双曲面モデル

幾何学において、双曲面モデルは、ヘルマン・ミンコフスキーにちなんでミンコフスキーモデルとも呼ばれ、n次元双曲幾何学のモデルであり、点は( n +1) 次元ミンコフスキー空間の二枚双曲面の前シートS ^{+ 上}の点、または原点からそれらの点への変位ベクトルによって表され、 m平面はミンコフスキー空間の原点を通る( m +1) 平面とS ⁺の交点、またはmベクトルのくさび積によって表される。双曲空間はミンコフスキー空間に等長的に埋め込まれている。つまり、双曲距離関数はミンコフスキー空間から継承され、これはn球が ( n +1) 次元ユークリッド空間に埋め込まれたときに球面距離がユークリッド距離から継承される方法と類似している。

双曲空間の他のモデルは、 S ⁺の地図投影として考えることができます。ベルトラミ-クラインのモデルは、S ⁺を原点を通って、原点からS ⁺内の特定の点へのベクトルに垂直な平面に投影したもので、球面の心射影に類似しています。ポアンカレ円板モデルは、 S ⁺を別のシートS ⁻上の点を通って垂直な平面に投影したもので、球面の立体射影に類似しています。ガンズモデルは、S ^+をS ⁺内の特定の点に垂直な平面に直交射影したもので、正射影に類似しています。双曲平面の帯モデルは、球面のメルカトル図法に類似した等角「円筒」投影です。ロバチェフスキー座標は、球面の 正距円筒図法(経度、緯度)に類似した円筒投影です。

( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) が( n + 1)次元座標空間R ^{n +1}上のベクトルである場合、ミンコフスキーの二次形式は次のように定義されます。

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}$

Q ( v ) = -1となるベクトルv ∈ R ^{n +1}は、2つの連結された成分またはシート、つまり前方シートS ⁺（x ₀ >0 ）と後方シートS ^{− （} x _{0 <0 ）からなる}n次元双曲面S を形成します。n 次元双曲面モデルの点は、前方シートS ⁺上の点です。

双曲面上の計量はミンコフスキーの双一次形式B はミンコフスキーの二次形式Qの分極であり、 $${\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}$$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

（これはスカラー積表記法で書かれることもある）明示的には、 ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

S ⁺の2点uとvの間の双曲線距離は、次の式で与えられる。

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

ここで、arcosh は双曲余弦の逆関数です。

双線型形式は空間上の計量テンソルとしても機能します。n +1次元ミンコフスキー空間では、反対の署名を持つ計量には 2 つの選択肢があり、3 次元の場合は (+, −, −) または (−, +, +) のいずれかになります。 ${\displaystyle B}$

符号 (−, +, +) を選択した場合、双曲面の同じシート上の異なる点間の弦のスカラー平方は正になり、数学における従来の定義と期待により近くなります。すると、 n次元双曲空間はリーマン空間となり、距離または長さはスカラー平方の平方根として定義できます。符号 (+, −, −) を選択した場合、双曲面上の異なる点間のスカラー平方は負になるため、基本用語のさまざまな定義を調整する必要があり、不便な場合があります。とはいえ、符号 (+, −, −, −) は物理学で時空を記述するためにもよく使用されます。(符号規則#計量符号を参照)

双曲的n空間の直線は、双曲面上の測地線によってモデル化される。双曲面上の測地線は、双曲面とn +1次元ミンコフスキー空間の2次元線形部分空間（原点を含む）との（空でない）交差である。uとvをその線形部分空間の基底ベクトルと すると、

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

そして測地線上の点の実パラメータとして wを用いると、

${\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}$

測地線上の点となる。^[1]

より一般的には、双曲n空間のk次元の「平面」は、双曲面とミンコフスキー空間のk +1 次元の線形部分空間 (原点を含む) との (空でない) 交差によってモデル化されます。

不定直交群O (1, n ) は、( n +1) 次元ローレンツ群とも呼ばれ、ミンコフスキー双線型形式を保存する実( n +1)×( n +1)行列の リー群です。別の言葉で言えば、ミンコフスキー空間の線型等長変換の群です。特に、この群は双曲面S を保存します。不定直交群には、各部分空間 (ここでは 1 次元とn次元) 上の向きの反転または保存に対応する 4 つの連結成分があり、クラインの4 元群を形成することを思い出してください。最初の座標の符号を保存するO(1, n )の部分群は、O ⁺ (1, n ) と表記される直交ローレンツ群であり、空間部分空間の向きの保存または反転に対応する 2 つの成分を持ちます。その部分群SO ⁺ (1, n )は行列式が1である行列から成り、 n ( n +1)/2次元の連結リー群であり、線型自己同型によってS ⁺に作用し、双曲距離を保存する。この作用は推移的であり、ベクトル(1,0,...,0)の安定子は、次の形式の行列から構成される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

ここで、 はコンパクト特殊直交群SO( n ) に属する（回転群 SO(3) をn = 3に対して一般化する）。したがって、n次元双曲空間は、等質空間と階数 1 のリーマン対称空間として表すことができる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n)。}$

^{SO +} (1, n )群は、n次元双曲空間の方向保存等長写像の完全な群です。

より具体的には、SO ⁺ (1, n )は、 n ( n -1)/2回転（右下のブロックに通常のユークリッド回転行列で形成される）とn双曲変換に分割することができ、次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

ここで、は変換された距離（この場合はx軸に沿って）であり、2 番目の行/列は別のペアと交換して、別の軸に沿った変換に変更できます。ベクトルに沿った 3 次元の変換の一般的な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$です。これは自然にさらに多くの次元に拡張され、相対性特有の項を削除すると、 ローレンツブーストの簡略化されたバージョンにもなります。

