[G78]リーマン幾何学の有名な4 分の 1 球面定理は、完全リーマン多様体の断面曲率が与えられた正の定数に十分近い場合、M は球によって有限に覆われなければならないと述べている。対照的に、スケーリングにより、すべての閉じたリーマン多様体は、断面曲率が任意にゼロに近いリーマン計量を持つことがわかる。グロモフは、固定された直径のリーマン多様体のみを考慮することでスケーリングの可能性が破られる場合、断面曲率が十分にゼロに近いそのようなリーマン計量を持つ閉じた多様体は、有限に平坦な多様体によって覆われなければならないことを示した。証明は、ビーバーバッハの定理とマルグリスの補題の証明を繰り返すことによって機能する。グロモフの証明は、ペーター・ブーザーとヘルマン・カーチャーによって丁寧に解説された。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]
1979年、リチャード・シューンとシン・トゥン・ヤウは、正のスカラー曲率を持つリーマン計量を持つ滑らかな多様体のクラスが位相的に豊かであることを示した。特に、彼らはこのクラスが少なくとも3次元の余次元において連結和と手術の操作に関して閉じていることを示した。 [ 24 ]彼らの証明は、特にグリーン関数に関する偏微分方程式の初等的方法を使用した。グロモフとブレイン・ローソンは、初等幾何学的構成を利用して、シューンとヤウの結果の別の証明を与えた。[GL80b]彼らはまた、スティーブン・スメールのh-コボルディズム定理のような純粋に位相的な結果をどのように適用して、次元5、6、または7のすべての閉じた単連結な滑らかな多様体が正のスカラー曲率を持つリーマン計量を持つという事実などの結論を導き出すことができるかを示した。彼らはさらに、ホモトピー理論の条件によって区別される拡大可能な多様体の新しいクラスを導入した。[GL80a]彼らは、そのような多様体上には正のスカラー曲率を持つリーマン計量が存在できないことを示した。特に、トーラスは正のスカラー曲率を持つリーマン計量を支えることができないという結果になった。これは、低次元において以前にシェーンとヤウによって解決された主要な予想であった。[ 25 ]
1981年、グロモフは、ベッチ数に基づいて、非負の断面曲率を持つリーマン計量を持つ多様体に対する位相的制約を特定した。[G81a]彼の研究の主なアイデアは、カルステン・グローブと塩浜勝弘のリーマン距離関数に関するモース理論と、トポノゴフ比較定理から得られる距離関数の制御、および測地球の体積に関するビショップ・グロモフ不等式を組み合わせることであった。 [ 26 ]これにより、測地球による多様体の位相的に制御された被覆が得られ、これにスペクトル系列の議論を適用して、基礎となる多様体の位相を制御することができた。断面曲率の下限の位相はまだ完全には理解されておらず、グロモフの研究は主要な成果として残っている。ホッジ理論の応用として、ピーター・リーとヤウは、彼らの勾配推定を適用して、グロモフの推定よりも弱いが、多様体が凸境界を持つことを可能にする同様のベッティ数推定を見つけることができた。[ 27 ]
ジェフ・チーガーのリーマン多様体の基本コンパクト性理論では、極限空間上の座標を構築する重要なステップは、閉多様体の単射半径の推定です。[ 28 ]チーガー、グロモフ、マイケル・テイラーは、チーガーの推定を局所化し、ビショップ・グロモフ体積比較を使用して、曲率境界と測地球の体積によって単射半径を絶対値で制御する方法を示しました。[CGT82]彼らの推定は、座標の構築が重要な問題である多くの場所で使用されています。[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]この特に有名な例は、体積を制御するリッチフローに対するグリゴリ・ペレルマンの「非崩壊定理」が、リチャード・ハミルトンのコンパクト性理論の適用を可能にするのに十分であることを示すことです。 [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] Cheeger、Gromov、および Taylor は、熱カーネルのガウス制御を証明するために彼らの注入半径推定を適用しましたが、これらの推定は後に Li と Yau によって彼らの勾配推定の適用として改善されました。[ 27 ]