双曲面モデルのすべての等長変換群は O ⁺ (1, n ) です。任意の等長変換群はその部分群です。

2 つの点については、それらを交換した一意の反射が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }$

とします。 であり、したがって であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}$${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$

それから

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

は、とを交換する反射です。これは次の行列と同等です。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}$

(ブロック行列表記法の使用に注意してください)。

は等長変換の群です。このような部分群はすべて共役です。 ${\displaystyle \{I,R\}}$

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

はを保存する回転と反射の群です。関数はO( n )からこの群への同型です。任意の点 について、が に写像する等長変換である場合、 はを保存する回転と反射の群です。 ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XSX^{-1}}$${\displaystyle p}$

任意の実数に対して、変換が存在する。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

これは、 の場合、正の x 方向への距離の変換であり、 の場合、負の x 方向への距離の変換です。距離の任意の変換は、および と共役です。集合はx 軸を通る変換のグループであり、等長変換のグループは、それが直線を通る等長変換のグループである場合に限り、これに共役です。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle L_{-t}}$${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$

たとえば、直線 を通る平行移動のグループを見つけるとします。を に写像する等長変換とし、を を に固定しに写像する等長変換とします。このような の例としては、とを交換する反射が挙げられます(これらは異なると仮定します)。これは、どちらも から同じ距離にあるためです。次に、 は に、正の x 軸上の点をに写像する等長変換です。 は、距離 の直線を通る平行移動です。 の場合、方向は です。 の場合、方向は です。 は を通る平行移動のグループです。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle |t|}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}$${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$

Hを、任意の大きさのxに対して、その形の点がその内部にあるようなホロスフィアとします。${\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}}$

はH をそれ自身に写すホロ回転です。このようなホロ回転の集合はH を保存するホロ回転のグループです。すべてのホロ回転は互いに共役です。

O( n -1) の任意の値に対して${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

は、 Hと x 軸を保存する回転または反射です。これらのホロ回転、回転、反射により、 Hの対称群が生成されます。任意のホロスフィアの対称群は、これに共役です。これらは、ユークリッド群E( n -1) と同型です。

1878年から1885年にかけてのいくつかの論文で、ヴィルヘルム・キリング^{[2] [3] [4]}は、ロバチェフスキー幾何学に対して、カール・ワイエルシュトラスに帰属する表現を使用した。特に、彼は またはなどの任意の次元における2次形式について論じた。ここで は曲率の逆数、はユークリッド幾何学、楕円幾何学、双曲幾何学を表す。 ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=\infty }$${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

ジェレミー・グレイ（1986）によると、^[5] ポアンカレは1880年に彼の個人的なメモの中で双曲面モデルを使用しました。ポアンカレは1881年にその結果を発表し、その中で二次形式の不変性について議論しました。 ^[6]グレイは、ポアンカレの後の著作で双曲面モデルが暗黙のうちに使用されていることを示しています。^[7]${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$

また、1882年にホーマーシャム・コックス^{[8] [9]}は、関係を満たすワイエルシュトラス座標（この名前は使用していない）を使用した。 ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

このモデルは1891年にアルフレッド・クレプシュとフェルディナンド・リンデマンによってさらに詳しく示され、との関係が議論された。^[10]${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$

^{ワイエルシュトラス座標はジェラール（1892）、 [11]} フェリックス・ハウスドルフ（1899）、^[12] フレデリック・S・ウッズ（1903）、^[13] ハインリッヒ・リープマン（1905）^[14]によっても使用されました。

双曲面は、アレクサンダー・マクファーレンの『空間解析論文』 （1894年）で計量空間として研究された。彼は、双曲面上の点は次のように書けると指摘した。

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

ここでαは双曲面軸に直交する基底ベクトルである。例えば、彼は物理学の代数を用いて 双曲余弦法則を得た。^[1]

H.ヤンセンは1909年の論文「二枚双曲面上の双曲幾何学の表現」で双曲面モデルに明確な焦点を当てました。^{[15] 1993年にWFレイノルズは}アメリカ数学月刊誌 の記事でこのモデルの初期の歴史の一部を詳しく述べています。^[16]

20世紀までに一般的なモデルとなったこのモデルは、ヘルマン・ミンコフスキーが1907年のゲッティンゲン講演「相対性原理」で提唱したGeschwindigkeitsvectoren（速度ベクトル）と同一視されました。スコット・ウォルターは、1999年の論文「ミンコフスキーの相対性理論の非ユークリッド的スタイル」 ^[17]でミンコフスキーの認識を回想していますが、このモデルの系譜をワイエルシュトラスやキリングではなくヘルマン・ヘルムホルツにまで遡らせています。

相対性理論の初期には、ウラジミール・ヴァリチャクが速度の物理学を説明するために双曲面モデルを使用していました。1912年にドイツ数学連合で行った演説では、彼はワイエルシュトラス座標に言及しました。^[18]

• ポアンカレ円板モデル
• 双曲四元数

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993)、「定曲率空間の幾何学」、Encyclopaedia of Mathematical Sciences、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-52000-9
• アンダーソン、ジェームズ（2005）、双曲幾何学、シュプリンガー学部数学シリーズ（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、ISBN 978-1-85233-934-0
• ラトクリフ、ジョン・G. (1994)、双曲多様体の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94348-0第3章
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) 『Geometry and Topology』、図 3.10、p 45、Cambridge University Press、ISBN 0-521-61325-6、MR 2194744。 
• ライアン、パトリック J. (1986)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学: 解析的アプローチ、ケンブリッジ、ロンドン、ニューヨーク、ニューロシェル、メルボルン、シドニー:ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-25654-4
• パルコネン、ジュニ。 「双曲幾何学」(PDF) 。2020 年9 月 5 日に取得。