グロモフはシストリック幾何学に基礎的な貢献をした。シストリック幾何学は、多様体 M のサイズ不変量 (体積や直径など) と、その位相的に非自明な部分多様体 (非縮約曲線など) との関係を研究する。1983 年の論文「リーマン多様体の充填」 [G83]で、グロモフはすべての本質的多様体がリーマン計量を持つものは、長さが最大で閉じた非縮約測地線を含む。[ 35 ]
1981年、グロモフはグロモフ・ハウスドルフ距離を導入し、すべての距離空間の集合に距離空間の構造を与えた。[G81b]より一般的には、各空間内の点の選択に関して、2つの距離空間間のグロモフ・ハウスドルフ距離を定義できる。これはすべての距離空間の空間上の距離を与えるものではないが、点付き距離空間の列の極限への「グロモフ・ハウスドルフ収束」を定義するには十分である。グロモフはこの設定で重要なコンパクト性定理を定式化し、点付き「適切な」距離空間の列が収束する部分列を持つ条件を与えた。これは後にグロモフらによって、より柔軟な超極限の概念に再定式化された。[G93]
グロモフのコンパクト性定理は、幾何群論の分野に大きな影響を与えた。彼は、適切なスケーリングの極限を取ることによって、多項式増大群の語距離の漸近幾何学を理解するためにそれを応用した。語距離の等長変換の極限を追跡することにより、彼は極限距離空間が予期せぬ連続性を持ち、特にその等長変換群がリー群であることを示すことができた。[G81b]その結果、彼は1960年代に提起された、そのような群は実質的に冪零であるというミルナー・ウルフ予想を解決することができた。超極限を用いることで、より一般的な距離空間についても同様の漸近構造を研究することができる。[G93]このトピックに関する重要な発展は、ブルース・クライナー、ベルンハルト・レープ、ピエール・パンスらによってもたらされた。[ 36 ] [ 37 ]
もう一つの帰結は、グロモフのコンパクト性定理であり、リッチ曲率≥ cかつ直径≤ Dのコンパクトリーマン多様体の集合は、グロモフ・ハウスドルフ計量において相対的にコンパクトであると述べている。 [G81b]このような多様体の列の可能な極限点は、曲率≥ cのアレクサンドロフ空間であり、これは1992 年にBurago、Gromov、Perelmanによって詳細に研究された計量空間のクラスである。 [BGP92]
グロモフの擬正則曲線の理論は、現代のシンプレクティック幾何学研究の基礎の一つである。[G85]グロモフは擬正則曲線を最初に考察した人物ではないが、カレン・ウーレンベックのヤン・ミルズ接続に関する初期の研究や、ウーレンベックとジョナサン・サックスの調和写像に関する研究と並行する「バブリング」現象を発見した。[ 38 ] [ 39 ]サックス、ウーレンベック、グロモフの研究以降、このようなバブリング現象は他の多くの幾何学的文脈で発見されている。バブリングを符号化する対応するコンパクト性定理により、グロモフは擬正則曲線の存在に関する多くの解析的に深い結論に到達することができた。グロモフの特に有名な成果は、極小曲面の存在理論と単調性公式の結果として得られた「非圧縮定理」であり、これはシンプレクティック幾何学の顕著な質的特徴を示した。エドワード・ウィッテンの考えに倣い、グロモフの研究は、弦理論、代数幾何学、シンプレクティック幾何学にまで及ぶ広く研究されているトピックであるグロモフ・ウィッテン理論の基礎でもある。[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]別の観点から見ると、グロモフの研究はアンドレアス・フローアの研究の多くにもインスピレーションを与えた。[ 43 ]
ヤコフ・エリアシュベルクとグロモフは、凸性のシンプレクティック概念に関する基本的な理論をいくつか開発しました。[EG91]彼らは、シンプレクティック形式を縮約する微分同相写像の 1 パラメータ族の存在に関係する、さまざまな具体的な凸性の概念を導入しました。彼らは、特定のシンプレクティック同相写像を構成する問題に対してh 原理が成り立つ適切な文脈として凸性があることを示しました。彼らはまた、接触幾何学において類似の概念を導入しました。凸接触構造の存在は、後にエマニュエル・ジルーによって研究されました。[ 44 ]
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